軌道交通線網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型及節(jié)點重要度分析

諶微微，張富貴，趙曉波

(1. 重慶交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，重慶 400074； 2. 重慶市軌道交通設(shè)計研究院有限責(zé)任公司，重慶 401122)

0 引 言

軌道交通網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)日趨復(fù)雜，線路、站點數(shù)量越來越多，在運行中出現(xiàn)故障的情況也時有發(fā)生。如重慶市軌道3號線因故障導(dǎo)致12個站點停擺達(dá)8個多小時；北京市地鐵4號線角門西站早高峰時發(fā)生故障，大量旅客滯留，嚴(yán)重影響了整個網(wǎng)絡(luò)的正常運行。針對上述問題，學(xué)者們對軌道交通網(wǎng)絡(luò)運營安全[1]、可靠性[2]、可達(dá)性[3]、網(wǎng)絡(luò)性能[4]等開展了研究。然而，軌道交通網(wǎng)絡(luò)作為一個巨系統(tǒng)，從全局角度分析其結(jié)構(gòu)更有利于發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵節(jié)點、制定資源配置方案和應(yīng)急事故處理方案。因此，對軌道交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及節(jié)點重要度分析具有重要價值。

軌道交通網(wǎng)絡(luò)已被眾多學(xué)者證明屬于一種典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。研究表明，軌道交通網(wǎng)絡(luò)具有顯著的小世界性和無標(biāo)度性[5-6]。因而，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)也成為對軌道交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究的重要方法。A. L. BARBASI等利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論構(gòu)建城市軌道交通路網(wǎng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[7]。在此基礎(chǔ)上，S. DERRIBLE分析了由全球28個城市的地鐵系統(tǒng)換乘車站和終點車站構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)介數(shù)[8]；高天智等則選取中國10個典型城市的軌道交通網(wǎng)絡(luò)的宏觀特性進(jìn)行了研究[9]。進(jìn)一步，馬嘉琪等從宏觀和微觀兩個角度對北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)性能進(jìn)行了綜合分析[10]；而孟天奇等以北京、上海的軌道交通網(wǎng)絡(luò)為對象，從網(wǎng)絡(luò)基本特征、空間分布、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等指標(biāo)入手進(jìn)行對比[11]。除此以外，軌道與公交換乘網(wǎng)絡(luò)亦是學(xué)者們的研究對象。如趙淑芝等利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化后交通網(wǎng)絡(luò)可使換乘時間縮短16%，系統(tǒng)總費用節(jié)約6.16%[12]。軌道交通的重要功能為載客。因此，陳培文等以車站為研究對象，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)分流模型，提出城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的客流中心性指標(biāo)，進(jìn)一步識別出北京地鐵的重點車站[13]；秦孝敏試圖探尋平穩(wěn)運行中的脆弱節(jié)點[14]；而程光權(quán)等基于節(jié)點的動態(tài)演化模型提出節(jié)點重要度評估和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)脆弱性分析方法[15]。以此為基礎(chǔ)，杜斐等[16]、劉志謙等[17]分別構(gòu)建了上海、廣州軌道交通的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并對網(wǎng)絡(luò)中站點遭遇隨機(jī)故障和蓄意攻擊情況下的魯棒性進(jìn)行研究。在以往研究中，北京、上海、廣州、武漢等重要城市的軌道交通網(wǎng)絡(luò)均為學(xué)者的重要研究對象，而作為直轄市之一的重慶，軌道交通發(fā)展相對滯后，對其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性的研究較為缺乏，難以對其實際運維工作進(jìn)行有效指導(dǎo)。鑒于此，筆者綜合采用二階張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法構(gòu)建軌道交通線網(wǎng)拓?fù)淠Ｐ?，對模型的度和度分布、網(wǎng)絡(luò)直徑、平均路徑長度、聚類系數(shù)等網(wǎng)絡(luò)整體特征指標(biāo)進(jìn)行分析，并用3個中心性指標(biāo)評價其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要度，以指導(dǎo)相關(guān)部門制定軌道交通網(wǎng)絡(luò)資源配置方案和應(yīng)急事故處理方案，同時對軌道運營公司日常防護(hù)工作及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供有效參考。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本理論

