一道中考幾何壓軸題的解法探究

☉重慶市萬州高級中學(xué) 張 進(jìn)

綜合運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)的幾何綜合題是歷年來重慶中考的熱點(diǎn)題型，這類試題需要添設(shè)適當(dāng)?shù)妮o助線方能使問題得到解決，備受一線教師的關(guān)注與研究.以重慶2018年中考B卷壓軸題（第24題）為例，筆者在中考結(jié)束后，為八年級學(xué)生提供該題作為一道課外作業(yè)試題，讓學(xué)生嘗試不同的證明方法，并從多種解答方法中闡述自然解法的生成.

一、題目與解析

如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ACB=45°，點(diǎn)E在對角線AC上，BE=BA.BF⊥AC于點(diǎn)F，BF的延長線交AD于點(diǎn)G.點(diǎn)H在BC的延長線上，且CH=AG，連接EH.

圖1

（2）證法1：如圖2，連接GE、GH.因?yàn)锽F⊥AC于點(diǎn)F，BE=BA，所以∠ABF=∠EBF.又因?yàn)镚B=GB，所以△ABG△EBG（SAS），所以∠AGB=∠EGB.因?yàn)樵赗t△FBC中，∠ACB=45°，所以∠FBC=45°.因?yàn)锳D∥BC，所以∠GAC=∠ACB=45°，∠AGB=∠FBC=45°.則∠EGB=45°.因?yàn)镃H=AG，所以四邊形ACHG是平行四邊形，所以∠GHC=∠ACB=∠GBH=45°，GB=GH，∠BGH=90°，所以∠BGE=∠HGE=45°.因?yàn)镚E=GE，所以△GBE △GHE（SAS），所以EB=EH.（以上為命題者提供的參考答案）

二、第⑵小題多解思路簡析（解法探究）

筆者對該試題講評時(shí)，師生一起深度挖掘載體圖形中的基本圖形和基本題設(shè)條件，認(rèn)真挖掘命題者給出的解題思路，探尋不同的解題思路，花費(fèi)一節(jié)課的時(shí)間讓學(xué)生不斷提及不同的解決方式，借助學(xué)生的發(fā)散思維，將這些問題解決的方式一并呈現(xiàn)：

證法2：如圖3，過點(diǎn)E作EK∥BC交BG于點(diǎn)K.先證△AFG △EFK（ASA）且都為等腰直角三角形，所以AG=EK=CH，因?yàn)椤鱂BC是等腰直角三角形，所以BK=EC，再證△BKE △ECH（SAS）即可.

圖3

圖4

證法3：如圖4，過點(diǎn)A作AK⊥AD交BG于K.先證△AGK是等腰直角三角形.因?yàn)锽F⊥AC，所以AF=FK=FE，因?yàn)椤鱂BC是等腰直角三角形，所以BK=EC.再證△BKA△ECH（SAS）即可.

證法4：如圖5，過點(diǎn)H作HK⊥AC交AC的延長線于K.先證△AFG△HKC（ASA）且都為等腰直角三角形，得到AF=EF=CK=HK.因?yàn)椤鱂BC是等腰直角三角形，所以BF=CF=CE+EF=CE+CK=EK.再證△BAF△EHK（SAS）即可.

圖5

圖6

證法5：如圖6，過點(diǎn)E作EK⊥AC交BC于K，過點(diǎn)B作BM⊥EK交EK的延長線于M.可先證△AFG△BMK（ASA）且都為等腰直角三角形，得到BK=AG.然后證四邊形BMEF是矩形，則EM=BF=CF.因?yàn)镸K=BM=EF，所以EK=EC.最后證△EKB△ECH（SAS）即可.

證法6：如圖7，過點(diǎn)H作HK⊥BC交AC的延長線于K.先證△AFG和△CHK均為等腰直角三角形，得到HK=CH=AG. 再證CK=2EF，BG=BF+FG=CF+AF=CE+2EF=EC+CK=EK.最后證△BAG△EHK（SAS）即可.

證法7：如圖8，過點(diǎn)E作EK⊥AC交BC于K，過點(diǎn)B作BM⊥BK交EK的延長線于M.因?yàn)锽F⊥AC，所以EM∥BG，則∠BEM=∠EBF=∠ABG.易證△BKM是等腰直角三角形，所以△BAG△EBM（AAS），則AG=BM=BK=CH.最后證△EKB △ECH（SAS）即可.

圖7

圖8

證法8：如圖9，延長FG至K，使KF=BF，連接AK.可證△BEF △KAF（SAS），得到AK=EB.易證△AFG和△BFC是等腰直角三角形，則KG=KF-FG=BF-EF=CF-EF=EC.最后證明△ECH △KGA（SAS）即可.

圖9

圖10

證法9：如圖10，延長FG至K，使KF=BF，連接EG、EK.先證△BAF △KEF（SAS），得到EK=AB=EB.再證△AEG、△EFG、△BFC是等腰直角三角形，則GE=AG=CH.易證KG=KF-GF=BF-EF=CF-EF=EC.然后證△KGE △ECH（SAS）即可.

