提升學(xué)生解析幾何運(yùn)算素養(yǎng)的策略

陳 耀

（古田縣第一中學(xué)，福建 古田 352200）

教育部出臺(tái)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》后，“核心素養(yǎng)”成為熱門話題。高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算等六個(gè)方面，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)有機(jī)整體，既交融又獨(dú)立。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算是可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中逐步形成的，是可以在數(shù)學(xué)計(jì)算試誤，積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn)后反思，反思后又運(yùn)用的過(guò)程逐漸培養(yǎng)的。每位教師應(yīng)努力探尋培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的有效途徑，并思考如何落實(shí)這些有效途徑，這在解析幾何的教學(xué)中是非常有意義的。

在解析幾何中，解決問(wèn)題的難易、繁簡(jiǎn)跟解法選擇是否恰當(dāng)有密切的關(guān)系，學(xué)生往往受制于傳統(tǒng)思維，不能靈活運(yùn)用已會(huì)知識(shí)去對(duì)其進(jìn)行巧妙處理。使用傳統(tǒng)方法解決問(wèn)題通常會(huì)包含復(fù)雜的運(yùn)算，長(zhǎng)此以往必導(dǎo)致失去解題的信心。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師務(wù)必要引導(dǎo)學(xué)生探尋提升解析幾何運(yùn)算素養(yǎng)的方法，使問(wèn)題解決的過(guò)程真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，并激發(fā)出學(xué)生思考的熱情。這顯然是有利于提高學(xué)生的思維素質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的。降低運(yùn)算量的方法和技巧很多，筆者將結(jié)合此前獲得過(guò)2016—2017年度“一師一優(yōu)課，一課一名師”部?jī)?yōu)的課例，并結(jié)合解析幾何中的典例淺談以下九種策略。

一、巧建坐標(biāo)系

如何建立坐標(biāo)系決定了曲線的方程的表現(xiàn)形式，合理選擇坐標(biāo)系，則能化繁為簡(jiǎn)、簡(jiǎn)化運(yùn)算、事半功倍。在建系的過(guò)程中要精準(zhǔn)把握已知信息，抓住已知條件出現(xiàn)的特殊點(diǎn)與線。例如，將線段的中點(diǎn)、圖形的對(duì)稱中心和曲線的特殊點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，將曲線的對(duì)稱軸或某些特殊線作為坐標(biāo)系的橫縱軸。

例1已知定圓B的半徑為16，其內(nèi)部的定點(diǎn)A與B點(diǎn)的距離為10，則與定圓B相切且過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)圓圓心的軌跡為_(kāi)________________ 。

解：以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為X軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)動(dòng)圓圓心為P（X，y），兩圓的切點(diǎn)為T，則A（-5，0），B（5，0），且|PA|+|PB|=|PT|+|PB|=16（16＞|AB|）；由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A（-5，0），B（5，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為8的橢圓。（橢圓方程為：

點(diǎn)評(píng)：建立坐標(biāo)系是解析幾何的基本思想，坐標(biāo)系建成后，幾何問(wèn)題方可使用代數(shù)的方法來(lái)解決，這樣一來(lái)無(wú)形中就降低了由純幾何帶來(lái)的思考難度。因此，選擇合理的位置來(lái)建系是降低運(yùn)算量的關(guān)鍵，能否合理建系也體現(xiàn)了對(duì)解析幾何中曲線的定義以及對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)的掌握是否熟練。

二、巧用定義

任何一個(gè)新模塊知識(shí)的學(xué)習(xí)，都離不開(kāi)對(duì)概念的界定，解析幾何也不例外。圓錐曲線知識(shí)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中是循著定義導(dǎo)方程，由方程得圖象，由圖象得性質(zhì)，由性質(zhì)得應(yīng)用等過(guò)程進(jìn)行的。定義是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵。命題者在命題過(guò)程中往往會(huì)把定義“隱藏”起來(lái)，只有善于觀察，挖掘出其想考查的定義，才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，使問(wèn)題能夠輕松解決，使解題建構(gòu)在較高的層面上。

解：當(dāng)PF2與圓x2+y2=b2切于點(diǎn)G時(shí)，

有|OG|=b，但|OF2|=c，

∴|OF2|=a.

∴2a=|PF1|-|PF2|=2b-2a，

∴b=2a.

