拋物線的一條性質(zhì)在解中考題中的運(yùn)用

鄒守文

命題如圖1，P是拋物線y=14x2-1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l：y=-2的距離為PH，則有OP=PH.

證明設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，n，則n=14m2-1，OP=m2+14m2-12=14m2+1.

因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，所以點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為-2，

所以PH=14m2-1--2=14m2+1，所以PO=PH.

此結(jié)論是拋物線y=14x2-1的一個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)，其在解中考題中有著一定的應(yīng)用，下面舉例說(shuō)明.

例1（2013年廣西南寧卷）如圖2，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

例2（2012年山東濰坊卷）如圖3，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)C、D作平行于x軸的直線l1，l2.

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

（2）求證：以O(shè)N為直徑的圓與直線l1相切；

（3）求線段MN的長(zhǎng)（用k表示），并證明M、N兩點(diǎn)到直線l2的距離之和等于線段MN的長(zhǎng).

簡(jiǎn)解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；

（2）設(shè)Nx，14x2-1，過(guò)N作NP⊥l2交l1于點(diǎn)Q，由命題的證明知

ON=NP=14x2+1，NQ=14x2+1-1=14x2，設(shè)ON的中點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E向直線l1作垂線，垂足為F，則EF=12OC+NQ=121+14x2=12ON，所以以O(shè)N為直徑的圓與直線l1相切.

（3）由命題知顯然成立.

例3（2014年四川遂寧卷）已知：直線l∶y=-2，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），（2，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖4，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ.

（3）請(qǐng)你參考（2）中結(jié)論解決下列問(wèn)題：

（?。┤鐖D5，過(guò)原點(diǎn)作任意直線AB，交拋物線y=ax2+bx+c于點(diǎn)A、B，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別是點(diǎn)M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM.

（ⅱ）已知：如圖6，點(diǎn)D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；（2）證明略；

（3）（?。┤鐖D5，因?yàn)锽N⊥l，AM⊥l，所以BN=BO，AM=AO，BN∥AM，

所以∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°.

因?yàn)椤螧NO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，

所以∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°，

所以2∠BON+2∠AOM=180°，所以∠BON+∠AOM=90°，

所以∠MON=90°，所以O(shè)N⊥OM；

（ⅱ）如圖7，作F′H⊥l于H，DG⊥l于G，交拋物線與F，

作F′E⊥DG于E，所以∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，F(xiàn)O=FG，F(xiàn)′H=F′O.

所以四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O+FD=FG+FD=DG，F(xiàn)′O+F′D=F′H+F′D.

所以EG=F′H，所以DE

所以FO+FD

因?yàn)镈（1，1），所以F的橫坐標(biāo)為1，所以F（1，-34）.

把命題中的拋物線和直線都向上平移一個(gè)單位，可以得到

推論P(yáng)是拋物線y=14x2上任意一點(diǎn)，F(xiàn)0，1，點(diǎn)P到直線l：y=-1的距離為PH，則有FP=PH.

例4（2015年湖南永州卷）已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，14），R（1，1）是拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn).

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖8），求證：點(diǎn)P到R的距離與點(diǎn)P到直線y=-1的距離恒相等；

（3）設(shè)直線PR與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.E為線段PQ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P，E，Q分別作直線y=-1的垂線，垂足分別為M，F(xiàn)，N（如圖9），求證：PF⊥QF.

簡(jiǎn)解（1）y=14x2-12x+14；

（2）因?yàn)閥=14x2-12x+14=14x-12可以由拋物線y=14x2向右平移1個(gè)單位得到，由推論知點(diǎn)P到R的距離與點(diǎn)P到直線y=-1的距離恒相等；

（3）由（2）可得：QN=QR，PM=PR，所以QP=QN+PM.

又因?yàn)镋為線段PQ的中點(diǎn)，QN⊥MN，EF⊥MN，PM⊥MN，

所以EF=12（QN+PM），所以EF=12QP.

又E為線段PQ的中點(diǎn)，則EF=QE=EP，

所以∠EFQ=∠EQF，∠EFP=∠EPF，

故∠QFP=∠EFQ+∠EFP=12（∠EFQ+∠EQF+∠EFP+∠EPF）=90°.

于是PF⊥QF.

本題結(jié)論及其推論的一般結(jié)論是：拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和其到準(zhǔn)線的距離相等，由于初中階段沒(méi)有介紹這一性質(zhì)，上面我們從中考試題的角度作了一些介紹，本意在于揭示問(wèn)題的本質(zhì)，為中考題的解決提供一些“隱性”的方法，沒(méi)有過(guò)度挖掘高中相關(guān)知識(shí)的意圖.