淺析二次函數(shù)根的分布問(wèn)題的學(xué)習(xí)

王思斯

摘 要：本文以高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為研究視角，將二次函數(shù)根分布問(wèn)題的學(xué)習(xí)為研究對(duì)象，通過(guò)例題分析與解答的方式討論分析二次函數(shù)根的分布問(wèn)題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。希望可以為同學(xué)們更好的學(xué)習(xí)這一板塊的知識(shí)帶去參考與借鑒。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)根 分布問(wèn)題 學(xué)習(xí)

引言

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的有機(jī)組成部分，而二次函數(shù)根的分布問(wèn)題是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，困擾著很多同學(xué)?；诖耍覀?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，一定要注意探索二次函數(shù)根的分布規(guī)律，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。所以，筆者針對(duì)《淺析二次函數(shù)根的分布問(wèn)題的學(xué)習(xí)》一題的研究具有現(xiàn)實(shí)意義。[1]

例題1：“已知方程ax2-2x+1=0（a>0）的兩個(gè)根滿(mǎn)足以下條件：其中較小的根小于1，而較大的根在1，3之間。問(wèn)a的取值范圍?！?/p>

解：令f（x）=ax2-2x+1（a>0），根據(jù)已知條件其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”可以得出f（1）<0，f（3）>0，進(jìn)而可以得出a-1<0，9a-5>0，從而得出a的取值范圍是a∈（，1）。[2]

分析與思考：該題目最關(guān)鍵的就是要是要找出“其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”這一已知條件的充分必要條件，所以在解題的過(guò)程中可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，首先畫(huà)出“ax2-2x+1=0”的圖像，然后觀察圖像。

例題2：“m是什么實(shí)數(shù)的時(shí)候，方程x2+2mx+2m+1=0在{x|-4

解：令f（x）=x2+2mx+2m+1=0，根據(jù)題意可知得出：

可得：m∈（1+，）。

分析與思考：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題是可以分為兩大類(lèi)的：（1）兩個(gè)根分布在統(tǒng)一區(qū)間之上的時(shí)候，那么在解題的過(guò)程中只需要考慮區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)符號(hào)就可以了；（2）如果兩根分布在不同的區(qū)間上的時(shí)候，就需要考慮三個(gè)方面的問(wèn)題，即Δ的符號(hào)、區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)以及對(duì)稱(chēng)軸的范圍。但是需要注意的是，并不是全部而是函數(shù)根的分布問(wèn)題都必須利用該種方法進(jìn)行解答，在解題的過(guò)程中只需要找出函數(shù)根分布的其中一個(gè)充分必要條件就可以了。

例3：“如果方程x2-mx-m+3=0具有兩個(gè)根，且兩個(gè)根滿(mǎn)足以下條件：其中一個(gè)根處于0和1之間，另一個(gè)根在1和2之間，問(wèn)m的集合?！?/p>

解：根據(jù)題目中所給出的已知條件，可以得出：

f（0）f（1）<0，

f（1）f（2）<0，

（3-m）（4-2m）<0，

（4-2m）（7-3m）<0，

可得出2

例題4：f（x）=a+b+c（a>0），方程f（x）-x=0具有兩個(gè)根X1、X2，且X1、X2滿(mǎn)足0

證明：根據(jù)題意可知：f（x）-x=a（x-X1）·（x-X2）

∵0

∴a（x-X1）（x-X2）>0

∴當(dāng)x∈（0，X1）的時(shí)候，有f（x）>x。

又f（x）-X1=a（x-X1）（x-X2）+x-X1=（x-X1）（ax-ax2+1），x-X1<0

且ax-ax2+1>1-aX2>0，

∴f（x）

分析與思考：在已知方程f（x）-x=0有來(lái)兩個(gè)根的時(shí)候，根據(jù)題目當(dāng)中所給出的函數(shù)與方程之間的關(guān)系，就可以得出f（x）-x的表達(dá)式，進(jìn)而也就可以得出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，之后就可以開(kāi)展證明。

例題5：“已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a>0），設(shè)函數(shù)f（x）=x的兩個(gè)根分別為X1、X2。問(wèn)題1：如果已知X1<2-1.問(wèn)題2：如果|X1|<2，|X2-X1|=2，那么b的取值范圍是什么樣的？”

解：設(shè)g（x）=ax2+（b-1）·x+1，那么就有g(shù)（x）=0的兩個(gè)根是X1、X2。

（1）由于a>0且X1<20，從而得出3+3·-<0，-4-2·+3/4a>0，將兩式相加可以得出b/2a<1，從而證得x0>-1。

（2）由（X1-X2）2=（b-1/a）2-4/a，可以得出2a+1= .

又X1X2=1/a>0，所以可以得出X1、X2屬于同號(hào)；

所以|X1|<2，|X2-X1|=2，與0

與X2<-2

與g（-2）>0，g（0）>0是等價(jià)關(guān)系。

最終解得：b<1/4或者b>4/7.

分析與思考：在題目當(dāng)中所給出的已知條件X1<2

結(jié)論與反思：

上述5道例題分別代表了高中二次函數(shù)根的分布問(wèn)題的幾種典型題型，希望筆者的思考分析與解答可以為同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶去一定的幫助。但是需要注意的是，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，單純掌握解題技巧是不夠的，“萬(wàn)丈高樓平地起”，我們依然要堅(jiān)信只有在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中將基礎(chǔ)打牢，在平時(shí)的練習(xí)中注意積累與總結(jié)，才能在解答問(wèn)題的時(shí)候得心應(yīng)手，提高解題的效率。同時(shí)，由于筆者的學(xué)識(shí)有限，在討論分析問(wèn)題的過(guò)程中難免會(huì)有妄自菲薄與不夠深入之處，還望老師與同學(xué)給予建議，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)

[1]曾曉聰.隱含條件在二次函數(shù)中的應(yīng)用研究[J].農(nóng)家參謀，2017（19）：85.

[2]張翼.談?wù)劧魏瘮?shù)根的判別式的一個(gè)背景[J].南京高師學(xué)報(bào)，1995（04）：15-16+14.