綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化建模與求解

宋成舉，張亞平

(1. 黑龍江工程學(xué)院 汽車與交通工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150050； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

0 引 言

綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)是由互相補(bǔ)充、彼此協(xié)作、緊密配合的所有交通運(yùn)輸方式以及與交通運(yùn)輸方式相關(guān)的線路、換乘樞紐等相關(guān)資源所組成的，各種方式的連接線一般為各種方式的交通線路，而連接點(diǎn)則主要是換乘樞紐，這種組合可以實(shí)現(xiàn)各種客運(yùn)方式間的有效換乘和多式聯(lián)運(yùn)，是一個相對完善的綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)[1]。多種交通方式之間的競爭與合作共同促進(jìn)運(yùn)輸資源一體化不斷向前發(fā)展。因此，開展綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化研究對于科學(xué)認(rèn)識綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)行機(jī)制，全面把握綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)發(fā)展方向具有重要的指導(dǎo)意義[2]。

綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)是在綜合交通基礎(chǔ)上提出的，相關(guān)研究也僅有三四十年，但取得了很多代表性的研究成果。F. üLENGIN等[3]分析了土耳其運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)存在的問題，提出了一個決策支持系統(tǒng)，以彌補(bǔ)缺乏交通總體規(guī)劃的不足，促進(jìn)分析特定政策可能對改變客運(yùn)和貨運(yùn)交通運(yùn)輸方式的影響；J. C. PéREZ等[4]應(yīng)用多標(biāo)準(zhǔn)決策(MCDM)技術(shù)研究城市客運(yùn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和運(yùn)營等方面的最優(yōu)目標(biāo)，并相應(yīng)的給出了實(shí)施建議；H. HAGHSHENAS等[5]構(gòu)建綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)發(fā)展政策的系統(tǒng)動力學(xué)模型，從環(huán)境，經(jīng)濟(jì)和社會可持續(xù)發(fā)展3個方面分別給出了關(guān)鍵指標(biāo)，并建立融合關(guān)鍵指標(biāo)的綜合性指標(biāo)分析系統(tǒng)發(fā)展趨勢；李婷婷等[6]基于層級選址模型，提出了考慮能力限制的區(qū)域綜合客運(yùn)交通樞紐分層布局優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)免疫克隆算法并求解，最后通過算例驗(yàn)證了模型和算法的有效性；甘志良[7]采用綜合量化分析法，構(gòu)建綜合客運(yùn)樞紐服務(wù)水平評價指標(biāo)體系，提出各指標(biāo)的量化方法；傅成紅[8]構(gòu)建了綜合交通運(yùn)輸系統(tǒng)承載力、協(xié)調(diào)性的結(jié)構(gòu)模型，并建立了相應(yīng)的評價體系。既有研究成果針對綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)從建模分析等方面開展了研究，而缺乏對系統(tǒng)內(nèi)動力建模與解析求解的相關(guān)探索?；诖?，筆者在構(gòu)建綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解模型，以剖析綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化方式，明確系統(tǒng)內(nèi)各種交通方式之間的作用機(jī)制。

1 綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)自組織演化建模

1.1 狀態(tài)變量選擇

綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)中包括公路、鐵路、民航和水運(yùn)4種運(yùn)輸方式，參照國家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，以客運(yùn)周轉(zhuǎn)量作為描述綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)的狀態(tài)變量，它可以表征運(yùn)輸方式的全部勞動成果。此外，綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)還受到系統(tǒng)內(nèi)外諸多因素的制約，將內(nèi)部因素統(tǒng)一記做因素集{cj}，外部因素記做f(t)，假定Xi(i=1,2,3,4)為第i種運(yùn)輸方式的客運(yùn)周轉(zhuǎn)量，則綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)可以表示為

S=F({Xi},{cj},f(t),t)

(1)

