基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法

明 樂，周 峰

（空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051）

0 引言

從現(xiàn)實(shí)情況上來看，最小均方誤差算法獲得了廣泛的利用，不管是在弱化通信噪音上，還是在信道均衡上，又或者是在清除特定某些信號(hào)的雜波上等等［1-2］。就以往的LMS算法而言，其無法一并顧及收斂速度以及穩(wěn)態(tài)誤差兩者。

針對(duì)該種情況，有關(guān)研究人員對(duì)以往的LMS算法進(jìn)行了改善，推出了一些新的算法［3-7］，其中歸一化LMS算法需要通過步長和輸入信號(hào)功率兩者間的比例關(guān)系，將步長作出歸一化處理，其中會(huì)涉及到全局步長因子，該因子固定，也會(huì)產(chǎn)生和傳統(tǒng)算法一樣的難題。但是就基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法而言，其步長不是固定不變的，和別的變步長算法比較，不管是在收斂速度上，還是在穩(wěn)態(tài)誤差上，都有了較大的改善，然而其算法性能對(duì)輸入信號(hào)比較敏感。為了處理上述兩種算法尚存的缺陷，把這兩者聯(lián)系起來，給出了一種基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法，利用前者的思想來弱化輸入信號(hào)對(duì)后者的影響程度，和兩者中的單一算法相比，新算法的收斂速度要更為迅速，穩(wěn)態(tài)誤差要更低一些，此外，其跟蹤性能也較為優(yōu)良。

1 變步長LMS算法

就傳統(tǒng)LMS算法而言，實(shí)際上其屬于一種最小均方算法，以最速下降法為基礎(chǔ)，不會(huì)使用到均方誤差，取而代之的是平方誤差。迭代公式如下：

式（1）中，W（n）是自適應(yīng)濾波器n時(shí)刻的權(quán)系數(shù)向量，X（n）是 n 時(shí)刻的信號(hào)輸入矢量，d（n）是期望信號(hào)，e（n）是輸出誤差。式（2）中μ是自適應(yīng)算法的迭代步長。

1.1 歸一化LMS算法（NLMS算法）

歸一化LMS算法需要通過步長和輸入信號(hào)功率兩者間的比例關(guān)系，對(duì)前者作出歸一化處理，進(jìn)而使得收斂速度更快，穩(wěn)定程度更好。歸一化后的步長為：

式（3）中，σx2為輸入信號(hào)的功率，由于很難直接計(jì)算，一般用時(shí)間平均作為功率的估計(jì)值，即：

因此，歸一化LMS算法（NLMS算法）的抽頭向量更新公式為：

式（5）中，γ是較小的正常數(shù)，是為了避免分母為零。

1.2 基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法（Log-LMS算法）

相比于“指數(shù)”、“正弦”等方法，從形式上來看，對(duì)數(shù)函數(shù)較為簡明，所需的計(jì)算不多，并且如果步長因子以及誤差信號(hào)這兩者能夠構(gòu)成對(duì)數(shù)關(guān)系，那么不管是收斂速度，還是穩(wěn)態(tài)誤差，都將會(huì)更好。其中 e（n）和 μ（n）滿足表達(dá)式：

式（6）中，參數(shù)a是用來控制曲線的整體變化，參數(shù)m是用來控制曲線底部變化速度，參數(shù)b是用來控制曲線的幅度大小。

文獻(xiàn)［6］中也討論了a、b和m的取值對(duì)步長曲線的影響，得出的結(jié)論是：a的值太大，會(huì)使步長因子錯(cuò)過最佳值；a值過低，在尚未處于最低穩(wěn)態(tài)誤差的時(shí)候，步長因子就已變成了零，結(jié)果就是收斂速度會(huì)過低。b值過高，那么算法可能處于一種發(fā)散的狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差也就較高；b值過低，那么出現(xiàn)的結(jié)果是收斂速度過低。同樣m的取值也會(huì)影響穩(wěn)態(tài)誤差，m取值一般設(shè)為2。所以在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)合理地選擇參數(shù)。

2 基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化LMS算法（Log-NLMS算法）

由于步長因子μ影響著系統(tǒng)的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差，即收斂速度會(huì)隨步長較大而變快，但穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)隨之變大；反之，其收斂速度會(huì)隨步長較小而變慢，但穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)隨之變小。就歸一化LMS算法而言，盡管其對(duì)步長和輸入信號(hào)功率的比例關(guān)系進(jìn)行了利用，然而其利用到的步長是不變的，不能保證收斂速度高以及穩(wěn)態(tài)誤差低的情況一起出現(xiàn)。所以，在此對(duì)步長因子作出了優(yōu)化，把歸一化LMS算法以及基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法聯(lián)系起來，最終給出了一種基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法。

