數(shù)學(xué)慢教育科學(xué)認(rèn)知的四種形態(tài)

朱桂鳳　孫朝仁

摘要數(shù)學(xué)慢教育范疇的科學(xué)認(rèn)知形態(tài)是在研究現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)事實(shí)和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行層次性劃分，包括整體主義形態(tài)、監(jiān)控主義形態(tài)、直觀主義形態(tài)和客觀主義形態(tài).這些科學(xué)認(rèn)知形態(tài)具有思維清楚、概念透明的理性?xún)r(jià)值特征，投射了慢教育數(shù)學(xué)“大過(guò)程”的過(guò)程性思想和科學(xué)認(rèn)知精神.

關(guān)鍵詞慢教育；數(shù)學(xué)；科學(xué)認(rèn)知

數(shù)學(xué)慢教育[1]作為認(rèn)識(shí)論范疇一種科學(xué)認(rèn)知學(xué)，起于意義建構(gòu)，終于數(shù)學(xué)理解，終歸于科學(xué)認(rèn)知形態(tài)的定向發(fā)展.已有文獻(xiàn)將科學(xué)認(rèn)知理解分為四個(gè)層面：工具性理解模式、關(guān)系性理解模式、直覺(jué)性理解模式和形式性理解模式[2].這些結(jié)構(gòu)化心理模式在一定維度決定個(gè)體學(xué)習(xí)能力的層次.數(shù)學(xué)認(rèn)知理解在眾多數(shù)學(xué)能力因素中占據(jù)核心地位，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)為素養(yǎng)層面的個(gè)性心理品質(zhì).數(shù)學(xué)慢教育范疇的科學(xué)認(rèn)知形態(tài)是在現(xiàn)有文獻(xiàn)研究基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行層次性劃分，包括整體主義形態(tài)、監(jiān)控主義形態(tài)、直觀主義形態(tài)和客觀主義形態(tài).這些科學(xué)認(rèn)知形態(tài)的“大過(guò)程”特征是思維清楚、概念透明.

工具性理解[3]是一種程序性理解即一個(gè)規(guī)則R所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作.程序性本身具有“通體相關(guān)”的特性，揭示慢教育整體主義認(rèn)知形態(tài)的過(guò)程要義.關(guān)系性理解[4]則需要添加符號(hào)意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí).關(guān)系理解是元認(rèn)知作用的過(guò)程，反映慢教育監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)的思想意義.直覺(jué)性理解是在觀察、想像、審美活動(dòng)中，產(chǎn)生突如其來(lái)的頓悟和理解，具有邏輯程序高度約簡(jiǎn)的特點(diǎn)[5].直覺(jué)性是直觀選擇作用的概括化，體現(xiàn)慢教育直觀主義認(rèn)知形態(tài)的科學(xué)性質(zhì).形式性理解是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的外在表征，是數(shù)學(xué)觀念、思想、方法客觀化的結(jié)果，是事實(shí)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)事實(shí)聯(lián)結(jié)的介質(zhì)[6].形式性是數(shù)學(xué)概念得以還原的外在法定的標(biāo)準(zhǔn)，投射慢教育客觀主義認(rèn)知形態(tài)的科學(xué)精神.

1整體主義認(rèn)知形態(tài)

