高中數(shù)學(xué)空間想象誤區(qū)案例分析及應(yīng)對(duì)

林玉輝

（詔安第一中學(xué)，福建 漳州 363500）

高中是走進(jìn)大學(xué)或是社會(huì)的一道門檻，高中時(shí)期的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生們由初中到大學(xué)或是社會(huì)有著過(guò)渡的重要作用。［1］新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出六個(gè)核心素養(yǎng)，其中直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。［2］

可是，有的學(xué)生由于很少關(guān)注周圍的空間環(huán)境，缺乏觀察分析能力，空間想象能力、動(dòng)手操作的能力較弱，空間概念模糊，對(duì)空間想象產(chǎn)生誤區(qū)，無(wú)法解決空間立體幾何問(wèn)題。這里，筆者就學(xué)生常見(jiàn)的空間想象誤區(qū)加以分析，以便教師在教學(xué)中有所啟示。

一、學(xué)生空間想象誤區(qū)的背景

普遍高中學(xué)生怕立體幾何，表現(xiàn)在怕畫(huà)圖、怕想象、怕計(jì)算（特別是二面角的問(wèn)題）。其中空間想象是核心問(wèn)題，不少學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)空間想象誤區(qū)，導(dǎo)致思維障礙，解題困惑。

立體幾何要求學(xué)生能夠判斷空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，特別是線與線，線與面，面與面的平行與垂直的位置關(guān)系以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化，能夠借助簡(jiǎn)單幾何體（如空間四邊形、平行六面體、正方體、長(zhǎng)方體、棱柱、棱錐等）作為載體，把空間的點(diǎn)、線、面等基本元素有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，解決空間的角、距離、面積、體積等問(wèn)題，形成一個(gè)比較完整的立體幾何的知識(shí)體系，提高學(xué)生的空間想象能力。可是，由于學(xué)生接觸立體幾何的時(shí)間較短，而三維的空間圖形無(wú)法在平面內(nèi)直觀地表現(xiàn)出來(lái)，很多學(xué)生對(duì)于空間幾何圖形往往無(wú)法想象，知識(shí)積淀較少，動(dòng)手實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)不足。因此，重視學(xué)生空間想象誤區(qū)的分析，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地判斷空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，提高學(xué)生空間想象能力是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重難點(diǎn)。

二、常見(jiàn)學(xué)生空間想象誤區(qū)案例分析

（一）借助二維的平面圖形，對(duì)線與線、線與面位置判斷的失誤

由于我們借助于平面的圖形表示三維的空間，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)異面直線錯(cuò)誤的判∪斷。如圖1，平∪面 a∩平面=直線AC，直線ABa，直線CD，那么直線AB與CD是異面直線，但由于畫(huà)在二維的平面圖上兩條直線確實(shí)是“平行”的，無(wú)法體現(xiàn)兩條直線的真實(shí)位置關(guān)系，導(dǎo)致想象誤區(qū)——錯(cuò)誤的判斷AB∥CD.

（二）把非直角誤認(rèn)為直角，而把直角視為非直角

應(yīng)用斜二測(cè)畫(huà)圖把空間圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形，由此導(dǎo)致角度的變化，學(xué)生判斷失誤。如圖2，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=1，AB=5，AC=3，BC=4，求點(diǎn)A到平面PBC的距離。很多學(xué)生找不到距離，采用建立空間直角坐標(biāo)系，把∠BAC誤認(rèn)為是直角。

（三）平面幾何結(jié)論隨意應(yīng)用到立體幾何里

在初學(xué)立體幾何時(shí)，很多學(xué)生受到平面幾何的影響，想當(dāng)然地把平面幾何的結(jié)論隨意套用到立體幾何里，缺乏對(duì)空間圖象的分析。例如：

1.在平面幾何里，四條邊相等的四邊形是菱形，可是在空間里可能是空間四邊形。

2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，但在空間里不一定就是矩形了，如圖3，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱CC1上，顯然∠BAD=∠ABE=∠ADE=90，而四邊形ABED是空間四邊形，不是矩形。

3.在平面幾何中，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相對(duì)的點(diǎn)集合是該線段的垂直平分線，而在空間里卻是垂直平分面。

4.在平面幾何中，過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有且只有一條，但在空間就存在無(wú)數(shù)條了，等等。

（四）畫(huà)圖的不合理，導(dǎo)致空間想象的錯(cuò)誤

有的學(xué)生畫(huà)立體幾何圖形往往忽視了畫(huà)圖的基本要求，如水平放置的橫坐標(biāo)長(zhǎng)度不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，被擋住的部分需要畫(huà)成虛線，輔助線的畫(huà)法與初中不同（初中平面幾何的輔助線一律畫(huà)成虛線，立體幾何是看不到的線畫(huà)成虛線），所以往往導(dǎo)致計(jì)算或推理失誤，造成解題困難。

（五）概念理解不透徹，出現(xiàn)空間想象誤區(qū)

例如：1.各個(gè)面都是正三角形的多面體誤斷為正多面體。

2.如圖4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BC1，求二面角E-BC1-C的大小，該題是1994年全國(guó)高考第理科第23題，很多考生就把∠EOC誤認(rèn)為二面角E-BC1-C的平面角。

