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    在失敗中反思在反思中提升

    2018-10-18 11:17:00丁強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:失敗反思提升

    丁強(qiáng)

    摘要:當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到失敗時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在失敗中反思,提升思維能力,從而使學(xué)生成為主動學(xué)習(xí)者。新授課中,反思式教學(xué)是極為有效的方式之一,它能較好地體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。展開反思式學(xué)習(xí),能培養(yǎng)學(xué)生的批判意識,增強(qiáng)學(xué)生的目標(biāo)意識,強(qiáng)化學(xué)生的歸納意識。

    關(guān)鍵詞:失??;反思;提升

    中圖分類號:G633.63文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1992-7711(2018)17-069-2

    在解題中遭遇失敗是難免的。如何在失敗中吸取教訓(xùn),尋找正確因素,分析失敗原因,應(yīng)當(dāng)成為每個解題者的自覺行動。作為教師,我們更應(yīng)當(dāng)在這方面為學(xué)生做些引導(dǎo)性工作,引領(lǐng)學(xué)生在失敗中進(jìn)行反思,學(xué)會調(diào)整修正,提升思維能力,培養(yǎng)學(xué)生提高解題分析和解題智慧的自覺性。筆者在兩角和的余弦公式的證明教學(xué)中,嘗試讓學(xué)生自覺反思,逐漸體悟解題思路的調(diào)整過程,提升思維能力,效果明顯?,F(xiàn)寫出來與大家共同探討,并請大家指教。

    一、案例呈現(xiàn)

    《兩角和差的余弦》教學(xué)片段——公式的發(fā)現(xiàn)與證明

    師:任意兩角α,β之和α+β的余弦cos(α+β)=?

    生:cos(α+β)=cosα+cosβ(大膽猜想)

    師:你能證明或舉出反例嗎?(激發(fā)反思)

    生:cos60°=cos(30°+30°)=12,但cos30°+cos30°=3,顯然不對。

    師:同學(xué)們能根據(jù)一些特殊值重新猜想cos(α+β)嗎?

    生:cos60°=12,cos30°=32,sin30°=12,而12=32·32-12·12,我猜想為cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(修正猜想)。

    師:你能證明你的結(jié)論嗎?

    學(xué)生自主證明中出現(xiàn)下面一種“錯誤”證明(如右圖):

    在△P1OP3和△AOP2中,因?yàn)镺A=OP1=OP2=OP3=1,∠AOP2=∠P1OP3,所以△P1OP3≌△AOP2,所以P1P3=AP2,所以[cos(α+β)-cosα]2+[sin(α+β)-sinα]2=(cosβ-1)2+sin2β,化簡得2-2cosβ=2-2cos(α+β)cosα-2sin(α+β)sinα,

    所以cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα①

    這時(shí),學(xué)生發(fā)現(xiàn)沒能證出cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,于是又調(diào)整用△AOP1≌△P2OP3所得的AP1=P2P3,同理證得:cosα=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ,又失敗了!

    (學(xué)生已處于困頓與憤悱的狀態(tài),急待引領(lǐng)反思)

    師:對①而言,你認(rèn)為證明中成功在哪里?失敗在哪里?你想要什么?

    (一般性提問,激起反思,進(jìn)一步明確目標(biāo),引導(dǎo)修正)

    生:成功在所需要的角α,β,α+β都出現(xiàn)了;失敗在α+β出現(xiàn)了sin(α+β),β中的sinβ沒有出現(xiàn),我想要cos(α+β)單獨(dú)出現(xiàn)一次不與cosα混在一起。

    師:有角的三角函數(shù)單獨(dú)出現(xiàn)的嗎?它為什么能單獨(dú)出現(xiàn)?對你有啟發(fā)嗎?(一般性提問,誘導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn))

    生:cosβ單獨(dú)出現(xiàn),因?yàn)镻2(cosβ,sinβ)與A(1,0)形成距離,sinβ被sin2β+cos2β消去了。(頓悟)如果我也將P3(cos(α+β),sin(α+β))與A(1,0)形成距離就能達(dá)到目的了。(完成修正)

    生(繼續(xù)探究):要尋找一個與△AOP3全等,且用到α,β夾角為α+β的三角形,于是便有圖1,利用AP3=P1P4,證明如課本;圖2,利用AP3=P2P5同樣證明可得。(證明略)

    在反思過程中,還有學(xué)生從另一個角度反思①式,認(rèn)為β=(α+β)-α,故可形成兩角差的余弦公式cosβ=cos[(α+β)-a]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,若令α+β=γ,則β=γ-α,上式即為cos(γ-α)=cosγcosα+sinγsinα。

    二、對案例的感悟

    兩角和的余弦公式的再現(xiàn)和證明一直是教學(xué)的難點(diǎn),歷年來教師講授的效果都不太理想。在教學(xué)中采用上文的方法,讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn),遭遇失敗,尤其注重用一般性啟發(fā)式問句,幫助學(xué)生從學(xué)習(xí)解題策略的高度去思考,而不斤斤計(jì)較于解題技巧,從而具備了一般的方法論意義。著重培養(yǎng)學(xué)生在失敗中反思,分析錯誤,提升能力,自主建構(gòu),成為學(xué)習(xí)的主動者。教學(xué)中學(xué)生能分析失誤原因,在失敗中尋找正確因素作為借鑒,學(xué)會抓住問題的主要矛盾,學(xué)會選擇策略(數(shù)或點(diǎn)的組合),使思維由無序變有序,效果明顯。

    三、對組織反思式學(xué)習(xí)的思考

    人是自我組織的復(fù)雜系統(tǒng),學(xué)習(xí)是一個認(rèn)識的過程。只有積極主動的學(xué)習(xí),才是最有效的學(xué)習(xí),反思是學(xué)習(xí)的主動形式,反思式學(xué)習(xí)是最有意義的主動學(xué)習(xí)。它對培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)、科學(xué)精神有著極為重要的價(jià)值。

    展開反思式學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)學(xué)生批判意識。通過對解題可能途徑的反思比較,選擇相對簡潔明了的可行方案。這樣,學(xué)生在認(rèn)為思維目標(biāo)恰當(dāng),思維策略適宜的情況下,更容易調(diào)

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