一個三元最值問題的探究之旅

深圳市龍華區(qū)教育科學研究院附屬外國語學校(518109) 鐘文體

文[1]刊有如下問題及其解答:

問題(《數(shù)學通報》2020 年2 月號問題2530) 已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

原解答通過構(gòu)造一個特殊函數(shù)求得最大值,構(gòu)思十分巧妙,但也有一定的局限性,不適用于一般情形.文[2-3]循原解答的思路,對上述問題作了一些擴展,但討論較為復雜,不易把握.本文站在不同的視角,嘗試探索新的解法.

一、問題新解

推廣問題設(shè)a,b,c ∈[m,n],a+b+c=p(3m

文[2-3]在假定m,n,p滿足一定條件的情況下,探究了a3+b3+c3的最大值,但過程比較曲折,且不易推廣.出于對數(shù)學簡潔美的追求,自然會問: 是否有更簡潔明了的方法?

先看最簡單的情形.當m≥0 時,根據(jù)冪平均值不等式容易求出最小值.事實上,即a3+b3+c3≥,等號成立當且僅當a=b=c=.但其它情形無法采用上述方法.

為了進一步解決問題,我們基于函數(shù)的觀點,動態(tài)地看待上述問題.考慮三元函數(shù)F(x,y,z)=x3+y3+z3,其中x,y,z ∈[m,n]且滿足約束條件x+y+z=p.那么,推廣問題就轉(zhuǎn)化為三元函數(shù)在約束條件下的最值問題,這類問題已經(jīng)有成熟的求解策略(可參閱大學數(shù)學系的《數(shù)學分析》或理工科的《高等數(shù)學》),但超出了中學數(shù)學的知識范圍.能否只用中學數(shù)學知識求解呢? 答案是肯定的,為此,需要對問題進行“降維”.

首先,根據(jù)x+y+z=p可消去一個變量,根據(jù)對稱性,不妨消去z,將z=p ?x ?y代入,則只需考慮二元函數(shù)f(x,y)=x3+y3+(p ?x ?y)3((x,y)∈D)的最值即可,其中D={(x,y)|m≤x,y,p ?x ?y≤n}.此時,問題降了“1 維”,我們的目標是再降“1 維”,將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題.為此,我們采用各個擊破的策略.先固定一個變量,例如x,將其看作常量,那么原問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元函數(shù)問題,求出此時的最大值和最小值,它們與x有關(guān),即為關(guān)于x的一元函數(shù),再求出這些一元函數(shù)的最值即可.

明確策略后,下面進行具體操作.考慮關(guān)于y的函數(shù)fx(y)=x3+y3+(p ?x ?y)3(y ∈[m,n]),根據(jù)立方和公式可知

因此,只需考慮關(guān)于y的二次函數(shù)

類似前面,

但是,還有一個問題有待討論,即以上7 個點是否滿足問題的條件? 也就是說,這7 個點的坐標分量是否都在區(qū)間[m,n] 內(nèi)? 這一問題等價于是否點R′(m,m)、點S′(m,n)、點T′(m,)、點U′(n,n)、點V ′(n,)、點W′()、點X′(?p,p)都在區(qū)域D內(nèi)? 回答是否定的.例如,當p <2m+n時,點S′不在區(qū)域D內(nèi),如圖1 所示(l1和l2分別表示直線x+y=p ?n和x+y=p ?m),對于不同的p,區(qū)域D的形狀有3 種典型的情形,如圖1-3 的陰影所示.

圖1

圖2

圖3

注易知對任意p ∈(3m,3n),點W()總滿足問題條件,即3 個分量都在區(qū)間[m,n]內(nèi).

根據(jù)以上分析,可以提煉出推廣問題的求解策略.

策略在R′,S′,T′,U′,V ′,W′,X′中找出屬于區(qū)域D的點,將找出的點代入函數(shù)F(x,y,z),從所得的函數(shù)值中找出最大值和最小值,即為推廣問題的最大值和最小值.

二、實例

我們用以上策略來求解幾個具體的問題.

例1([1] 的問題) 此時m=?2,n=2,p=0,容易驗證此時只有T(?2,1,1)、V(2,?1,?1)、W(0,0,0)滿足問題條件.因此,最大值為23+(?1)3+(?1)3=6,最小值為(?2)3+13+13=?6,根據(jù)對稱性可知當a,b,c中有1 個2和2 個?1 時取最大值,當a,b,c中有1 個?2 和2 個1 時取最小值.

例2([3] 的命題) 已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=p(?6

為了方便,當點P(r,s,t) 的每個坐標分量都在區(qū)間[?2,2]內(nèi)時,稱點P是可行點.易知,R(?2,?2,p+4)是可行點?p ∈(?6,?2];S(?2,2,p)是可行點?p ∈[?2,2];是可行點?p ∈(?6,2];U(2,2,p ?4)是可行點? p ∈[2,6);V(2,) 是可行點?p ∈[?2,6);W() 恒為可行點;X(?p,p,p) 是可行點?p ∈[?2,2].

將點R,S,T,U,V,W,X依次代入F(x,y,z),可得6 個表達式(S和X對應的表達式相同),如下表所示.

表1

以下根據(jù)p的取值分3 種情形討論.

綜上可知,當?6

(2) 當?2

圖4

由圖4,又分為以下3 種情形.

當然,嚴格的討論要用類似(1)的方法作差求導,限于篇幅,略去細節(jié).

(3) 當2

α5(p)>α6(p).因此,當2

至此,我們對文[3]的命題給出了新的證法,并作出了進一步的完善.

三、進一步的問題

還可從以下幾個方面對原問題進行推廣.

(1)區(qū)間.原問題的a,b,c都在同一區(qū)間內(nèi),可進一步探究a,b,c在不同區(qū)間的情形.

(2)次數(shù).原問題是3 次的,可進一步探究n次的情形.

(3)項數(shù).原問題有3 個變量(即有3 項),可進一步探究m個變量的情形.

(4)系數(shù).原問題每一項的系數(shù)都是1,可進一步探究系數(shù)不同的情形.

這些問題留給有興趣和毅力的讀者思考.