網(wǎng)絡(luò)存在于人們生活的各個方面，如交通運輸網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、科研合作網(wǎng)、供電網(wǎng)、社交網(wǎng)、城市網(wǎng)、港口網(wǎng)等。軌道交通網(wǎng)絡(luò)是由區(qū)間線路將各個車站連接在一起的典型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，可抽象為由站點集V和區(qū)間線路集E組成的圖G=(V,E)。其中，站點數(shù)用N=|V|表示，區(qū)間線路數(shù)用M=|E|表示。E中任意一條區(qū)間線路都有V中一對站點與之對應(yīng)。若任意的一對站點(i,j)與(j,i)對應(yīng)于同一條區(qū)間線路，則該網(wǎng)絡(luò)成為無向網(wǎng)絡(luò)。

1.1 度與度分布

(1)

假定在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中有N個站點，站點i的度ki表示任意站點與其他直接相連的站點數(shù)量，則對于站點i的度：

(2)

所有節(jié)點度的平均值為該網(wǎng)絡(luò)的平均度，用表示。在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，平均度表示該網(wǎng)絡(luò)中一個站點與其他站點直接相連的平均站點數(shù)量：

(3)

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的累積度分布P(k)呈現(xiàn)冪律分布，即：

(4)

式中：p(i)為站點度為i的站點占總節(jié)點數(shù)的比例；kmax為網(wǎng)絡(luò)中站點度的最大值；γ為冪率指數(shù)。

為了更好地驗證軌道交通網(wǎng)絡(luò)是否為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，可以通過分析其網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度分布特征，然后對節(jié)點累積度分布進(jìn)行曲線擬合。

1.2 網(wǎng)絡(luò)直徑與平均路徑長度

網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點間的距離稱為連接該兩節(jié)點的最短路徑的邊數(shù)，其中距離的最大值定義為該網(wǎng)絡(luò)的直徑[20]。在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，任意兩個站點i、j間的距離dij為連接這兩個站點的區(qū)間線路數(shù)，其中最大值為該軌道交通網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)直徑D，即：

(5)

兩個任意站點間的距離的平均值定義為網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度L，即：

(6)

在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，平均路徑長度表示該網(wǎng)絡(luò)中平均最短路程需要經(jīng)過的區(qū)間線路數(shù)，在一定程度上反映了網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模大小。

1.3 聚類系數(shù)

在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，聚類系數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)中直接相連的站點比例，在一定程度上反映該網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜程度。

2 軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型及特性

2.1 軌道交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型

軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是理解其性質(zhì)和功能的基礎(chǔ)。該網(wǎng)絡(luò)是由車站和車站之間的線路連接而成的交通運輸網(wǎng)，其基于Space L法[21]建立網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即以車站為節(jié)點、車站之間的線路為邊、相鄰車站間距離為邊的長度來構(gòu)建拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法，并作如下假設(shè)：

1)將站點抽象為質(zhì)點，通過質(zhì)點間的聯(lián)結(jié)關(guān)系建立網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，故現(xiàn)實站點及其距離在該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中對整體性能和實際運行中站點重要度分析的影響可忽略。因此假設(shè)所有相鄰且有直接相連的車站間長度相等，長度假定為1。

2)軌道交通網(wǎng)絡(luò)具有雙向通行的特點，即同一站點的出度和入度大致相等，因此可以將其抽象為無向網(wǎng)絡(luò)。

3)一個車站為一個節(jié)點，換成車站看作是與多個節(jié)點相連單個節(jié)點，車站用υi表示。

4)重點考慮軌道線網(wǎng)拓?fù)涮匦约巴負(fù)浣Y(jié)構(gòu)中的節(jié)點重要度，忽略實際運行中的客流變化、車輛編組、發(fā)車時間等因素，將其簡化為非計權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

基于前述假設(shè)，構(gòu)建軌道交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型，如圖1。

圖1 軌道交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型Fig. 1 Topological structure model of rail transit complex network

2.2 軌道交通網(wǎng)絡(luò)特征描述

用Space L法構(gòu)建的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其典型的網(wǎng)絡(luò)特征描述指標(biāo)包括網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)、邊數(shù)、平均度、平均路徑長度、網(wǎng)絡(luò)直徑、平均聚類系數(shù)等。這些指標(biāo)從不同角度反映網(wǎng)絡(luò)的特征，綜合起來考慮能夠比較全面反映整個網(wǎng)絡(luò)的特征。

用Gephi 9.1建立軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)一步可以分析得出該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征描述指標(biāo)。

2.3 軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要度指標(biāo)