迪爾凱姆在認(rèn)識(shí)論上堅(jiān)持整體主義取向，認(rèn)為社會(huì)事實(shí)必須在社會(huì)結(jié)構(gòu)中得到解釋?zhuān)辉趦r(jià)值觀上，體現(xiàn)集體主義取向[7].把這種整體主義社會(huì)關(guān)系論借用到數(shù)學(xué)慢教育認(rèn)識(shí)形態(tài)領(lǐng)域，則反映慢教育整體認(rèn)知的科學(xué)性.社會(huì)事實(shí)與社會(huì)結(jié)構(gòu)關(guān)系的關(guān)系，正是慢教育整體認(rèn)知的思想淵源.換句話(huà)說(shuō)，整體認(rèn)知不是孤立行為，而是系統(tǒng)行為.在數(shù)學(xué)解題學(xué)領(lǐng)域我們掛在嘴邊的口號(hào)就是“做一題、通一類(lèi)、連一片”.事實(shí)上，數(shù)學(xué)慢教育背景下，整體主義認(rèn)知形態(tài)的本質(zhì)就是把問(wèn)題放在系統(tǒng)層面去解決，帶有科學(xué)性“知一點(diǎn)、識(shí)一線(xiàn)、明一片”的整體意義.不是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的局部觀.尤其是核心概念的建設(shè)問(wèn)題，不僅要讓學(xué)生掌握課時(shí)背景下的“小概念”（靜態(tài)概念），還要放在單元系統(tǒng)層面，通過(guò)橫向關(guān)聯(lián)、縱向鏈接等拉長(zhǎng)概念思維長(zhǎng)度的方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)“大概念”（范式概念）的定性把握.

數(shù)學(xué)慢教育課堂整體主義認(rèn)知形態(tài)具體表現(xiàn)在以下三個(gè)層面：一是站在系統(tǒng)思維層面設(shè)計(jì)整體性問(wèn)題；二是以問(wèn)題組塊的形式進(jìn)行整體架構(gòu)；三是以還原概念作為數(shù)學(xué)思考的主流.比如我們?cè)凇疤剿魅切蜗嗨频臈l件”時(shí).蘇科版九年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)編者是按照“平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理→兩角對(duì)應(yīng)相等→兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等→三邊對(duì)應(yīng)成比例”的邏輯順序展開(kāi)的，遵循“前概念+證實(shí)+應(yīng)用”的思維線(xiàn)索，即“一課一條件”的板塊學(xué)習(xí)式.這種“割裂帶”認(rèn)知形態(tài)有利于學(xué)生暫時(shí)掌握課時(shí)“小概念”，但因缺乏概念的系統(tǒng)性，造成出了課堂就被忘掉的認(rèn)知事實(shí).課題組基于整體認(rèn)知形態(tài)，對(duì)該教材進(jìn)行整合、重組和改造，將4個(gè)課時(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性立體劃分.第1課時(shí)專(zhuān)門(mén)研究三角形相似四個(gè)條件的前概念；第2課時(shí)主流任務(wù)是證實(shí)三角形相似的條件；第3課時(shí)是學(xué)以致用；第4課時(shí)是綜合變式并鏈接中考及后續(xù)待學(xué)內(nèi)容.如果整合是系統(tǒng)思維的內(nèi)在需求，那么重組是整體認(rèn)知的邏輯起點(diǎn)，改造則是科學(xué)認(rèn)知的最高目標(biāo).事實(shí)上，課時(shí)重新劃分本身就反映整體主義認(rèn)知思想，綜合變式與鏈接行為則是問(wèn)題組塊的組織路徑，而尋找前概念、證實(shí)以及致用等整體認(rèn)知形態(tài)則是還原概念的外在表現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了概念在概念系統(tǒng)中生成的整體主義認(rèn)知取向.2監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)

監(jiān)控主義屬于元認(rèn)知范疇，元認(rèn)知包括策略性知識(shí)、認(rèn)知任務(wù)知識(shí)、背景和條件知識(shí)以及自我知識(shí)[8].現(xiàn)代信息加工心理學(xué)，提出高效學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)主要包括選擇性注意、元認(rèn)知、學(xué)習(xí)策略、非智力因素、內(nèi)隱認(rèn)知等要素[9].數(shù)學(xué)元認(rèn)知包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)與元認(rèn)知監(jiān)控.其中元認(rèn)知體驗(yàn)與自覺(jué)監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)行為過(guò)程，是一種高級(jí)形態(tài)的學(xué)習(xí)要求，不易支配實(shí)行與適切評(píng)價(jià).數(shù)學(xué)慢教育研究組，基于策略性方法層面提出可操作的“反問(wèn)式監(jiān)控”和“追問(wèn)式調(diào)節(jié)”.反問(wèn)式監(jiān)控主要是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中即時(shí)解釋在做什么，為什么做，隨后還需要做什么等哲學(xué)層面的動(dòng)作行為；追問(wèn)式調(diào)節(jié)則傾向于怎么做，做得怎樣，還可以怎樣做的數(shù)學(xué)哲學(xué)思考.其實(shí)監(jiān)控認(rèn)知形態(tài)是數(shù)學(xué)認(rèn)知關(guān)系中最活躍的因素，能有效促進(jìn)問(wèn)題產(chǎn)生式定向形成，是“定法多用”的典型方法.

