尋“前世今生”，覓“備考之道”

林生

從2010年至2018年的全國(guó)高考題來(lái)看：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這個(gè)是高考的“重頭戲”，每年的分值都比較高，幾乎年年都以“壓軸題”的身份出現(xiàn)，給人很“高深”的感覺(jué)，讓人“畏懼”. 其實(shí)對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這個(gè)壓軸題，我們只要多學(xué)會(huì)研究題目的“真諦”，找到解題的思路和突破口，那么我們便“無(wú)所畏懼”. 其實(shí)我們高考備考過(guò)程其實(shí)就是探索、不斷完善的過(guò)程.在備考過(guò)程中，我們要學(xué)會(huì)通過(guò)認(rèn)真分析研究以前的高考真題，通過(guò)對(duì)真題的縱橫分析以及對(duì)其內(nèi)在的研究，找出其共性的東西，找出其通性通法，找到命題的趨勢(shì)，再加強(qiáng)訓(xùn)練，我們便可以實(shí)現(xiàn)“通一明百”，從而實(shí)現(xiàn)高效備考. 下面結(jié)合今年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)高考題的第21題來(lái)分析，通過(guò)對(duì)本題的研究與分析來(lái)尋找它的“前世今生”，找到其“源”與“流”，從而找到這類(lèi)導(dǎo)數(shù)壓軸題的常規(guī)解法，同時(shí)對(duì)此基本類(lèi)型進(jìn)行變式拓展，讓考生從題中悟“道”，從而舉一反三，開(kāi)啟思維，縱橫聯(lián)系、觸類(lèi)旁通，另外還對(duì)函數(shù)與中常規(guī)題型及常用到的一些解題方法和技巧來(lái)進(jìn)行舉例分析、變式和總結(jié)歸納，讓考生真正掌握處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用其技巧，從而掌握這一類(lèi)題型的基本方法和技巧，最終得出2019年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，探窺出函數(shù)與導(dǎo)數(shù)優(yōu)效備考的策略.

一、真題回放

（2018年全國(guó)卷新課標(biāo)Ⅰ卷（即廣東高考）理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：

【分析】本題第一問(wèn)考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看起來(lái)熟悉常規(guī)，有利于思維的展開(kāi)，但該題把數(shù)學(xué)思想方法（函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論）和素養(yǎng)作為考查的重點(diǎn)，抓住了廣東考生的“軟肋”（字母運(yùn)算和分類(lèi)討論），直擊其“要害”，將字母運(yùn)算、分類(lèi)討論等融為一體，是一道簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單、深刻而不深?yuàn)W的試題，讓考生在平平淡淡中考能力、平平實(shí)實(shí)中考思維、穩(wěn)扎穩(wěn)打中見(jiàn)真功，這十分符合新課標(biāo)的命題理念.加上該試題第（2）問(wèn)和不等式結(jié)合在一起，很多考生由于“畏懼”的心理，加上由于時(shí)間的限制，很多考生在這里如果沒(méi)有保持“清醒”的頭腦的話(huà)，就會(huì)陷入“卡殼”，因此命題者把它作為壓軸題也就不足為奇了.綜合來(lái)看：其實(shí)本題只要認(rèn)真分析，找住問(wèn)題的本質(zhì)，特別是本題的第（1）問(wèn)，應(yīng)該有“搶分”的意識(shí)，該問(wèn)主要是考查考生分類(lèi)討論的思想，只要抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，求導(dǎo)后分子是二次函數(shù)，即 f ′（x）=--1+=，但在這里考生很容易出錯(cuò)的是：①會(huì)忽略函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），這會(huì)使學(xué)生容易出錯(cuò)；②求導(dǎo)容易求錯(cuò)，會(huì)出現(xiàn)f ′（x）=lnx-1+或f ′（x）=-1+=的錯(cuò)誤；以上兩種都是由于粗心或者不小心導(dǎo)致出錯(cuò).但只要我們注意定義域和求導(dǎo)不求錯(cuò)，對(duì)求導(dǎo)后的分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)（分類(lèi)討論的思想方法：就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出第一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答，其實(shí)質(zhì)是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”.在分類(lèi)討論時(shí)，要注意：①分類(lèi)對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；②不重復(fù)，不遺漏；③分層次，不越級(jí)討論.）把握到位，第（1）問(wèn)就可以“迎難而解”，即求導(dǎo)f ′（x）=--1+=可知不用再討論分母，只需判斷分子的情況即可，而分子是-x2+ax-1，是典型的二次函數(shù)，因此可設(shè)g（x）=-x2+ax-1，只需判斷g（x）=-x2+ax-1在（0，+∞）上的根的情況即可.而對(duì)于函數(shù)g（x）=-x2+ax-1的圖像開(kāi)口向下，又恒過(guò)定點(diǎn)（0，-1），所以這時(shí)問(wèn)題變得很簡(jiǎn)單了，只需判斷？駐=a2-4的情況.即只需研究？駐=a2-4≤0和？駐=a2-4>0兩種情況，懂得這樣分類(lèi)討論的話(huà)，一切問(wèn)題都變得簡(jiǎn)單很多了.而對(duì)于第（2）問(wèn)涉及到證明不等式的問(wèn)題，其實(shí)常規(guī)的方法無(wú)非是兩種處理方法：①構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)來(lái)處理；②將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為可以用我們所學(xué)的知識(shí)來(lái)處理.但不管用上面的哪種方法來(lái)處理，都少不了將條件“函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2”具體化，并且要學(xué)會(huì)找出隱含在里面的條件“x1x2=1”，只有懂得把這些隱含條件找出來(lái)，才可以更好地出來(lái)該類(lèi)題型. 這樣的命題有效地避免了題海戰(zhàn)術(shù)，真正地考查了考生應(yīng)用知識(shí)的能力.