判斷整個網(wǎng)絡(luò)中任意一個節(jié)點的重要程度的首要因素為該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置。位置越中心的節(jié)點，其重要程度越高[22,23]。在對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析時，通常用“中心性”來表示節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置。進(jìn)一步，對軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點重要度評價主要通過分析拓?fù)鋱D中各節(jié)點所處的位置，并刻畫其“中心性”的數(shù)組對其所處位置進(jìn)行排序，以此反映出不同的重要程度?！爸行男浴睌?shù)據(jù)主要分為3類，分別反映網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點所起的不同作用。

2.3.1 點度中心性

點度中心性表征特定節(jié)點直接與其他節(jié)點有連接關(guān)系的節(jié)點數(shù)量，是刻畫節(jié)點中心性最直接的度量指標(biāo)[24]。一個節(jié)點的點度中心性越高意味著該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中越重要。

在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，點度中心性測量該網(wǎng)絡(luò)中特定站點與其他所有其他站點相連接的程度。若該網(wǎng)絡(luò)共有g(shù)個站點，站點i與其他g-1個站點的直接連接總數(shù)可用二階張量進(jìn)行計算：

(7)

2.3.2 接近中心性

接近中心性描述特定節(jié)點與其他所有節(jié)點的平均最短距離值[24]，反映特定節(jié)點與其他節(jié)點的接近程度。

在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，接近中心性是指特定站點與其他所有站點的平均最短距離，表征了該站點在整個網(wǎng)絡(luò)中所處的位置。若用CC(i)表示站點i的接近中心性，則：

(8)

2.3.3 中介中心性

中介中心性以經(jīng)過特定節(jié)點的最短路徑數(shù)目來反映該節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)中的重要程度[20]，可以度量節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中對其他節(jié)點或資源信息的控制能力。

在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，中介中心性表示在尋找網(wǎng)絡(luò)最短路徑時經(jīng)過特定站點的次數(shù)，反映了該站點的資源控制能力。若用CB(i)表示站點i的中介中心性，則：

(9)

3 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的實證分析

重慶市軌道交通是服務(wù)于重慶大都市的、以地鐵系統(tǒng)和跨座式單軌系統(tǒng)共存的城市軌道交通系統(tǒng)。截止2016年12月31日，重慶軌道交通總運營里程達(dá)213.19 km，全國排名第六；2050年遠(yuǎn)景規(guī)劃的“十七線一環(huán)”共18條線路運營總里程將達(dá)到820 km，約占我國城市軌道規(guī)劃建設(shè)總里程的6.3%。

3.1 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

依據(jù)“十七線一環(huán)”重慶市軌道交通遠(yuǎn)期規(guī)劃繪制網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D，如圖2。圖2中：節(jié)點代表車站；連線代表兩個站點之間的線路；每條邊上的權(quán)重均為1；有多條邊通過的節(jié)點代表換成車站。

網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計特征指標(biāo)結(jié)果見表1。由表1可知：重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中節(jié)點數(shù)為354，邊數(shù)為434，表示該網(wǎng)絡(luò)中運營站點共354個，區(qū)間線路共434條；平均度為2.433表示在該網(wǎng)絡(luò)中平均一個站點與2.433個其他站點直接相連；平均路徑長度為13.986表示該網(wǎng)絡(luò)中平均最短路程要經(jīng)過13.986個站點；網(wǎng)絡(luò)直徑為40表示該網(wǎng)絡(luò)中最長的一條線路要經(jīng)過40條區(qū)間線路；聚類系數(shù)為0.007，相比于目前已經(jīng)開通和在建的軌道交通網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)有大幅提升[17],說明新的線路的運營可使部分站點由不直接相連變成直接相連。

圖2 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ虵ig. 2 Topology model of Chongqing rail transit network

特征指標(biāo)數(shù)值特征指標(biāo)數(shù)值節(jié)點數(shù)354平均路徑長度13.986邊數(shù)434網(wǎng)絡(luò)直徑40平均度2.433平均聚類系數(shù)0.007

對重慶軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度分布p(x)和累積度分布P(k)進(jìn)行統(tǒng)計分析，度數(shù)為1的節(jié)點為某線路的起點站或終點站，度數(shù)為2的節(jié)點為只有一條線路通過該站點，度數(shù)大于2的節(jié)點為換乘站，如圖3、圖4。由圖3可知：重慶軌道交通網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)為2的站點占總數(shù)的70.5%，即該網(wǎng)絡(luò)中有265個站點僅有一條線路通過；度數(shù)大于2的站點占總數(shù)的25%，即該網(wǎng)絡(luò)中共有89個換乘站點，換成站點的數(shù)量若進(jìn)一步增加，將更有利于網(wǎng)絡(luò)順暢運行。

