基于隨機矩陣特征值差的頻譜感知改進算法*

高 鵬，劉蕓江，高維廷，陳 娟，李 曼

（1.空軍工程大學信息與導航學院，西安 710077；2.解放軍91917部隊，北京 100000；3.西安航空學院，西安 710077）

0 引言

頻譜感知作為認知無線電（Cognitive Radio，CR）的關鍵環(huán)節(jié)，通過實時檢測頻“頻譜空穴”（White Space），實時、準確地判斷主用戶（Primary User，PU）的授權頻率資源是否空閑，可供認知用戶（Second User，SU）接入使用，被公認為是解決目前頻譜資源緊張的重要技術［1］。

目前，現(xiàn)有的頻譜感知算法主要有：匹配濾波檢測、循環(huán)平穩(wěn)特征檢測、能量檢測、多用戶協(xié)作檢測等［2］。匹配濾波［3］要求主用戶信號先驗，以此設計濾波器機構，不符合應用實際；循環(huán)平穩(wěn)［4］特征檢測性能較好，但計算復雜高、實時性差；能量檢測［5］簡單易實現(xiàn)、對主用戶信號非先驗，但其性能受噪聲不確定度影響大，存在著信噪比門限要求。利用MIMO［6］、數(shù)據(jù)融合［7］、雙門限判決［8］等技術的多用戶協(xié)作檢測近年來得到了一定的發(fā)展，但基于能量檢測的本質仍無法克服噪聲不確定性帶來的影響。

本文結合文獻［9-13］的思路，以特征值均值與最小特征值之差構造檢測統(tǒng)計量，提出了一種改進算法DAM，在此基礎上分析討論基于Tracy-Widom分布與基于正態(tài)分布兩種門限選取方式，理論與仿真結果表明，該算法檢測性能在低采樣、低信噪比下較現(xiàn)有DMM、ME-S-ED算法有所提升。

1 系統(tǒng)模型

1.1 實際頻譜感知場景

如圖1所示，在認知無線網(wǎng)絡中［1］，主用戶（PU1，PU2，PU3，…）通過主基站（Primary Base Station，PBS）進行通信；認知用戶（SU1，SU2，SU3）協(xié)同檢測PU信號，將檢測數(shù)據(jù)送至次級基站（Second Base Station，SBS）進行數(shù)據(jù)處理，判斷PU授權頻段是否存在頻率空穴可供SU使用。

1.2 頻譜感知模型

采用認知無線電中經(jīng)典的二元假設數(shù)學模型［1］，假設在窄帶的認知無線電網(wǎng)絡中，只存在一個主用戶，認知用戶對其信號進行檢測判決，描述如下：

其中，H0與H1分別代表主用戶信號存在與不存在的情況，xi（n）為第i個認知用戶接收到的采樣信號，si（n）與ωi（n）分別為待測主用戶信號和干擾噪聲，hi（n）為信道衰落因子。不失一般性，假設如下：1）干擾噪聲為高斯白噪聲，并且服從；2）主用戶信號si（n）幅值服從均值為μ方差為σ2的高斯分布，且與噪聲相互獨立；3）M個認知用戶檢測一個主用戶的同一頻段；4）在檢測期間，信道特性穩(wěn)定，hi（n）保持不變。

對于M個認知用戶采樣N次，多用戶協(xié)作頻譜感知模型可以概括為：

認知用戶采樣信號協(xié)方差在采樣數(shù)N較大時，近似表示為：

R（xN）的特征值近似表示為，ρi為RHs（N）的特征值為的均值。

在H0成立時，只存在高斯白噪聲個特征值均為σ2，滿足；

在H1成立時，因s（n）自身不同采樣時刻具有相關性，ρi使得i間不再相等，此時；

Rx（N）的特征值統(tǒng)計均值，在主用戶信號存在時的差異性為檢測提供了可行性思路。

2 DAM頻譜感知算法

2.1 算法理論基礎

定理2當信號為實信號時，滿足［15］：

2.2 檢測門限推導

基于在H0與H1不同情形下的差異性，選取作為檢測統(tǒng)計量，在理想狀況下，無主用戶信號時的值為0，考慮虛警概率下表示如下：

γDAM為判決門限，γDAM的取值影響著檢測性能的優(yōu)劣。在同一檢測統(tǒng)計量下，門限較低者檢測性能更好，TDAM作為差值結構，存在著2種半漸進門限的選取方式，如下：

1）γ1：選取作為統(tǒng)計分布，在H0時min的近似值下計算；

2）γ2：選取min特征極限分布，在H0時的近似值下計算。

γ1具體推導方式如下：

DAM算法虛警概率表示為：

其中，Q（x）為概率積分函數(shù)，滿足表達式：

γ2具體推導方式如下：

根據(jù)定理2，利用最小特征值的極限分布，

得到

其中，F(xiàn)-11（t）為一階Tracy-Widom累計分布函數(shù)反函數(shù)，F(xiàn)1（t）閉合表達式仍未得到，文獻［17］通過數(shù)值計算方法得到750點F1（t）與F-11（t）離散圖像，如圖2，常用數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 一階Tracy-Widom累計分布函數(shù)部分數(shù)值點

兩種門限值的選取將影響著DAM算法的檢測性能，方便分析記為DAM1與DAM2，具體將在下一節(jié)中分析比較。

兩種不同推導方式下的門限值，均與噪聲能量有關，利用DMM算法中的特征值噪聲估計法［11］，，對噪聲進行實時地估計，保證判決門限的相對準確性；同時差值結構的檢測量，特征值相減抵消了噪聲不確定性帶來的影響。