數(shù)學(xué)慢教育課堂監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)具體表現(xiàn)在以下層面：一是讓學(xué)生在活動(dòng)中養(yǎng)成反思的習(xí)慣；二是讓學(xué)生在問(wèn)題解決中提出質(zhì)疑的習(xí)慣，三是讓學(xué)生在小結(jié)“節(jié)點(diǎn)處”提出批判性思考.比如，我們?cè)谘芯俊敖M合矩形”新概念時(shí)，設(shè)計(jì)了如下監(jiān)控認(rèn)知活動(dòng)：（1）圖1是一塊直角三角形紙片.將該三角形紙片按下圖方法折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕.試說(shuō)明△CBE是等腰三角形；（2）再將圖1中的△CBE沿對(duì)稱(chēng)軸EF折疊（如圖2）.通過(guò)折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合（指無(wú)縫無(wú)重疊）所成的矩形，我們稱(chēng)這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”.你能將圖3中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出折痕；（3）請(qǐng)你在圖4的方格紙中畫(huà)出一個(gè)斜三角形，同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)）上；（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過(guò)折疊也能折成組合矩形（其中的內(nèi)接矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在原四邊形的四條邊上）.請(qǐng)你進(jìn)一步探究，一個(gè)非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿(mǎn)足何條件時(shí)，一定能折成組合矩形？問(wèn)題（1）證實(shí)等腰三角形的過(guò)程就是對(duì)“折”的活動(dòng)的具體反思；問(wèn)題（2）（3）折和畫(huà)滿(mǎn)足特定條件的組合矩形行為就是質(zhì)疑思維的養(yǎng)成事件，尤其是對(duì)“斜三角形”本質(zhì)定位，則是質(zhì)疑的內(nèi)部表現(xiàn)；問(wèn)題（4）探討非特殊四邊形折成組合矩形條件的過(guò)程就是批判思維發(fā)揮作用的過(guò)程.事實(shí)上，就統(tǒng)覺(jué)加工論而言，“折”與“畫(huà)”的動(dòng)作本身就帶有強(qiáng)烈的反思（我在做什么）和質(zhì)疑（這樣做的結(jié)論是什么）性質(zhì).由菱形性質(zhì)的示范性研究（對(duì)角線(xiàn)互相垂直），到一般非特殊四邊形條件的探討（對(duì)角線(xiàn)必須滿(mǎn)足怎樣的條件，才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)），學(xué)生的批判性思維在監(jiān)控與調(diào)節(jié)中呈現(xiàn)“不平衡→平衡→不平衡”的狀態(tài)，終于新概念的定向遷移（非特殊四邊形必須滿(mǎn)足對(duì)角線(xiàn)垂直的條件）.

圖1圖2圖3圖43直觀主義認(rèn)知形態(tài)