證法10：如圖11，連接EG、CG.先證△AFG、△AEG、△BFC是等腰直角三角形.再證△BAG△CGA（SAS），得到BA=CG.然后證△CEG △ECH（SAS），即可證得EH=CG=BA=BE.

圖11

圖12

證法11：如圖12，過點(diǎn)E作EK⊥AC交BC于K，連接EG、KG.先證△AEG、△EFG、△BFC是等腰直角三角形.再證△EKG△KEB（AAS），得到KG=EB=AB，BK=EG=AG.再證△ECHEKB（SAS），則EB=EH.

證法12：如圖13，過點(diǎn)E作EK⊥AC交BC于K，交AD于M.先證四邊形BKMG是平行四邊形.再證FG是△AEM的中位線，得到AG=GM=BK.因?yàn)椤鰿EK是等腰直角三角形，可證△EKB△ECH（SAS），則EB=EH.

證法13：如圖14，過點(diǎn)E作EM∥AD交BG于M，過點(diǎn)E作EN∥BG交AD于N.可得四邊形MENG是平行四邊形.又FG是△AEN的中位線，則AG=EM=CH，最后證明

圖13

圖14

上述解法不失為參考答案之外的精彩解答.在解題教學(xué)中開展一題多解是杜絕“題海戰(zhàn)術(shù)”的有效手段.對于一個(gè)題目，給學(xué)生提供多種解法，從不同的角度去看待一個(gè)問題，用多重視角反思一個(gè)問題，這就是在增加學(xué)生的思維層次，這與“培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)”提出的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，勤于反思”不謀而合.相信通過“一題多解”可以初步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，能夠?yàn)橐龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目之“美”打下一定的基礎(chǔ).

下面展示學(xué)生提供的不同解法，有的解法復(fù)雜甚至煩瑣，但學(xué)生對數(shù)學(xué)問題多種解法的不懈追求，卻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性、發(fā)散性、變通性、靈活性、流暢性和開放性.

證法14：如圖15，過點(diǎn)A作AK⊥AD交BG于K，連接EK，以下過程同證法3.

圖15

圖16

證法15：如圖16，過點(diǎn)E作EK∥BC交BG于點(diǎn)K，連接EG，以下過程同證法2.

證法16：如圖17，過點(diǎn)A作AM⊥BC交BG于K，連接EK，以下過程同證法2.

圖17

圖18

證法17：如圖18，過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，EK∥BC交BG于K，連接EK，以下過程同證法3.

證法18：如圖19，過點(diǎn)E作EK∥BC交BG于點(diǎn)K，連接EG、AK，以下過程同證法16、17.

圖19

圖20

證法19：如圖20，連接EG、CG、GH，以下過程同證法1.

證法20：如圖21，過點(diǎn)A作AK⊥BC于點(diǎn)K，交BG于N，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，以下過程同證法3.

證法21：如圖22，連接EG并延長GE交BC于K，連接CG，以下過程同證法10.

圖21

圖22

證法22：如圖23，連接EG并延長GE交BC于K，連接HG，以下過程同證法1.

圖24

圖23

證法23：如圖24，延長FA至K，使AK=EC，連接GK.先證△AFG、△BFC是等腰直角三角形.再證△KFG△BFE（SAS）.最后證明△KAG △ECH（SAS）即可.

三、解題反思

幾何問題的解答方法很多，但只要能找到解題規(guī)律，任何難題都可以迎刃而解.教師在解題教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中的隱含條件，從復(fù)雜的圖形中分解或構(gòu)造出基本模型圖，善于提煉基本幾何模型，進(jìn)行歸納總結(jié).利用建模思想解題，既可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用模型的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又可以培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移應(yīng)用的能力，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要不斷尋求新的解題方法，逐步提高自己的解題技能和技巧，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果.

在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師可通過對一些典型考題的幾何圖形進(jìn)行挖掘，借助知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，在直觀視覺和比較分析的基礎(chǔ)上，添加適當(dāng)?shù)妮o助線解決問題，加強(qiáng)解題經(jīng)驗(yàn)和方法的總結(jié)，如解決復(fù)雜幾何問題常用輔助線的作法：連接線段，延長線段，過一點(diǎn)作平行線，過一點(diǎn)作垂線，作輔助圖形（圓、特殊四邊形、三角形等），要加強(qiáng)學(xué)生思維的拓展訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目特點(diǎn)進(jìn)行一題多解，一題多變，一圖多用，拓寬思路，幫助學(xué)生在解題訓(xùn)練中發(fā)展思維的靈活性與發(fā)散性，讓一題多解成就精彩，大大拓展學(xué)生的思維空間，使學(xué)生明白平面幾何問題輔助線添加的多角度性、嘗試的重要性，以及從多個(gè)視角的解決中獲得平面幾何問題思考的有效性，真正讓解題教學(xué)的課堂更加高效、靈動(dòng).