式中：S為系統(tǒng)狀態(tài)；F為向量函數(shù)；t為時間。

1.2 綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化建模

在綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)內(nèi)外諸多因素的共同作用下，系統(tǒng)不斷向前演化，每個時段的系統(tǒng)狀態(tài)都取決于當(dāng)前狀態(tài)和系統(tǒng)變化，類似于流體運(yùn)動，即每個流位狀態(tài)都受到當(dāng)前流入或流出的物質(zhì)、能量和信息等因素的變化影響。從而使得綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)的演化過程表征為一系列非線性微分方程組。

(2)

式中：x為流位向量；p為一組參數(shù)；F為非線性的向量函數(shù)。

由于綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)滿足自組織演化條件[9]，可以采用流體運(yùn)動方程描述，考慮到綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的發(fā)展?jié)摿碗S機(jī)因素的干擾，建立客運(yùn)綜合交通系統(tǒng)動力學(xué)演化模型。

(3)

式中：X=(X1,X2,X3,X4)分別為公路、鐵路、民航和水運(yùn)子系統(tǒng)客運(yùn)周轉(zhuǎn)量；M=(M1,M2,M3,M4)分別為4種運(yùn)輸方式的發(fā)展?jié)摿ο蛄?；f(t)為系統(tǒng)所受到的隨機(jī)因素變量。

1.3 模型構(gòu)建

綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化過程類似于人口增長過程，當(dāng)各子系統(tǒng)發(fā)展規(guī)模相對較少時，其增長是迅速的，而當(dāng)子系統(tǒng)規(guī)模相對多時，其增長率便會趨緩，而越靠近容量的上限時，增長率越低。因此，文中采用Logistic模型描述綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化過程。

結(jié)合綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)中系統(tǒng)的流體運(yùn)動方程和Logistic模型，可得各子系統(tǒng)的自組織演化模型[9]：

(4)

式中：Ci為在當(dāng)?shù)刭Y源和環(huán)境條件等影響下，運(yùn)輸方式i所能實(shí)現(xiàn)的最大周轉(zhuǎn)量。

而在綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)中，各種運(yùn)輸方式在環(huán)境資源限制的條件下自我發(fā)展的同時，它們之間還存在著非線性的競爭和協(xié)作關(guān)系，這些因素都對運(yùn)輸方式的發(fā)展構(gòu)成了不同程度的影響。

因此，某種運(yùn)輸方式的發(fā)展除了包括環(huán)境限制下的自身發(fā)展，還包括運(yùn)輸方式之間的競爭關(guān)系對自身的影響，以及運(yùn)輸方式之間的協(xié)作關(guān)系對自身的影響。則式(4)可變化得：

(5)

式中：αij為運(yùn)輸方式j(luò)對運(yùn)輸方式i周轉(zhuǎn)量的影響系數(shù)，αij≥0為運(yùn)輸方式i對運(yùn)輸方式j(luò)周轉(zhuǎn)量起促進(jìn)作用，反之則起抑制作用。

將式(5)整理后可得：

(6)

2 模型求解

上述方程為典型的非線性微分方程組，而且包含一定的隨機(jī)因素。根據(jù)模型結(jié)構(gòu)可以看出，該模型由兩部分組成，且對于未來系統(tǒng)發(fā)展的影響作用存在一定的本質(zhì)差別?；诖耍瑢⒃摲匠探M劃分為Logistic方程部分和隨機(jī)部分，分別對兩部分進(jìn)行求解。

2.1 Logistic方程部分求解

由于隨機(jī)因素體現(xiàn)了系統(tǒng)所受到的擾動情況，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，擾動的期望值為0，為了簡化方程，假定fi(t)=0。將式(6)變?yōu)?/p>

(7)

(8)

(9)

則式(9)可整理為

(10)

(11)

假定：

則系統(tǒng)誤差Ei可表示為

Ei=Yi-Biλi

(12)

根據(jù)最小二乘法估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)λi，可得：

(13)

2.2 隨機(jī)部分求解

在Logistic方程部分求解時，假定fi(t)=0，在實(shí)際中，由于偶發(fā)效應(yīng)的存在，使得系統(tǒng)隨機(jī)漲落的難以忽略。因此，為了體現(xiàn)系統(tǒng)偶然的演化趨勢，則必須考慮綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化過程中所受到隨機(jī)因素的影響。