解析： （1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=--1+=.設(shè)g（x）=-x2+ax-1，而函數(shù)g（x）=-x2+ax-1的圖像開(kāi)口向下，恒過(guò)定點(diǎn)（0，-1），？駐=a2-4.

（i）當(dāng)？駐=a2-4≤0時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，g（x）=-x2+ax-1≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f ′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.

（ii）當(dāng)？駐=a2-4>0時(shí)，即a>2或a<-2時(shí)，由g（x）=-x2+ax-1=0，即f ′（x）=0解得x1=，x2=，由g（x）=-x2+ax-1=0可知：x1+x2=a，x1x2=1，當(dāng)a<-2時(shí)，x1<0，x2<0，因此可得f ′（x）<0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減. 當(dāng)a>2時(shí)，由x1+x2=a，x1x2=1可得x1>0，x2>0，因此可得當(dāng)x∈（0，）∪（，+∞）時(shí)， f ′（x）<0；當(dāng)x∈（，）時(shí)， f ′（x）>0. 所以f（x）在（0，），（，+∞）單調(diào)遞減，在（，）單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減； 當(dāng)a>2時(shí)，f（x）在（0，）和（，+∞）上單調(diào)遞減，在（，）單調(diào)遞增.

（2）解析1：當(dāng)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2時(shí)，由（1）可知當(dāng)a>2時(shí)，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，要證明（a-2）（x1-x2）成立，即證明f（x1）-（a-2）x1>f（x2）-（a-2）x2，其中x1，x2是方程g（x）=-x2+ax-1=0的兩個(gè)根，設(shè)函數(shù)h（t）=f（t）-（a-2）t，則滿(mǎn)足-t2+at-1=0，即可t+=a，h′（t）=f ′（t）-（a-2）=--1+a·-（a-2）=--1+（t+）·-（t+-2）=2-（t+），由（1）可知當(dāng)a>2時(shí)，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以t+=a>2，所以h′（t）=2-（t+）<0，h（t）=f（t）-（a-2）t在（0，+∞）單調(diào)遞減，又因?yàn)閤2>x1>0，所以h（x2）f（x2）-（a-2）x2，因此可得

解析2：當(dāng)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2時(shí)，由（1）可知當(dāng)a>2時(shí)，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，要證明（a-2）（x1-x2）成立，由x1x2=1可得x2=，即只需證明f（x1）-f（）>（a-2）（x1-），

即證-x1+alnx1-（x1-+aln）>（a-2）（x1-），化簡(jiǎn)可得2alnx1+a（-x1）>0，再由a>2，因此只需證2lnx1+（-x1）>0成立即可，設(shè)函數(shù)h（t）=2lnt+（-t），由（1）可知0h（1）=0，所以得2lnx1+（-x1）>0在（0，1）上恒成立，