∵∠OGF2=90°，

點(diǎn)評(píng)：本例中P為雙曲線右支上一點(diǎn)，利用定義迅速得到a，b的關(guān)系，簡(jiǎn)化運(yùn)算。筆者發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題有時(shí)還會(huì)隱藏其一個(gè)焦點(diǎn)，若遇此類問(wèn)題，不妨把這個(gè)焦點(diǎn)給補(bǔ)上，利用上橢圓或者雙曲線的定義，往往事半功倍?？傊?，遇到解析幾何問(wèn)題的第一個(gè)想法就是先“找定義”，后“套定義”。

三、巧用平面知識(shí)

解析幾何歸屬于幾何，曲線或圖形往往具有某些特殊的幾何性質(zhì)。因此，能否熟練提取、合理利用平面幾何性質(zhì)等知識(shí)來(lái)解題直接決定了解析幾何運(yùn)算量的大小。

例3 已知圓C：（x-4）2+（y-3）2=4，直線l：y=（x-1），直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)。若直線l與直線l'：x+y+2=0交于點(diǎn)N，直線l過(guò)定點(diǎn)A，求證：|AM|·|AN|為定值。（如圖2）

即 |AM|·|AN|=|AC|·|AD|，

點(diǎn)評(píng)：若按傳統(tǒng)思維，應(yīng)先求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式將|AM|·|AN|表示，計(jì)算量較大。本題巧用平幾知識(shí)，減少了復(fù)雜的運(yùn)算量。許多解析幾何問(wèn)題，通過(guò)充分利用平面幾何的某些性質(zhì)可以達(dá)到減少運(yùn)算量的效果。比如，在解題過(guò)程中可利用圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)跟圓周上除此兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)的連線是直角，菱形對(duì)角線垂直平分，直角三角形的射影定理等性質(zhì)。

四、巧用向量

向量是既有大小又有方向的量，從概念就可以看出它是數(shù)與形的交匯點(diǎn)，巧用平面向量的知識(shí)解題可使解題運(yùn)算量降低，過(guò)程簡(jiǎn)單明了。向量是重要的數(shù)學(xué)模型，在解決一些解析幾何的問(wèn)題中能夠?yàn)閷W(xué)生提供新穎的思路。通過(guò)構(gòu)造向量可以讓學(xué)生有效地把握幾何圖形，以此來(lái)解決問(wèn)題。下面我們通過(guò)引入向量來(lái)解決例3。

點(diǎn)評(píng)：若按傳統(tǒng)方法，計(jì)算量非常大。本題巧用平面向量數(shù)量積的概念及向量投影的幾何意義，規(guī)避了復(fù)雜的運(yùn)算，充分發(fā)揮了向量工具性的作用。向量是幾何與代數(shù)的橋梁，所以，能否運(yùn)用向量知識(shí)來(lái)解題已經(jīng)成為了當(dāng)前核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高考的考查亮點(diǎn)。

五、巧用二級(jí)結(jié)論

所謂二級(jí)結(jié)論，就是由定義、方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)、引申而得到的一些常用結(jié)論。比如，利用圓錐曲線統(tǒng)一定義得到的焦半徑公式、橢圓與雙曲線的一些對(duì)偶性質(zhì)等。適當(dāng)?shù)赜涀∫恍┏Ｒ?jiàn)數(shù)學(xué)模型以及所對(duì)應(yīng)的相關(guān)結(jié)論，對(duì)解題特別對(duì)于選填題的解答有極大的幫助，使學(xué)生在解題中減少運(yùn)算量，提高解題速度與準(zhǔn)確度。

解：設(shè)M（x0，y0）為橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的離心率為e，由焦半徑公式得|MA||MB|=（a+ex0）（a-ex0），顯然當(dāng)時(shí)x0=0時(shí)，|MA||MB|取得最大值a2。

點(diǎn)評(píng)：本例若直接利用兩點(diǎn)間距離公式代入后求其最值，雖然這個(gè)想法很自然，但解決方案過(guò)程有大量的計(jì)算，且較難得正確結(jié)果。若能利用橢圓焦半徑公式，便可優(yōu)化解題過(guò)程，減少運(yùn)算量。

六、巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是解決解析幾何問(wèn)題的一種常用“套路”，它是通過(guò)“以形助數(shù)、以數(shù)解形”的方式，利用數(shù)與形之間的互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的。巧借幾何的圖形特征，可以迅速找到問(wèn)題的破口點(diǎn)，簡(jiǎn)單方便地解決問(wèn)題。

解：如圖3，圓M的圓心為M（0，2），且半徑r=1。

解析幾何涉及到較多方程問(wèn)題的考查，其解決的通性通法往往是根據(jù)方程思想，需要求幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程。因此，引入的量越少，所需方程數(shù)越少，運(yùn)算量越少，故巧設(shè)方程呼之欲出。

例6 求以2x±y=0為漸近線，且過(guò)點(diǎn)（1，1）的雙曲線方程。

解：由題意可設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=λ（λ≠0），又由于過(guò)點(diǎn)（，1），代入可求得λ=3，故所求雙曲線方程是x2-y2=3。

