(福建省平和第一中學 福建漳州 363700)
某些元素要求必須相鄰時,可將這些元素看成一個,然后與其他元素排列。
Eg1、7 人站成一排,甲、乙、丙三人須相鄰,有多少種不同排法?
[析]:把甲、乙、丙三人看作一人以保證三個人相鄰,與其余 4人共 5 個人全排列,有A55種排法,切勿忘記而甲、乙、丙三人之間又有A33種排法,故共有A33·A55種排法
某些元素要求必須相離時,可將其他元素全排列,再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙中
Eg2、7 人站成一排,甲、乙、丙三人彼此互不相鄰,有多少種不同排法?
[析]:先安排除甲乙丙以外的四人共有A44中排法,四個人所留下的五個空再排入甲乙丙三人共有A53種排法,故共有A44·A53種排法。
Eg3、學校組織籃球比賽,從4個班級中挑選12人組成一支代表隊,每班至少一人,共有多少種不同分配方案
[析]:為了保證每班至少一人,我們可把4個班級看成4個盒子,12人看成完全相同的球,則4個盒子兩兩之間共有3個隔板,而12人之間共有11個空隙,將3個隔板放入11個空隙中保證了每個盒子至少一個球,所以共有C113種分配方案
Eg4、甲乙丙丁四人各寫一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己所寫的賀卡,共有多少種不同的取法
[析]:樹形圖解決排列組合問題是一種比較直接的辦法,對結(jié)果總數(shù)較少的問題可直接作圖分析,結(jié)果不重不漏,如該題的樹形圖結(jié)構(gòu)
對于事件發(fā)生的過程,常常遇見含有約束條件的問題,應(yīng)當做到從特殊條件入手(如特殊位置、特殊元素),按照事件發(fā)生過程,合理分類與分布,層層推進,做到不重不漏!
Eg5、五個人排成一排,其中甲不在排頭,乙不在排尾,不同的排法有 種
[析]:由題目所提供條件,很容易能確定出特輸元素:甲和乙及特殊位置:排頭與排尾。解決問題可分兩類從甲排尾與甲不排尾(乙排頭與乙不排頭)入手。
甲若排尾則此時余下四個位置可全排列共有A44=24種排法
甲若不排尾則此時排尾只能從除甲乙外3人選1人排,有A31種排法,再考慮排頭,則排頭扣除已排掉的一人和甲不能排可從余下3人再選1人排,也有A31種排法,中間三個位置再全排列有A33種排法,故此時共有A31A31A33=54種排法,綜上不同排法共有78種.
此類問題常見還有如:5列火車進入軌道時,快車A不能停放在第一軌道,慢車C不能停放在第三軌道,共有多少種不同停放方法
對于某些元素順序固定的排列問題,可將所有元素全排列,然后除以順序固定的幾個元素的全排列。
Eg6、7個人排成一排,其中甲乙丙三人順序一定,則共有種排法?
[析]:七個人排不考慮甲乙丙三人順序共有A77種排法,而甲乙丙三人順序一定所以共有種排法
分配過程中要分清:是均勻的還是非均勻的;是有序的還是無序的,若屬于平均分成幾堆就除以所分堆數(shù)的全排列(如⑶),若是部分均分則可先選再分再排(如⑷)
分配過程種可把握先選后排(先分后排)的原則
Eg7、將6本不同的書按下列分法,各有多少種不同的分法?
(1)分給學生甲3 本,學生乙2本,學生丙1本;
(2)分給甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1本;
(3)分給甲、乙、丙3人,每人2本;
(4)分給分給甲、乙、丙3人,其中一人4本,另兩人每人1本;
(5)分成3堆,其中一堆4本,另兩堆每堆1本
[析]:
(3)是指定人應(yīng)得數(shù)量的均勻問題:
(4)是部分均勻地分給人的問題:先從6本種選4本,再將余下兩本平均分成兩堆有:種方法,分完之后再給甲乙丙三人共有種方法
Eg10、有四個不同的小球,全部放入四個不同的盒子內(nèi),恰有兩個盒子不放球的放法總數(shù)為 ___
成對元素出現(xiàn)的問題,若要成對出現(xiàn)則直接選取,若取出元素不成對,則可先取成對再從每對中各取一個元素
Eg8、從有10雙不同的鞋子放在同一口袋中,從中任取4只,試求下列情況結(jié)果
①4只鞋子沒有成雙的②4只鞋恰成兩雙③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙
[析]:①4只鞋子沒有成雙,可從10雙鞋中先取出4雙,再從每雙中各取一只,故共有種取法②4只鞋恰成兩雙,可直接從10雙鞋中取出2雙,共有種取法③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙,分成兩步,第一步先取成雙的兩只有種取法,第二步再從余下的九雙當中取出兩雙,再從兩雙中各取1只有種取法,故共有種取法
從構(gòu)造的特殊區(qū)域出發(fā),即特殊位置,特殊分析。
Eg9、如圖,一個地區(qū)分5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有_____種
[析]:特殊位置,特殊分析,因區(qū)域①與其它四個位置都相鄰,所以可考慮先涂①,有4種涂法,②④,③⑤處于對角區(qū)域,須考慮顏色同與不同。不妨從②④出發(fā),當②④涂同種顏色時,此時共有4× 3× 2× 2 =48種涂法;當②④涂不同種顏色時,此時共有4× 3× 2× 1 = 24涂法,由分類計數(shù)原理,共有48+24=72種涂法
Eg10、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條,其中異面直線有( )
(A)18對 (B)24對 (C)30對 (D)36對