即f（x1）-f（x2）>（a-2）（x1-x2），因此可得

解析3：由（1）可知只有當(dāng)a>2時(shí)，f（x）才有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，（不妨設(shè)01，因此有==a·-2，要證明x1-x2，所以只需證明lnx12>x1-成立，即證明2lnx1-x1+>0成立，下面構(gòu)造函數(shù)和以下一樣，過(guò)程略）令h（t）=2lnt-t+（t>1），h′（t）=-1-=-<0，故h（t）在（1，+∞）遞減，從而h（t）

解析4：由（1）可知只有當(dāng)a>2時(shí)， f（x）才有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，（不妨設(shè)01，因此有==a·-2，而根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式得<，下面證明對(duì)數(shù)平均不等式成立，設(shè)01，即證lnt2<成立，即證lnt2-t+<0成立，構(gòu)造函數(shù)h（t）=2lnt+（-t）（t>1），所以g′（t）= -<0，h（t）在（1，+∞）遞減，所以h（t）

【點(diǎn)評(píng)】本題的第（1）問(wèn)其實(shí)質(zhì)就是導(dǎo)數(shù)的分類(lèi)討論的問(wèn)題，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的分類(lèi)討論，要把握其分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn). 因?yàn)樵谄綍r(shí)的備考中要樹(shù)立分類(lèi)討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類(lèi)不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”往往分類(lèi)討論主要是有以下類(lèi)型：①參數(shù)引起的分類(lèi)討論；②判別式引起的分類(lèi)討論；③二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間引起的分類(lèi)討論；④二項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論.但平時(shí)在考題中求導(dǎo)后多與二次函數(shù)有關(guān)，因此我們對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論時(shí)，要注意判斷求導(dǎo)后是否為二次函數(shù)（若二次函數(shù)系數(shù)為參數(shù)，需對(duì)二次函數(shù)系數(shù)分正、負(fù)、零等討論），若為二次函數(shù)，則需要判斷是否能因式分解，若能因式分解，則還要判斷根的大小以及根是否在定義域內(nèi)；若不能因式分解，則要判斷開(kāi)口方向、？駐、對(duì)稱(chēng)軸以及是否過(guò)定點(diǎn)和根的大小以及根是否在定義域內(nèi)等，要把握住其中的關(guān)鍵點(diǎn)，這樣分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)才可以把握到位、不重復(fù)、不遺漏.第（2）問(wèn)中要證明不等式，其實(shí)就是懂得構(gòu)造函數(shù)或者利用不等式放縮等方法來(lái)處理，而在解法1中和解法2的不同之處就是構(gòu)造函數(shù)的不同，解法1是轉(zhuǎn)化后直接構(gòu)造，解法2是變形后構(gòu)造，但都“殊途同歸”，都是為了達(dá)到證明不等式的效果.而解法3和解法4時(shí)化簡(jiǎn)后利用放縮，然后證明不等式成立，不過(guò)都要用到一種常用的方法：構(gòu)造函數(shù).可見(jiàn)對(duì)于處理導(dǎo)數(shù)壓軸題來(lái)說(shuō)，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)來(lái)處理問(wèn)題是常規(guī)的手法，但是構(gòu)造函數(shù)一定要結(jié)合題目的特征來(lái)構(gòu)造，常用的有直接構(gòu)造法，等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造法、消元或消參構(gòu)造等，總之，是通過(guò)構(gòu)造實(shí)現(xiàn)處理函數(shù)的問(wèn)題.綜合上面來(lái)看，對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題型，最為關(guān)鍵的是要學(xué)會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)單調(diào)區(qū)間來(lái)解決一系列問(wèn)題，因此在備考期間要注意落實(shí)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題才是“上上之策”.

