基于應(yīng)用能力培養(yǎng)的《微分方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要： 微分方程在電類專業(yè)課中應(yīng)用非常廣泛，利用有限的課時(shí)提高課堂學(xué)習(xí)效果很關(guān)鍵。本文通過總結(jié)建立微分方程的基本手段和方法，分類精選微分方程的應(yīng)用案例，使學(xué)生掌握建立微分方程模型的方法，然后通過Matlab軟件進(jìn)行求解，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了學(xué)生的應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞： 高職院校 ;微分方程;應(yīng)用能力

中圖分類號： G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

引言

微分方程可以解決自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等許多實(shí)際問題，特別在電類專業(yè)課中應(yīng)用廣泛。由于求解微分方程會(huì)涉及到導(dǎo)數(shù)和積分的知識，同時(shí)微分方程的應(yīng)用會(huì)用到許多幾何、物理等知識，高職院校的學(xué)生學(xué)習(xí)起來往往感到很困難。在教學(xué)中采用分類、案例驅(qū)動(dòng)等方法，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生應(yīng)用微分方程知識解決實(shí)際問題的能力。

一、微分方程建模的基本思路

凡涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運(yùn)動(dòng)”、“追趕”、“逃跑”……的確定性連續(xù)問題，可以考慮用微分方程建模。微分方程建模的基本手段是微元法和模擬近似法。 微分方程建模的基本原則是（1）尋找改變量 一般微分方程問題都遵循這樣的文字等式（2）變化率（微商）=單位增加量-單位減少量（3）改變量=輸入量-輸出量（4）等式通常是利用已有的原則或定律（5）對問題中的特征進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫（6）用微元法建立微分方程（7）確定微分方程定解條件（初始條件） （8）求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論

二、微分方程教學(xué)案例

（一）創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)背景 導(dǎo)入課題

【提出問題】如導(dǎo)彈跟蹤、醉駕行駛、電路分析等問題，配以醉駕造成危害的背景和圖片，引導(dǎo)學(xué)生以飽滿的熱情參與到課堂，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【醉駕模型】現(xiàn)有一起交通事故，在事故發(fā)生3個(gè)小時(shí)后，測得司機(jī)血液中酒精含量是56%（mg/ml），又過兩個(gè)小時(shí)后，測得其酒精含量降為40%（mg/ml），試判斷：事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)是否為醉駕？（設(shè)警方對司機(jī)飲酒后駕車時(shí)血液中酒精含量的規(guī)定為超過80%（mg/ml）為醉駕）

【解決問題】

第一建立模型，讓學(xué)生以小組的形式，通過探究，用學(xué)過的知識建模，然后老師根據(jù)學(xué)生的完成情況給予點(diǎn)評，再給出正確的模型。用已經(jīng)通過平衡原理建立了微分方程模型，dxdt=-kx，x（3）=56，x（5）=40，x（0）=x0，我們可以借助于MATLAB解決這個(gè)問題。

通過案例引入， 以問題為導(dǎo)向，一方面鞏固了已經(jīng)學(xué)習(xí)的建模方法和思想，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力，從而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識與能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

這個(gè)微分方程模型用人工求解十分麻煩，復(fù)雜的問題求解必須借助計(jì)算機(jī)來解決我們生活中的問題，MATLAB 不僅是數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，更是工程軟件，它的功能強(qiáng)大，利用Matlab編寫程序簡潔、直觀，用MATLAB就很容易求解這個(gè)模型。

（三）師生合作 共探新知——用MATLAB求解微分方程

以表格的形式，先介紹解微分方程的基本操作命令，輸入格式和含義，并對其含義予以解釋，如dsolve的含義，使學(xué)生容易記住。強(qiáng)調(diào)容易出錯(cuò)的地方：單雙引號的區(qū)分，乘號的書寫，換行等。

選擇的例子由淺入深，使學(xué)生的能力逐步得提高。

（1）簡單例子

例1 MATLAB求解微分方程

xy′=y2lnx-y，y（1）-1/2的特解;

【課堂練習(xí)】求微分方程的特解y″-8y′+7y=14，y（0）=5，y′（0）=9

（2）專業(yè)例子

根據(jù)數(shù)學(xué)課程的定位，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)專業(yè)針對性，根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，即數(shù)學(xué)與專業(yè)融合，為專業(yè)服務(wù)，同時(shí)也可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例2 專業(yè)基礎(chǔ)課《電工電子》中的【電路問題】 一個(gè)RL串聯(lián)回路中有電源3sin2t（單位：伏），電阻10歐姆，電阻0.5亨利和初始電流6安培，求求任何時(shí)刻t電路中的電流。

說明本次內(nèi)容與后續(xù)課程的聯(lián)系 在以后的專業(yè)課中也會(huì)遇到大量的微分方程求解的例子。比如，在電路分析中，隨著電路規(guī)模的加大，微分方程的階數(shù)以及聯(lián)立方程的個(gè)數(shù)勢必增多，給求解帶來困難。另外工廠供電沖擊電流的計(jì)算等等。利用MATLAB的M 文件來求解電路方程，只需一個(gè)或幾個(gè)語句即可完成。

（3）綜合例子

其目的是強(qiáng)調(diào)了主要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用，滲透建模思想方法，鞏固技能，理論與實(shí)踐相結(jié)合，學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識，解決實(shí)際問題的能力。

【醉駕問題】先讓學(xué)生在電腦上操作，然后老師示范。讓學(xué)生在學(xué)中做、做中學(xué)，體現(xiàn)教學(xué)合一的原則。實(shí)驗(yàn)過程：（1）建立模型（2）編寫程序（3）程序的實(shí)現(xiàn)（4）對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析。

（1）模型dxdt=-kx，x（3）=56，x（5）=50，求X0.

（2）程序及運(yùn)行結(jié)果

>> x=dsolve（′Dx=-k*x′，′x（0）=x0′，′t′）

x =x0*exp（-k*t）

>> syms x0 k ;

[x0 k] =solve（′x0*exp（-3*k）=56′，′x0*exp（-5*k）=40′）

k =[-log（1/7*35^（1/2））]

x0=[392/25*35^（1/2）]

x0=92.76>80

本教學(xué)設(shè)計(jì)以案例展開，以問題為導(dǎo)向，幫助學(xué)生掌握用MATLAB求解微分方程，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)和思維的訓(xùn)練，考核由重知識、重結(jié)果的考核變?yōu)橹啬芰瓦^程的考核，使軟件成為我們解決問題的一種工具。使學(xué)生體驗(yàn)了由感性分析到理性分析的過程，體會(huì)到了微分方程設(shè)計(jì)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)

[1]王晶囡，王劍飛，孟桂芝，羅來珍，華秀英. 微分方程案例驅(qū)動(dòng)模式教學(xué)研究與實(shí)踐[J]. 高 師 理 科 學(xué) 刊， 2018 年（4 ）：67-69.

[2]劉學(xué)才，周文. 應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M]. 化學(xué)工業(yè)出版社，2015（8）

[3]周文. 微分方程的應(yīng)用教學(xué)探索[J]. 考試周刊，2010（12）

作者簡介： 周文（1967- ），女，漢族，湖北省孝感人，教授，研究方向是數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模。