（六）定理誤用，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤

對(duì)于異面直線所成的角與三垂線定理混淆，誤認(rèn)為是異面直線在同一平面內(nèi)射影的夾角，如圖5，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1C與BD的夾角誤斷為它們?cè)谄矫?/p>

BCC1B1內(nèi)的射影B1C與BC的夾角45（正確答案應(yīng)為90）。

（七）空間想象欠全面、不仔細(xì)，導(dǎo)致判斷失誤

例如：1.棱長(zhǎng)都相等的四棱錐的底面誤斷為菱形，孰不知由于側(cè)棱也相等，那么頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是它的外接圓圓心，由此判定它的底面是一個(gè)正方形，故這樣的四棱錐是一個(gè)正四棱錐。

2.底面是正三角形，側(cè)面是等腰三角形的三棱錐誤斷為正三棱錐（欠全等的條件）；底面是正方形，側(cè)面是全等三角形的四棱錐誤斷為正四棱錐（欠共同的頂點(diǎn)）；底面是正三角形，側(cè)面面積都相等的三棱錐誤斷為正三棱錐（欠頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形內(nèi)）。

3.底面是正三角形，側(cè)棱兩兩的夾角相等的三棱錐誤斷為正三棱錐。其實(shí)，如圖6，在正三棱錐P-ABC中，只要在側(cè)棱PA上取一點(diǎn)A'，使BA=BA'，那么，三棱錐P-A'BC就滿足題設(shè)要求，但顯然它不是正三棱錐。

（八）線面垂直、面面垂直判定條件不充分

很多學(xué)生在判斷線面垂直時(shí)經(jīng)常和判斷線面平行的方法混淆，只找到直線與平面內(nèi)的一條直線垂直就推出線與面垂直，條件不充分；判斷面面垂直時(shí)，只在兩個(gè)平面各找出一條直線互相垂直就草率地判斷面面垂直。

（九）面對(duì)幾何體的展開(kāi)圖無(wú)法還原

如圖7，是一個(gè)正方體表面的一種展開(kāi)圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有多少對(duì)？（2002上海春季高考）， 很多學(xué)生無(wú)法還原成原來(lái)的正方體，無(wú)法判斷AB、CD、EF和GH在原來(lái)的位置關(guān)系，特別是AB與CD，誤斷為平行共面。

三、引導(dǎo)學(xué)生走出“誤區(qū)”, 提高學(xué)生的空間想象能力

以上是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的空間想象誤區(qū)案例，由此要求教師在教學(xué)中，應(yīng)該及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生作業(yè)和測(cè)試中出現(xiàn)的問(wèn)題，尋找誤區(qū)的緣由，對(duì)癥下藥，引導(dǎo)學(xué)生走出“誤區(qū)”，逐步提高學(xué)生的空間想象能力。這里提幾點(diǎn)建議供參考：

解決策略一，針對(duì)上面的誤區(qū)（一）（二）（四）（九），教學(xué)板書(shū)時(shí)注意畫(huà)空間圖形的合理化、科學(xué)化，盡量使平面的圖形立體化，把立體幾何問(wèn)題平面化，歸結(jié)為平幾問(wèn)題解決；

解決策略二，針對(duì)上面的誤區(qū)（一）（二）（四）（七）（九），課堂教學(xué)時(shí)盡量借助實(shí)物或教具模型教學(xué)，或使用多媒體教學(xué)的手段，例如經(jīng)常舉例日常生活中的幾何體，可以增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，對(duì)空間幾何體的想象更直觀；

解決策略三，針對(duì)于誤區(qū)（三）（八），課堂教學(xué)時(shí)注重知識(shí)的聯(lián)系，經(jīng)常設(shè)置一些容易誤解的題目；例如，判斷下列各題的正確性

（1）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有且只有一條…………………………………………（√）

（2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，與已知直線垂直的直線有且只有一條………………………………………………（×）

（3）經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有且只有一條…………………………………………（ ×）

（4）經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的平面有且只有一個(gè)…………………………………………（√）

（5）直線與某個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則這條直線與該平面垂直……………………………（×）

解決策略四，針對(duì)于誤區(qū)（六），空間的角（特別是二面角）和距離的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把難以想象的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。

解決策略五，引導(dǎo)學(xué)生多采用類比，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，把知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生會(huì)創(chuàng)新地學(xué)，從而更系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識(shí)，建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；要求學(xué)生善于分析和轉(zhuǎn)化，把空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的問(wèn)題來(lái)解決。

解決策略六，在引導(dǎo)學(xué)生走出各種誤區(qū)的最有效辦法就是信息技術(shù)與教學(xué)有機(jī)結(jié)合，建議教師利用GeoGebra軟件（簡(jiǎn)稱GGB軟件）中的3D功能，從不同角度感受幾何體的情景，因?yàn)樵诹Ⅲw幾何與圓錐曲線演示的操作中更加簡(jiǎn)便，［3］下面是筆者根據(jù)某地的一道三視圖利用GGB制作的直觀圖，從不同角度觀看的截圖。（圖8、圖9、圖10）

總之，在高中立體幾何教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該了解掌握學(xué)生的空間想象誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦，動(dòng)手，動(dòng)筆，課堂上多方位指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何體，課外強(qiáng)調(diào)學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，認(rèn)真實(shí)踐總結(jié)，不斷加深對(duì)幾何體的認(rèn)識(shí)，走出誤區(qū)，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。