外接球的四種解法案例

□ 海南省東方市東方中學(xué) 王懷丹

□ 海南省東方市民族中學(xué) 張利平

球是空間幾何中的重要幾何體，也是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修二的重要知識(shí)點(diǎn)之一。求一些簡(jiǎn)單幾何體外接球的表面積、體積，以及與外接球有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何體的體積和距離等計(jì)算問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)和命題的熱點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定外接球的球心位置，球心到幾何體任一頂點(diǎn)的距離即為外接球的半徑。因此，從觀察空間幾何體，認(rèn)識(shí)整體圖形入手，以我們熟悉的正方體、長(zhǎng)方體為載體，推廣到對(duì)正棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)和理解，由這些幾何體的結(jié)構(gòu)特征抽象出外接球的球心位置，尋找?guī)缀误w中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的關(guān)系，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)而求出外接球的半徑。

從近幾年全國(guó)各省的高考試題來(lái)看，經(jīng)常出現(xiàn)與外接球有關(guān)的問(wèn)題，這一類(lèi)問(wèn)題在各省高考中得分率較低，大部分學(xué)生都感覺(jué)不知道如何下手。歸根結(jié)底在于學(xué)生對(duì)空間問(wèn)題的想象能力、推理能力和計(jì)算能力都有所欠缺。本文將結(jié)合自己在教學(xué)過(guò)程中的做法，從四道高考題中歸納出有關(guān)外接球問(wèn)題的四種題型，進(jìn)而推廣出與外接球有關(guān)問(wèn)題的四種具體解法，以便學(xué)生比較容易地掌握球的性質(zhì)及與外接球的有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。

案例一：求與長(zhǎng)方體（正方體）外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

例1.（2007年天津卷理科第12題）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為1、2、3，則此球的表面積為_(kāi)_________。

【自主解析】：要求球的表面積，應(yīng)先確定球心的位置，求出球的半徑即可。

【答案】14π

【歸納】長(zhǎng)方體（正方體）外接球的球心位置即長(zhǎng)方體（正方體）體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體（正方體）體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半即為外接球的半徑，因此，求外接球的半徑即可轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體（正方體）的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，再運(yùn)用球的表面積公式或體積公式計(jì)算出結(jié)果。

正三棱柱、正五棱柱沒(méi)有體對(duì)角線(xiàn)，我們不能像例1那樣說(shuō)“體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半即為外接球的半徑”，那么，此類(lèi)型題怎么解決呢？大家知道：正方體是特殊的正四棱柱，還可以這樣思考：正四棱柱的中心即為正四棱柱外接球的球心，也就是上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)，由球心、底面中心及同底面一頂點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成直角三角形，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面直角三角形中求解，再運(yùn)用勾股定理求解出半徑。由此可以延伸到題型二。

案例二：求與正棱柱外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

例2.（2010年海南卷理科第10題）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，正三棱柱的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，求該球的表面積為( )。

【自主解析】要求球的表面積，應(yīng)先確定球心的位置，知道球的半徑即可。

如圖1所示，P為三棱柱底面中心，O為球心，易知：

圖1

【答案】 B

【歸納】求與正棱柱外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，正棱柱的外接球的球心就是上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)，連接球心、底面中心及同底面一頂點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成直角三角形，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面直角三角形中求解，運(yùn)用勾股定理求解出半徑，再由球的表面積公式或體積公式計(jì)算出結(jié)果。

案例三：求與棱錐外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

例3.（2012年海南卷理科第11題）已知球O是三棱錐S－ABC的外接球，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，SC是球O的一條直徑，SC＝2，則棱錐S－ABC的體積為( )。

【自主解析】要求三棱錐S－ABC的體積，可以轉(zhuǎn)化為求三棱錐O－ABC的體積。

因?yàn)槿忮FS－ABC和三棱錐O－ABC有共同的底面△ABC，球心O為SC的中點(diǎn)，所以三棱錐S－ABC的高為三棱錐O－ABC高的2倍，即VS-ABC=2VO-ABC

如圖2所示，在三棱錐O－ABC中，其棱長(zhǎng)都是1，取等邊三角形ABC的中心為D,點(diǎn)D即為底面△ABC外接圓（即截面圓）的圓心，球心O在點(diǎn)D的正上方,則OD⊥面ABC。

圖2

【答案】 A

【歸納】我們可把這種題型的思路應(yīng)用于求與棱錐外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，即先找出棱錐底面外接圓（即截面圓）的圓心，在其“正上方”或“正下方”確定球心O的位置，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面直角三角形中求解，再運(yùn)用勾股定理解出答案。

案例四：構(gòu)造法

例4.(2012年遼寧卷理科第16題)在正三棱錐 P－ABC 中，點(diǎn) P、A、B、C都在以 3 為半徑的球面上，且三棱錐的側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)_________。

【自主解析】因?yàn)檎忮F的側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，所以以PA，PB，PC為棱構(gòu)造成正方體（如圖3所示），體對(duì)角線(xiàn)PD的中點(diǎn)即為正三棱錐P－ABC的外接球球心O，球的半徑PD=

圖3

本題考查學(xué)生對(duì)空間問(wèn)題的想象能力和計(jì)算能力，我們可以將該問(wèn)題“補(bǔ)全圖形”到正方體中解決。此題若用一般的解答方法，同題型三，應(yīng)先確定球心的位置，求出球的半徑即可；而作為填空（選擇）題，可以用更為簡(jiǎn)便的解答方法，此題應(yīng)注意到“三條側(cè)棱兩兩互相垂直”，可以聯(lián)想到過(guò)正方體（長(zhǎng)方體）的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三條側(cè)棱，AB、BC和AC可以聯(lián)想到過(guò)正方體（長(zhǎng)方體）的同一頂點(diǎn)三個(gè)側(cè)面的對(duì)角線(xiàn)，很容易想到構(gòu)造成一個(gè)正方體（長(zhǎng)方體），運(yùn)用題型一馬上就能得出答案。

【歸納】若三條側(cè)棱兩兩相互垂直，或一側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形或長(zhǎng)方形，則像這樣的幾何體可構(gòu)造出正方體或長(zhǎng)方體，運(yùn)用歸納一，那么，所要求的問(wèn)題就比較容易解決了。

總之，對(duì)解決一些簡(jiǎn)單幾何體外接球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的求法，能根據(jù)已知條件做出圖形，由圖形想象出直觀形象，通過(guò)對(duì)幾何體的具體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)和理解，從而尋找?guī)缀误w中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的關(guān)系，確定球心的位置，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)而求出空間幾何體外接球的半徑。空間幾何中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如補(bǔ)形法、構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想等，在解題過(guò)程中常常具有規(guī)律性，只要不斷地總結(jié)，就能不斷地提高。