圖4 的擬合曲線中，R2表示擬合程度的好壞，R2越趨于1越好。由圖4可知，重慶市軌道交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有顯著的小世界性和無標(biāo)度性。

圖3 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分布Fig. 3 Node degree distribution of Chongqing rail transit network

圖4 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)對數(shù)坐標(biāo)累積度分布擬合曲線Fig. 4 Logarithmic coordinate cumulative distribution fitting curve of Chongqing rail transit network

3.2 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要度分析

根據(jù)基本假設(shè)建立關(guān)于重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型，該模型為包含354×354個元素的二階張量，以此進(jìn)一步對其復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行分析，如圖5。

由圖5可知，節(jié)點與連線只代表聯(lián)結(jié)關(guān)系，不代表具體節(jié)點位置和實際距離。天生、北碚等節(jié)點僅有一條線路通過且未能形成閉環(huán)，冉家壩、五里店等節(jié)點與其他節(jié)點和線路形成了環(huán)路；節(jié)點大小與該節(jié)點與其他節(jié)點直接連接的個數(shù)成正比。通過對網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的中心性指標(biāo)進(jìn)行分析，評價各節(jié)點對于整個網(wǎng)絡(luò)的重要程度。

圖5 重慶市軌道交通網(wǎng)絡(luò)線網(wǎng)拓?fù)鋱DFig. 5 Topology diagram of Chongqing rail transit network

通過對網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的中心性指標(biāo)進(jìn)行分析，評價各節(jié)點對于整個網(wǎng)絡(luò)的重要程度，如表2。由表2可知：點度中心性最高的為五里店、重慶西、沙坪壩、冉家壩4個站點，其絕對中心性為6，各有6條邊可與其他站點相連，相對中心性為0.850，所占份額為0.007，表示其在網(wǎng)絡(luò)中的連通性最好，對于網(wǎng)絡(luò)的順暢通行具有非常重要的作用；冉家壩站點的接近中心性最大，其絕對中心性為3 734，相對中心性為9.454，與其他所有節(jié)點的平均最短距離最小，處于網(wǎng)絡(luò)中心位置；同興站點的中介中心性最大，其絕對中介中心性為12 955.924，相對中介中心性為20.854，說明在尋求網(wǎng)絡(luò)最短路徑時經(jīng)過同興的次數(shù)最多，因此同興站點有很大的中間作用，對其他節(jié)點有很大的信息控制能力。綜合考慮，冉家壩、歇臺子、禮嘉、重慶西等站點3項指標(biāo)均處于較高水平，這些節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)的正常運行起著至關(guān)重要的作用。

表2 中心性指標(biāo)Table 2 Centrality indicators

4 結(jié) 論

以重慶市軌道交通為例，建立其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型，并對其復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行分析，獲得以下結(jié)論：

1)在“十七線一環(huán)”重慶市軌道交通遠(yuǎn)期的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，僅有4%的站點只與另外一個站點直接連接，平均1個站點與2.433個其他站點直接連接，平均最短路程需路經(jīng)13.986個站點，最長線路需經(jīng)過40個站點。

2)五里店、重慶西、沙坪壩、冉家壩4個站點對網(wǎng)絡(luò)的連通性影響最大。冉家壩處于網(wǎng)絡(luò)中心位置，與其他所有節(jié)點的平均最短距離最小；同興為最短路徑生成過程中經(jīng)過次數(shù)最多的節(jié)點，起著很強(qiáng)的中介重用。綜合分析，冉家壩、歇臺子、禮嘉、重慶西等站點對網(wǎng)絡(luò)的正常運行起著至關(guān)重要的作用。

根據(jù)軌道站點評價結(jié)果，在軌道交通的日常管理實踐中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點的資源配置及站點可靠性，盡可能減少不穩(wěn)定因素，保證整個軌道交通網(wǎng)絡(luò)運營工作順利進(jìn)行。

筆者通過建立基于二階張量的非計權(quán)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型對軌道交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，忽略了實際運行中的客流變化、車輛編組、發(fā)車時間等因素，而這些因素在軌道交通實際運行中客觀存在。因此，接下來可從動態(tài)演化過程入手，將車輛編組、發(fā)車時間、客流變化、線路及車輛故障等因素作為權(quán)重系數(shù)加入到分析模型中。