二、尋“前世今生”

于今年這道導(dǎo)數(shù)壓軸題，其實(shí)是我們“常見(jiàn)”的題型，第（1）問(wèn)求單調(diào)區(qū)間，是考查分類(lèi)討論的思想；第（2）問(wèn)證明不等式，考查就是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.因此今年的這道壓軸題的類(lèi)型在往年壓軸題和模擬試題都經(jīng)常出現(xiàn)，特別是和2011年湖南高考文科數(shù)學(xué)第22題“高度吻合”.其實(shí)我們高考命題是從題庫(kù)里面抽取出來(lái)命題的，因此我們很多題目都可以找到它的“前世今生”，今年這道高考題也不例外.下面分析對(duì)比這兩道題目的“異同”. （2011年湖南高考文科數(shù)學(xué)第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=x--alnx（a∈R），（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，記過(guò)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線(xiàn)的斜率為k，是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.仔細(xì)分析可知：這兩道題可以說(shuō)是“一模一樣”的：①題目給出的函數(shù)幾乎一樣，僅相差了一個(gè)符號(hào)而已；②第（1）問(wèn)都是討論函數(shù)的單調(diào)性，問(wèn)法一樣；③ 第（2）問(wèn)研究的問(wèn)題完全一樣，只不過(guò)換一種說(shuō)法而已.在2011年這道高考題中，設(shè)問(wèn)用了探索的方式，問(wèn)是否存在a，使得k=2-a，而今年的高考題是要求證明：2-a，從而不存在常數(shù)a，使得k=2-a.從中可發(fā)現(xiàn)：對(duì)于這些類(lèi)型其實(shí)處理方法本質(zhì)一樣，只不過(guò)稍微“改頭換面”，因此我們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中要學(xué)會(huì)不斷反思，要認(rèn)真研究題目的“來(lái)龍去脈”，尋找它的“前世今生”，這樣備考才可以更好的有的放矢.

例1. 已知函數(shù)f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a>1.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：若a<5，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有>-1.

【分析】本題主要考查分類(lèi)討論的思想和不等式證明，要解決該類(lèi)題型和上面的手法“如出一轍”，只要把握分類(lèi)討論和構(gòu)造函數(shù)的常規(guī)方法，就很容易找到解題的“突破口”.

解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

f ′（x）=x-a+==，（i）若a-1=1即a=2，則f ′（x）=，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加.（ii）若a-1<1，而a>1，故10. 故f（x）在（a-1，1）單調(diào)遞減，在（0，a-1），（1，+∞）單調(diào)遞增.（iii）若a-1>1，即a>2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)遞減，在（0，1），（a-1，+∞）單調(diào)遞增.

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+x=x2-ax+（a-1）lnx+x.則g′（x）=x-（a-1）+≥2-（a-1）=1-（-1）2. 由于10，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)增加，從而當(dāng)x1>x2>0時(shí)有g(shù)（x1）-g（x2）>0，即f（x1）-f（x2）+x1-x2>0，故>-1，當(dāng)0-1成立.

變式. 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f（x2）>.

【分析】這類(lèi)問(wèn)題的處理手法和上面稍有不同，直接處理會(huì)發(fā)現(xiàn)“此路不通”，因此要把題目的條件轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后便可以處理.

解析：（1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），f ′（x）=2x+=，且f ′（x）=0有兩個(gè)不同的根x1、x2，所以2x2+2x+a=0的判別式？駐=4-8a>0，即a<，且x1=，x2=，又x1>-1故a>0.因此a的取值范圍是（0，）. 結(jié)合圖像可知，f（x）在區(qū)間（-1，x1）和（x2，+∞）是增函數(shù)，在區(qū)間（x1，x2）是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2. 所以a的取值范圍是（0，）.

（2）由題設(shè)和（1）可知：x1+x2=-2，x1x2=a，-0，故g（t）在區(qū)間[-，0）是增函數(shù)，于是，當(dāng)t∈（-，0）時(shí)，g（t）>g（-）=，因此f（x2）=g（x2）>.

【點(diǎn)評(píng)】本題及變式涉及到的是導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)的問(wèn)題，主要是分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，只要把握分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)和構(gòu)造函數(shù)的基本類(lèi)型，那么一切的問(wèn)題便“迎難而解”.