點(diǎn)評(píng)：設(shè)圓錐曲線方程的常見(jiàn)技巧有：待定型橢圓可設(shè)為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），待定型雙曲線可設(shè)為mx2+ny2=1（mn＜0），x型拋物線可設(shè)為y2=mx（m≠0），y型拋物線可設(shè)為x2=ny（n≠0）。再如在解決直線、圓等問(wèn)題時(shí)可以巧設(shè)平行直線系方程、垂直直線系方程、相交直線系方程、圓系方程等。通過(guò)巧設(shè)方程，減少引入的未知量，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，提高解題速度。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的過(guò)程，也是圓錐曲線對(duì)稱性等性質(zhì)體現(xiàn)的過(guò)程。巧妙合理地利用好這種解題思想方法，將大大降低計(jì)算量，真正做到“快”“準(zhǔn)”“狠”。

七、巧設(shè)方程

八、巧設(shè)而不求

在一些解析幾何問(wèn)題求解中，比如解決有關(guān)對(duì)稱和中點(diǎn)弦的問(wèn)題需要引入的變量較多，但無(wú)需一一求解這些變量。如果所有涉及的變量都計(jì)算出來(lái)會(huì)顯得冗余且效率低下。通過(guò)靈活掌握曲線方程的特點(diǎn)，采用整體換元、設(shè)而不求等技巧，方可減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題速度。

例7 已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于兩點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于B點(diǎn)，若△MBN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線l的方程是（ ）（如圖4）

A.6x-5y-28=0

B.6x+5y-28=0

C.5x+6y-28=0

D.5x-6y-28=0

點(diǎn)評(píng)：若本例用常規(guī)方法，需設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，代入橢圓方程，而后利用韋達(dá)定理及線段的中點(diǎn)公式求之，這個(gè)計(jì)算量很大。上述解決方案中涉及A、B兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的四個(gè)參數(shù)，但求線l的方程是本題任務(wù)，只需得到它的斜率即可。故設(shè)而不求，只是在解題中讓這些參數(shù)起到過(guò)渡性的橋梁作用。設(shè)而不求可以很好地減少本題的運(yùn)算量。還有哪些常見(jiàn)的可利用設(shè)而不求方法的題型呢？例如，用公式求弦長(zhǎng)，用即x1y1+x2y2=0來(lái)求解兩線垂直問(wèn)題時(shí)，常利用韋達(dá)定理來(lái)整體運(yùn)算以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。

九、巧引參數(shù)

直線、圓、圓錐曲線都有各自的參數(shù)方程，用好參數(shù)方程可以達(dá)到減元的目的。如果還能夠利用好某些參數(shù)的幾何意義則能更進(jìn)一步減少運(yùn)算量，比如直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的幾何意義、極坐標(biāo)系中ρ的幾何意義等。

例8 在橢圓3x2+y2=12上求一點(diǎn)，使得它到直線l：x-y-5=0的距離最大，并求此距離。

解：橢圓3x2+y2=12可化為故可設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為則M到直線l的距離因此當(dāng)此時(shí)，M（-1，3）。

點(diǎn)評(píng)：若按常規(guī)設(shè)M（x，y），利用點(diǎn)到直線的距離公式，較難得到解答，運(yùn)算量大。而本例用橢圓的參數(shù)方程，巧設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解，既可達(dá)到減元又可達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。涉及曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題，應(yīng)采用巧引參數(shù)，這是求解與之有關(guān)的最值或取值范圍等問(wèn)題的重要方法。其好處是能使解決問(wèn)題的思路更加清晰，使運(yùn)算簡(jiǎn)單流暢，以便能巧妙地解決問(wèn)題。

提升解析幾何教學(xué)中的運(yùn)算素養(yǎng)，降低運(yùn)算量是關(guān)鍵。不同的題目也會(huì)用不同的策略來(lái)處理，比如，例8除了用本文的方法外，還可以構(gòu)造柯西不等式來(lái)求解。此外，我們還常用巧用極坐標(biāo)方程、巧用復(fù)數(shù)幾何意義等策略來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。我們只有在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐，多總結(jié)，方能以簡(jiǎn)馭繁，事半功倍，使解題建構(gòu)在高層次的思維層面上?？偠灾?，提升解析幾何的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)可以從理解定義，夯實(shí)基礎(chǔ)；掌握常見(jiàn)解幾模型，獲取運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)；厘清運(yùn)算方向，合理轉(zhuǎn)化化歸；巧用上述策略，提升運(yùn)算速度；強(qiáng)化計(jì)算，突破運(yùn)算難關(guān)等方面入手。數(shù)學(xué)計(jì)算能力的提高是一個(gè)漸進(jìn)的、螺旋式的過(guò)程。教師要做好頂層設(shè)計(jì)，制定高層次的系統(tǒng)規(guī)劃，讓教學(xué)目標(biāo)的每一步都能引導(dǎo)學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。