行列式在高中平面幾何中的應(yīng)用

陳云霞

摘 要：本論文主要研究行列式在高中平面幾何中的應(yīng)用，通過(guò)研讀大量的文獻(xiàn)以后我主要闡述行列式在高中平面幾何中的廣泛應(yīng)用。另外，列了些運(yùn)用行列式的高考試題作為例子。因而行列式在處理高中幾何數(shù)學(xué)的問(wèn)題中具有重要的的作用。

關(guān)鍵詞：行列式；平面幾何

1、行列式在平面幾何中的應(yīng)用

有一部分平面幾何問(wèn)題，按照傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)解題方法，一般來(lái)說(shuō)是比較困難，運(yùn)用行列式的相關(guān)知識(shí)解題可以把復(fù)雜的理論問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題。

1.1 利用行列式來(lái)證明平面上的三個(gè)點(diǎn)共線的充要條件

【定理1】已知平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則三點(diǎn)共線的充要條件是

已知給定的三個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)它們通過(guò)的直線方程是，那么這三點(diǎn)的坐標(biāo)是滿足直線的方程的。即是：

方程組是關(guān)于未知數(shù)A，B，C的齊次線性方程組，而方程組必須有不是零的解，為此三點(diǎn)共線的充要條件是方程組的行列式等于零。即是：

1.2 利用行列式證明三線共點(diǎn)的充要條件

【定理3】已知三條互不平行的直線方程，它們共點(diǎn)的充要條件：

設(shè)三條直線的方程分別為：

令它們相交于一點(diǎn)，則必須滿足直線方程：

這些等式說(shuō)明了，齊次方程組有非零解：

因而導(dǎo)致行列式必須等于零，即：

1.3 利用行列式根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出其三角形的面積

【定理4】以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂

點(diǎn)的的面積：假設(shè)直線l的方程為：

（2）在直線外任取一點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為

，則

現(xiàn)設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

那么由所決定的直線方程為：

與（2）式做比較得：，

從而

因此三角形的面積可以看作是以A1A2為底，A3到A1A2的距離為高

所以

1.4 利用行列式根據(jù)三角形三條邊所在的直線的方程求三角形的面積

【定理5】設(shè)三角形的三邊方程分別為：

，則它們圍成的三角形面積為：

1.5 利用行列式求向量所確定的平行四邊形的面積為

【定理6】如果二階矩陣，則由向量所確定的平行四邊形的面積為

證明：若是以坐標(biāo)原點(diǎn)0為起點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為終點(diǎn)的向量，即是（如圖1），則，

為鄰邊做平行四邊形OACB，則 所求面積

過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B做平行于x軸的直線，與過(guò)點(diǎn)C作平行于y軸的直線交于點(diǎn)D，顯然，可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，則有

1.6 利用行列式求任意四邊形的面積公式

【定理7】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意四邊形的三邊中點(diǎn)坐標(biāo)， 則任意四邊的面積為：

【例2】求頂點(diǎn)坐標(biāo)為的四邊形的面積。如圖3

解：由題意可得四邊形的三邊AB，AD，BC的中點(diǎn)分別為

2. 總結(jié)

在過(guò)去的數(shù)學(xué)教育中，正是因?yàn)檫^(guò)于重視知識(shí)的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加上傳統(tǒng)的考試制度，所以出現(xiàn)了“高分低能”的現(xiàn)象。要改變這種狀態(tài)，就要狠抓數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)。通過(guò)對(duì)上面的歸納總結(jié)，我總結(jié)出學(xué)好行列式是很重要的，另外除了可以用行列式去解決中學(xué)中的問(wèn)題，平時(shí)在學(xué)習(xí)中留心觀察，總結(jié)還可以用其他的高等數(shù)學(xué)知識(shí)去解決初等數(shù)學(xué)的知識(shí)。加強(qiáng)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

（作者單位：四川省廣安市前鋒區(qū)桂興初級(jí)中學(xué)校）