直觀（intuition）主義帶有強(qiáng)烈的哲學(xué)色彩，其核心內(nèi)容是“存在必須是被構(gòu)造”.為此，數(shù)學(xué)中的直觀主義與哲學(xué)中的康德主義具有內(nèi)在一致性，主張數(shù)學(xué)概念由人類(lèi)的理性構(gòu)造形成.數(shù)學(xué)對(duì)象的構(gòu)造就是人們先驗(yàn)的在直觀中畫(huà)出與概念相應(yīng)的圖形，因此構(gòu)造數(shù)學(xué)需要非經(jīng)驗(yàn)的直觀.數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握[10].可見(jiàn)，直觀具有縮短發(fā)現(xiàn)真理歷程的作用，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與生長(zhǎng)具有不可替代性特征.這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“后課程標(biāo)準(zhǔn)”）為什么把“幾何直觀”作為十大核心概念之一提出的重要原因.數(shù)學(xué)慢教育課堂的直觀主義認(rèn)知形態(tài)就是通過(guò)選擇直觀性材料，讓學(xué)生在直觀活動(dòng)中尋找“前概念”，在直觀“做數(shù)學(xué)”中還原主概念，在直觀“用數(shù)學(xué)”中延伸后概念，終于對(duì)數(shù)學(xué)概念的直接理解和知性把握.

“后課程標(biāo)準(zhǔn)”指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果；可以幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué).這些直觀化的作用正是數(shù)學(xué)慢教育選擇直觀認(rèn)知出發(fā)的理由.眾所周知，“因式分解”對(duì)于形象思維尚占主導(dǎo)地位的初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，“說(shuō)教式”認(rèn)知理解是困難的.為此，慢教育課題組選擇直觀實(shí)驗(yàn)的方式，幫助學(xué)生理解“多項(xiàng)式的因式分解”.具體操作如下：首先讓學(xué)生準(zhǔn)備邊長(zhǎng)為a的正方形紙片若干張，邊長(zhǎng)為b的正方形紙片若干張，長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片若干張.其次讓學(xué)生任意拼正方形，并寫(xiě)出邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系式.再次讓學(xué)生用邊長(zhǎng)不同的兩個(gè)正方形沿鄰邊覆蓋的方式，規(guī)定陰影部分為減去覆蓋部分的面積，用不同方法表示陰影部分的面積，并寫(xiě)出關(guān)系式.最后讓學(xué)生寫(xiě)出簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式并進(jìn)行因式分解，再通過(guò)拼圖的方式驗(yàn)證其正確性.“拼圖”是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第九章章末設(shè)置的數(shù)學(xué)活動(dòng)，目的是初步引動(dòng)“數(shù)形結(jié)合”經(jīng)驗(yàn).任意拼正方形的認(rèn)知行為就是尋找因式分解的前概念行為；覆蓋活動(dòng)的探討就是解決拼圖不完備（“純和”形式的多項(xiàng)式）的弊端，為“完形”理解因式分解提供直觀的加工材料；任意“寫(xiě)→拼→寫(xiě)”以及內(nèi)部關(guān)系的尋求是直觀還原概念的關(guān)鍵性事件，也是直觀“用數(shù)學(xué)”的典型案例.這些直觀的做、說(shuō)、用的活動(dòng)過(guò)程與結(jié)果，終于因式分解概念本質(zhì)的直接把握和定向生長(zhǎng).4客觀主義認(rèn)知形態(tài)

客觀主義堅(jiān)持物質(zhì)世界是實(shí)在的、有結(jié)構(gòu)的，人類(lèi)的思維任務(wù)就是反映這些客觀實(shí)體及其結(jié)構(gòu).這是數(shù)學(xué)慢教育堅(jiān)守客觀主義認(rèn)知行為的科學(xué)根據(jù).已有文獻(xiàn)[11]指出，數(shù)學(xué)作為一門(mén)精確科學(xué)，其研究活動(dòng)必須以量和質(zhì)、內(nèi)容與形式的分離為前提，把前者從自然界的普遍聯(lián)系中抽取出來(lái)，加以抽象，在不斷形式化的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)它的精確性，這個(gè)過(guò)程就是客觀數(shù)學(xué)化.這就說(shuō)明數(shù)學(xué)的抽象與現(xiàn)實(shí)世界是緊密聯(lián)系的，客觀化（形式化）既可以刻畫(huà)具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，也可以反映各種層次的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的更高層次的抽象.數(shù)學(xué)通過(guò)形式化能實(shí)現(xiàn)它的精確性，但數(shù)學(xué)思想是獨(dú)立于言語(yǔ)的形式之外的客觀精神實(shí)體，同時(shí)數(shù)學(xué)又必須通過(guò)一定的形式來(lái)表達(dá)，才能實(shí)現(xiàn)其嚴(yán)格化和完美化.數(shù)學(xué)慢教育作為客觀辯證法范疇，認(rèn)知理解形態(tài)的客觀性具體表現(xiàn)在三個(gè)維度：一是通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生切身經(jīng)歷“事實(shí)經(jīng)驗(yàn)→個(gè)體經(jīng)驗(yàn)→客觀經(jīng)驗(yàn)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程；二是讓學(xué)生在形成和同化概念的過(guò)程中把握概念的客觀屬性；三是讓學(xué)生在問(wèn)題解決中認(rèn)識(shí)“原型內(nèi)化”對(duì)知識(shí)加工的客觀意義.