拓展：已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+bx（a>0），且f ′（1）=0，

（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)A（x1，y1）B（x2，y2）（x1

【分析】第（1）問(wèn)求單調(diào)區(qū)間是比較容易的，直接根據(jù)條件得出來(lái)；第（2）問(wèn)屬于“新定義”題型，根據(jù)“相依切線(xiàn)”定義得其本質(zhì)：利用A，B兩點(diǎn)間的斜率與x0∈（x1，x2）時(shí)導(dǎo)數(shù)值f ′（x0）相等，建立關(guān)于x0的方程，探究方程是否有根問(wèn)題（即在x0∈（x1，x2）時(shí)，kAB=f ′（x0）是否有根）；而“中值相依切線(xiàn)”的解決途徑則是先假設(shè)存在A，B兩點(diǎn)使得它存在“中值相依切線(xiàn)”，建立關(guān)于x1，x2的方程kAB=f ′（x0），其中x0=，探究方程是否有根.通過(guò)題意可知：上述問(wèn)題實(shí)際都是通過(guò)A，B的割線(xiàn)斜率等于切線(xiàn)斜率實(shí)現(xiàn)，但方向不同，“相依切線(xiàn)”是已知曲線(xiàn)上點(diǎn)A、B去尋求M（x0，y0）是否存在，而“中值相依切線(xiàn)”是已知點(diǎn)M（x0，y0）去尋求點(diǎn)點(diǎn)A、B是否存在.由此可以得到解法.

解析：（1）f ′（x）=-ax+b，由f ′（1）=0可得b=a-1.

（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖像上存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

使得AB存在“中值相依切線(xiàn)”，則kAB==-+a-1，f ′（）=-+a-1又kAB=f ′（）得=，所以ln==，由x2>x1得>1，設(shè)=t（t>1），則lnt=2-（t>1），則此式表示有大于1的實(shí)數(shù)根.令h（t）=lnt+-2（t>1），則h′（t）=>0，所以h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù).因此h（t）>h（1）=0與lnt=2-（t>1）有大于1的實(shí)數(shù)根相矛盾，所以函數(shù)f（x）的圖像上不存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

【點(diǎn)評(píng)】本題和今年的高考處理方法也比較類(lèi)似，只不過(guò)本題是以高等數(shù)學(xué)背景——拉格朗日中值定理“亮劍出擊”，以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切入點(diǎn)，有一定的深度，也充分考查了考生的能力.其實(shí)本題我們只要根據(jù)本題的定義，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線(xiàn)的斜率，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，它的定義實(shí)際上是拉格朗日中值定理的變形（作為考生，我們也應(yīng)了解一些以高等數(shù)學(xué)的背景且與高考息息相關(guān)的著名定理，為了更好讓考生了解一下拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足如下條件（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)？孜，使得f ′（？孜）=.下面在通過(guò)一個(gè)小題讓考生更深入了解該定理，在下列四個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），| f（x1）-f（x2）|< |x1-x2|恒成立的”只有（ ）A. f（x）=，B. f（x）=|x|，C. f（x）=2x，D. f（x）=x2. 參考答案：直接利用上面的定理可得A）通過(guò)拉格朗日中f（x）=lnx-ax2+bx值定理我們可以得到題中滿(mǎn)足（1）在閉區(qū)間[x1，x2]上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間（x1，x2）內(nèi)可導(dǎo)；則在（x1，x2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f ′（x0）=，即f（x）=lnx-ax2+bx圖像上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）必存在“相依切線(xiàn)”.

三、覓“備考之道”

根據(jù)往年全國(guó)卷的分析及考試說(shuō)明可知：考綱中明確提出掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，特別是單調(diào)性、最值等方面，因此這部分題型一般圍繞著單調(diào)性而展開(kāi)，主要是考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想.因此我們?cè)?019年備考時(shí)要突出對(duì)單調(diào)性的把握，同時(shí)還要對(duì)構(gòu)造函數(shù)、高等數(shù)學(xué)等方面進(jìn)行恰當(dāng)?shù)难芯亢头治?，因此我們要在備考時(shí)要做好以下幾個(gè)方面：

（1）明確命題規(guī)律，用整體的觀(guān)念整體把握知識(shí)體系

根據(jù)高考題型的研究和分析，其實(shí)在高考中主要有以下幾類(lèi)題型：①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間以及已知函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)中的參變量變化范圍等問(wèn)題；②求函數(shù)極值（點(diǎn)）、最值或已知極值（點(diǎn)）、最值求參數(shù)的取值范圍；③證明不等式恒成立或已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍；④另外，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)，分式函數(shù)，指對(duì)函數(shù)的其它性質(zhì)問(wèn)題，方程根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題，這些也是高考經(jīng)常涉及的地方.那么，對(duì)于這些常規(guī)題型我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的觀(guān)點(diǎn)要將有關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，用結(jié)構(gòu)性的觀(guān)念整體把握，充分地利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)“工具”來(lái)解決問(wèn)題，讓考生在學(xué)習(xí)中真正地理解和運(yùn)用.