在前文中已經(jīng)求出系數(shù)λi，將其帶入式(12)，可以求得系統(tǒng)誤差項(xiàng)E=[E1,E2,E3]，利用K階Fourier級數(shù)擬合，可得擬合方程Fi(t)。

(14)

此外，根據(jù)定義可得：

(15)

同時求導(dǎo)可得：

(16)

整理得：

(17)

則公式(5)中的隨機(jī)項(xiàng)可求，綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化模型可以通過上述方法求得。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)擬合

查詢哈爾濱統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng)所公布的哈爾濱統(tǒng)計(jì)月報(bào)(2011年—2013年)，收集關(guān)于哈爾濱市旅客周轉(zhuǎn)量2011年—2013年的月度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，由于哈爾濱的水運(yùn)以貨運(yùn)為主，故在統(tǒng)計(jì)中未將水運(yùn)方式計(jì)入。其數(shù)據(jù)匯總至表1。

表1 哈爾濱市客運(yùn)周轉(zhuǎn)量匯總Table 1 The passenger turnover summary for Harbin 百萬人公里

代入式(11)中，取Δt=1，則

將計(jì)算結(jié)果代入式(10)，整理得誤差序列E=[E1,E2,E3]。

利用Fourier級數(shù)逼近擬合，F(xiàn)ourier級數(shù)的公式可以表示為

(18)

式中：n為階數(shù)；ω為擬合角速度；ai，bi為待標(biāo)定參數(shù)。

根據(jù)誤差序列E=[E1,E2,E3]，利用6級Fourier級數(shù)，取置信概率為95%，擬合曲線如圖1：

圖1 誤差項(xiàng)Fourier級數(shù)擬合Fig. 1 The Fourier series fitting for error

擬合方程的參數(shù)值見表2。

表2 誤差項(xiàng)Fourier級數(shù)擬合參數(shù)值Table 2 The parameter value of the Fourier series fitting for error

(19)

則式(6)可以表示為

(20)

利用MATLAB中simulink繪制方程曲線，得擾動條件下3種客運(yùn)方式的周轉(zhuǎn)量變化曲線，如圖2。

圖2 哈爾濱市綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)擬合Fig. 2 Fitting chart of the integrated passenger transport system in Harbin

從圖2中可以看出，擬合值基本能夠反映出統(tǒng)計(jì)值的波動情況，不但可以反映出綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)的固定增長，而且能夠較好的反映系統(tǒng)中存在的隨機(jī)因素，可以進(jìn)一步推廣并用以系統(tǒng)發(fā)展預(yù)測研究。

3.2 精度檢驗(yàn)

根據(jù)前文建立的擬合方程，對哈爾濱綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化趨勢進(jìn)行預(yù)測，可得2013年11月份的客運(yùn)結(jié)構(gòu)預(yù)測和實(shí)際值的對比情況，見表3。

表3 宏觀結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對比Table 3 Comparison of macro structural 百萬人公里

從表3中可以看出，綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化模型的預(yù)測精度都在10%以內(nèi)，預(yù)測結(jié)果穩(wěn)定可靠，能夠滿足研究需要。

通過對哈爾濱市綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)的實(shí)證分析，表明采用Logistic方程與Fourier級數(shù)聯(lián)合可以描述綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)的演化進(jìn)程。同時也說明了綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化的動力來源于系統(tǒng)內(nèi)部和外部因素的共同作用。

4 結(jié) 論

以綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)為研究對象，以客運(yùn)周轉(zhuǎn)量為系統(tǒng)變量，建立綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化模型，并對模型求解和實(shí)例驗(yàn)證。研究得到結(jié)論如下：

1)Logistics非線性方程組可以描述綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化過程。

2)綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)演化方程能夠拆分成Logistic方程部分和隨機(jī)部分，其中Logistic方程部分采用矩陣最小二乘法擬合，隨機(jī)部分采用K階Fourier級數(shù)擬合。

3)以哈爾濱市綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)為例，標(biāo)定模型參數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明該方法預(yù)測綜合客運(yùn)交通系統(tǒng)精度可以滿足需求。