我們?cè)谘芯刻K科版九年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)“等可能性”時(shí)，就是基于客觀主義認(rèn)知形態(tài)把握概念的.思維反應(yīng)塊組織如下：（1）你能用數(shù)學(xué)眼光揭示成語(yǔ)故事“甕中捉鱉”“一箭雙雕”“守株待兔”“水中撈月”的數(shù)學(xué)屬性嗎？（2）一個(gè)不透明的袋中裝有除標(biāo)號(hào)外質(zhì)地一樣的10個(gè)小球，你認(rèn)為每次只摸一個(gè)球，有幾種結(jié)果，這些結(jié)果是等可能的嗎？（3）在（2）的背景下，袋中只有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，每次只摸一個(gè)球，摸到紅球和白球的可能性一樣嗎？為什么？學(xué)生對(duì)問(wèn)題（1）的個(gè)性理解、集體研討、認(rèn)證判斷的過(guò)程就是“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)”到“公共經(jīng)驗(yàn)”客觀化的認(rèn)識(shí)過(guò)程，反映加工概念的客體意義，并使得隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件的數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系趨于結(jié)構(gòu)化，為新知學(xué)習(xí)提供客觀經(jīng)驗(yàn)根據(jù).對(duì)問(wèn)題（2）的探討過(guò)程就是學(xué)生形成并同化概念的客觀形態(tài)，抽象概念本質(zhì)屬性的行為就是形式化數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn).對(duì)問(wèn)題（3）的解決則是“用數(shù)學(xué)”的客觀表現(xiàn)，揭示了概念的本質(zhì)特征（是隨機(jī)事件、每次只有一個(gè)結(jié)果、結(jié)果具有等可能性）對(duì)問(wèn)題解決的客觀指導(dǎo)意義.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)慢教育客觀主義認(rèn)知數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是在生活中提煉數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)思考中聯(lián)系生活，終于原型定向到原型內(nèi)化的科學(xué)認(rèn)識(shí)觀.作為數(shù)學(xué)思維成果或?qū)ο蟮某橄笪铮Ｊ剑?，一?jīng)構(gòu)造出來(lái)就具有“形式客觀性”和獨(dú)立存在性，因而立即獲得了自己的生命，從而又可以成為后繼的進(jìn)一步抽象的具體原型（或?qū)嶋H背景）.[12]這既反映慢教育客觀主義認(rèn)知形態(tài)的本質(zhì)要義（模式建立與形式客觀性共存），又在形式化層面揭示客觀概念（等可能性）反應(yīng)塊建設(shè)的科學(xué)意義.

數(shù)學(xué)慢教育科學(xué)認(rèn)知不止于以上四種主流認(rèn)知形態(tài)，還包括表象主義認(rèn)知形態(tài)、經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)知形態(tài)、結(jié)構(gòu)主義認(rèn)知形態(tài)以及審美主義認(rèn)知形態(tài)等帶有流變性特征的思維科學(xué)，限于文本研究方向，在這里不予研究.

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