該種新算法的邏輯是：以誤差e以及步長μ兩者間構(gòu)成的對(duì)數(shù)關(guān)系為基礎(chǔ)，通過前者使后者發(fā)生變動(dòng)，令后者一直處于一種適宜的界限中，進(jìn)而獲得更優(yōu)的收斂速度，也獲得更低的穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)利用此變步長與輸入信號(hào)的比值來得到一個(gè)新的變步長，即對(duì)步長的歸一化，從而降低算法的性能對(duì)輸入信號(hào)的敏感度，即對(duì)上述式（6）進(jìn)行變形得：

式（7）中，γ是較小的正常數(shù)，加上它是為了避免分母為零。

因此，得到新算法的迭代公式如下：

基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化LMS算法的計(jì)算步驟總結(jié)如下：

1）對(duì)抽頭系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的初始化處理，也就是迭代的起點(diǎn)：

2）對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，產(chǎn)生期望響應(yīng)的估計(jì)值：

3）產(chǎn)生估計(jì)誤差信號(hào)：

4）根據(jù)誤差信號(hào)產(chǎn)生變步長因子：

5）更新抽頭權(quán)向量：

重復(fù)步驟2）～步驟5）。

3 仿真結(jié)果

3.1 參數(shù)選取

為了更好地對(duì)比新算法與單一算法在性能上的差異，在這里采用了文獻(xiàn)［6］所給出的仿真條件，通過仿真結(jié)果來檢驗(yàn)新算法的性能。仿真條件如下：系統(tǒng)是階數(shù)為2的自適應(yīng)濾波器；采用的輸入信號(hào)x（n）是高斯白噪聲信號(hào)，并且其均值等于0，方差等于1；采用的未知系統(tǒng)的有限長單位沖擊響應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)w=［0.80.5］T，在采樣點(diǎn)數(shù)為500時(shí)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化，使得w=［0.4 0.2］T；所采用的v（n）是均值等于0，方差等于0.04的高斯白噪聲信號(hào)，并且這個(gè)噪聲信號(hào)和輸入信號(hào)兩者間是沒有關(guān)系的。仿真過程中所利用的采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，為弱化實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的誤差，形成較為精準(zhǔn)的收斂曲線，在該仿真條件下，將200次仿真所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求平均，得到最終的平均收斂曲線。

仿真過程中NLMS算法中固定步長取μ=0.007，文獻(xiàn)［6］經(jīng)過討論給出的Log-LMS算法最優(yōu)參數(shù) 為 a=1 000，b=0.02，m=2。 下 面 討 論 新 算 法Log-NLMS的參數(shù)選取問題。

固定 b=0.01，m=2，a 依次變化為 100，1 000，3 000。從圖1中可以看出a值在1000時(shí)，算法性能已經(jīng)最佳，再隨著a值增加，算法性能幾乎一樣。因此，本文通過仿真得出a的最佳值為1 000。固定a=1 000，m=2，b 依次變化為 0.02，0.4，0.8。由圖 2 中能夠發(fā)現(xiàn)，b為0.4的時(shí)候，算法性能處于最好的狀態(tài)，之后伴隨該值的提高，性能會(huì)減弱。因此，本文通過仿真得出b的最佳值為0.4。

3.2 結(jié)果分析

對(duì)新算法和歸一化LMS算法、基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法分別進(jìn)行了仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。

圖3給出的是歸一化LMS算法、基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法和基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法的均方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖，從圖中不難發(fā)現(xiàn)，如果迭代次數(shù)沒有超過500，也就是未出現(xiàn)跳變的時(shí)候，第1種算法實(shí)現(xiàn)收斂的時(shí)候的迭代次數(shù)是300，第2種算法是120，而第3種新的算法大約是80；如果系統(tǒng)出現(xiàn)了跳變的情況，第1種算法實(shí)現(xiàn)收斂的時(shí)候的迭代次數(shù)大約是700，第2種算法大約是600，而第3種新的算法大約是550，而且，新算法對(duì)系統(tǒng)的跟蹤能力也很強(qiáng)，因此，可以得出結(jié)論：不管是和歸一化LMS算法比較，還是和基于對(duì)數(shù)函數(shù)的LMS算法比較，新算法在收斂速度方面都要更快一些，在穩(wěn)定程度方面都要更好一些，而且遇到跳變的情況，新算法在跟蹤能力上也很強(qiáng)。圖4對(duì)應(yīng)的為上述3種算法的權(quán)值收斂曲線，不難發(fā)現(xiàn)，新算法和另外兩種算法比較，在權(quán)值收斂方面要更為迅速一些。

4 結(jié)論

對(duì)歸一化LMS算法以及基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法兩者的整體思想進(jìn)行了闡述，并將兩者聯(lián)系起來，最終給出了一個(gè)更優(yōu)的算法，也就是基于對(duì)數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法。通過仿真分析，得出了新算法比單一算法在收斂速度方面更快，收斂后更加平穩(wěn)，且其對(duì)系統(tǒng)的跟蹤能力也很強(qiáng)，所以新算法也可以應(yīng)用在多時(shí)變系統(tǒng)中。