（2）用選擇的方法以及思想提升靈活運(yùn)用的能力

對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸類(lèi)型，無(wú)論是求函數(shù)最值、極值，還是證明不等式、求參數(shù)的取值范圍，往往都要用到函數(shù)的單調(diào)性，因此我們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中要學(xué)會(huì)用選擇的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題來(lái)處理，不管題目怎么“改頭換面”，這類(lèi)問(wèn)題的解決以構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)等為途徑，求導(dǎo)選擇核心函數(shù)為突破口，準(zhǔn)確求解核心函數(shù)（特別是二次函數(shù)）為落腳點(diǎn)，因此只有靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，才可以真正地破解這類(lèi)難題.

（3）加強(qiáng)“搶分”意識(shí)，重視規(guī)范解答，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題中，它具有較強(qiáng)的滲透力，它可和其它數(shù)學(xué)知識(shí)綜合起來(lái)，比如：含參函數(shù)與方程及與不等式結(jié)合問(wèn)題，與不等式結(jié)合，證明函數(shù)不等式（均構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)或由函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的范圍，函數(shù)方程結(jié)合考查討論根的個(gè)數(shù)，由根的分布求參數(shù)范圍（構(gòu)造新函數(shù)），極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，中值定理及凸凹性所暗含的雙變量不等式證明問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷、導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在性處理、縮小變量研究范圍、借助重要函數(shù)不等式放縮函數(shù)等等.

但這些都凸顯考查數(shù)學(xué)的思想方法，因此我們不能懼怕這些類(lèi)型，還要加強(qiáng)“搶分”意識(shí)，求導(dǎo)，求單調(diào)區(qū)間，注重它們的規(guī)范解答，這樣才可以容易拿多點(diǎn)分?jǐn)?shù).另外在平時(shí)復(fù)習(xí)備考中要強(qiáng)化思想方法的運(yùn)用，如分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合等思想常蘊(yùn)含于這些題目中，我們?cè)谄綍r(shí)解題中注重方法和思路的分析，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化，長(zhǎng)期不懈地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，這樣才可以在高考中運(yùn)籌帷幄于決勝之顛”，真正地達(dá)到運(yùn)用自如的境界.

總之，我們要突破函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這些題型，必須加強(qiáng)理解把握，就算題目是以“嶄新”面貌出現(xiàn)，只不過(guò)是在其外表上面賦予一層神秘“面紗”，它們本質(zhì)上只不過(guò)是源于高等數(shù)學(xué)，命題者通過(guò)初等化的處理與巧妙設(shè)計(jì)，潛移默化地在題目中滲透高等數(shù)學(xué)的一些觀(guān)點(diǎn)與方法，比如把一些高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)概念、運(yùn)算或一些性質(zhì)、定理及公式等“搖身一變”就了命題的“新題”.因此作為考生的我們根本無(wú)須害怕這些類(lèi)型，因?yàn)榻鉀Q它也無(wú)須掌握很多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，只要我們?cè)谛睦砩鲜紫瓤朔?duì)這一類(lèi)題型的“恐懼”，善于將其轉(zhuǎn)化并充分利用好導(dǎo)數(shù)這個(gè)“工具”——單調(diào)性問(wèn)題，那么我們便真正地識(shí)別轉(zhuǎn)化的“玄機(jī)”，在訓(xùn)練的過(guò)程中多注意以上類(lèi)型，分析思考時(shí)從基本方法和技巧出發(fā)，領(lǐng)悟解題的“本質(zhì)”——構(gòu)造已知條件和要求條件的關(guān)系，多角度、多方位分析和優(yōu)化問(wèn)題，必能一題破萬(wàn)題，這樣才可以達(dá)到“八方聯(lián)系、渾然一體，漫江碧透、魚(yú)翔淺底”的境界，從而高效地備考，最終笑傲2019年的高考.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)