例析分塊矩陣的應(yīng)用

廖雷 胡婷

摘要：分塊矩陣是一種特殊矩陣，在矩陣的運(yùn)算中起著簡化降級(jí)的作用。本文先介紹分塊矩陣的性質(zhì)，再歸納分塊矩陣在高等代數(shù)中的普遍應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分塊矩陣；簡化降級(jí)；高等代數(shù)

在高等代數(shù)里，矩陣是必不可缺的內(nèi)容，也是研究代數(shù)問題的重要工具。為了方便探究與運(yùn)用更廣泛的矩陣的特性，我們想到把一個(gè)階數(shù)較大的矩陣分割成若干個(gè)子塊，再把每一塊子塊看成一個(gè)元素，從而引出分塊矩陣。本文的理論框架為通過研究分塊矩陣的性質(zhì)，一步一步的總結(jié)出分塊矩陣在計(jì)算和證明這兩方面的應(yīng)用。

一、分塊矩陣

（一）分塊矩陣的定義

設(shè)A∈F（m×n）對A用橫線劃分成t塊，用豎線劃分成塊，就得到一個(gè)s×t的分塊矩陣

其中，小矩陣Aij（i=1，…s；j=1，…t）叫做的一個(gè)字塊，這類矩陣叫作分塊矩陣。

（二）分塊矩陣的性質(zhì)

性質(zhì) 1 令方陣由下述分塊矩陣構(gòu)成

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s級(jí)方陣

對于矩陣，則|B|=|M||A|

性質(zhì) 2 令方陣由下面形式的分塊矩陣構(gòu)成

A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s級(jí)方陣

，則|D|=|A|

二、分塊矩陣的應(yīng)用

（一）分塊矩陣與矩陣的秩

定理3.1.1秩（AB）≤秩（A），秩（AB）≤秩（B），則秩（AB）≤min{秩（A），秩（B）}。

定理3.1.2 A、B都是n階矩陣，若AB=0，則秩（A）+秩（B）≤n。

例：矩陣A、B是n階矩陣，證：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）。

證明：

即

其中都是可逆矩陣，所以

況且

得證：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）

（二）分塊矩陣與矩陣求逆

定理3.3.1 令矩陣是一個(gè)四分塊的方陣，其中矩陣A為r階方陣，矩陣D為k方陣，當(dāng)A與（D-CA-1B）都是可逆矩陣時(shí)，則矩陣Q是可逆矩陣，

且

（1）矩陣B=O，矩陣C=O，矩陣A與D都可逆時(shí)，

Q-1=；

（2）矩陣B≠O，矩陣C=O，矩陣A與D都可逆時(shí)，

Q-1=；

（3）矩陣C≠O，矩陣B=O，矩陣A與D都可逆時(shí)，

Q-1=。

例：

解：令

由矩陣求逆可得

即可知

由定理3.3.1得出

作者簡介：

廖雷（1994年—），男，漢族，四川成都人，碩士，成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，研究方向：地震資料降噪處理。