2.3 算法步驟

DAM算法步驟概括如下：

1）對檢測信號采樣，計算待檢信號的協(xié)方差矩陣Rx（N）；

2）求取Rx（N）的所有特征值，計算其均值，并構造統(tǒng)計量

3）利用特征值噪聲估計法對噪聲方差進行實時更新；

4）利用更新后的噪聲計算判決門限γ1與γ2；

5）進行判決，累計次數(shù)，計算檢測概率。

3 仿真結果與性能分析

3.1 門限比較與分析

假設不存在主用戶信號，只輸入高斯白噪聲驗證算法門限的有效性。在認知用戶數(shù)M=5，虛警概率Pfa=0.1時，在不同采樣點數(shù)N的情況下得到檢測統(tǒng)計量-min與兩門限γ1與γ2的關系，如圖3所示。

從中得到，在低虛警概率時，兩門限數(shù)值非常接近，但門限γ2值較門限γ1更低，隨著樣本數(shù)目逐漸增加，二者差距越來越??；γ1與γ2均高于實際檢測量，因虛警概率的存在，只有少數(shù)點越過了γ2，證明了兩種推導方式的有效性。

同時，采用最小特征值極限分布得出的γ2比正態(tài)分布下得出的γ1更低，意味著更好的檢測效果；γ2距離實際量較遠，用檢測性能“換取”了低虛警概率，不利于實際檢測效果。仿真結果證明了雖然沒有閉式表達式的Tracy-Widom分布比正態(tài)分布更貼近實際檢測。

3.2 算法性能比較與分析

假設主用戶信號為QPSK信號，經(jīng)過2 000次Monte-Carlo仿真實驗，在設定虛警概率Pfa下，以統(tǒng)計檢測概率Pd為指標，與DMM算法、ME-S-ED算法進行比較。

圖4為在虛警概率Pfa=0.05，認知用戶數(shù)M=5時，采樣點數(shù)為1 000時，檢測概率與信噪比的關系。從圖中得到，隨著信噪比的增加，算法的檢測概率均迅速上升，采用門限γ2的DAM2增速最快，在信噪比-14 dB時已經(jīng)接近了90%，其次為DMM算法，DAM1與ME-S-ED算法的增速則相對較慢，原因在于在相對低采樣的情況下，利用特征值均值改進檢測量等同于降低了檢測量數(shù)值的大小，間接地降低了對門限的敏感性。

但在低信噪比的情況下DAM1與ME-S-ED算法較優(yōu)，在-20 dB時的檢測概率能夠高于DAM2與DMM算法10%，原因在于DAM2與DMM基于特征極限分布，而特征值均值近似于平均能量，在低信噪比下其能量特性使其仍保持一定的檢測性能。

圖5為在虛警概率Pfa=0.05，認知用戶數(shù)M=5，信噪比為-20 dB時，檢測概率與采樣點數(shù)的關系。旨在驗證在圖4低信噪比的情況下，通過增加采樣點數(shù)對檢測性能的影響。可以得到，隨著采樣點數(shù)的增加，低信噪比下的檢測性能均得到了提升，且優(yōu)于原DMM算法。其中，利用特征值均值改進的DAM1與ME-S-ED比利用特征值極限分布的DAM2與DMM上升更快，在采樣點數(shù)為5 000時，DAM1檢測概率可以達到95%，原因在于低信噪比時，主用戶信號微弱，此時利用特征值差異性的檢測方式相較于利用能量差異，在分解近似中降低了敏感性；DAM2的檢測性能仍優(yōu)于DMM，原因在于，最小特征值的極限分布在低采樣時相較最大特征值極限分布更為準確，隨著樣本不斷增大，差異性漸漸減小。

圖6為在虛警概率Pfa=0.05，采樣點數(shù)為1 000，信噪比為-20 dB時，檢測概率與認知用戶數(shù)的關系。旨在驗證，在圖4、圖5低采樣、低信噪比的情況下，增加參與協(xié)作的認知用戶數(shù)對檢測性能的影響。隨認知用戶數(shù)量的增加，算法的檢測性能均上升，且均優(yōu)于原DMM算法；采用特征值均值改進的DAM2與ME-S-ED要優(yōu)于DAM1。原因在于特征值均值利用了所有特征值，涵蓋的矩陣特征信息要明顯于其中一個特征值，更能體現(xiàn)矩陣的“特征”，隨認知用戶數(shù)增加，特征值數(shù)量增加，特征值均值優(yōu)勢凸顯。

圖7為在采樣點數(shù)1 000，信噪比為-20 dB，認知用戶數(shù)M=5，在不同虛警概率下的工作特性（Receiver Operating Characteristics，ROC）曲線圖。旨在總結算法在上述圖4～圖6的低采樣、低信噪比情況下的綜合性能。隨虛警概率的增加，DAM1增長最快，在30%的虛警概率下可以達到96%；綜合表明了在同時低采樣點數(shù)、低信噪比的情況下，DAM1與DAM2性能更優(yōu)。

仿真結果表明，兩種改進算法在低采樣、低信噪比的情況下，相較于原DMM和現(xiàn)有ME-S-ED算法均有一定的性能提升；同時，只在低信噪比時DAM1略有優(yōu)勢，而只在低采樣時DAM2更有優(yōu)勢。

4 結論

本文在隨機矩陣特征結構理論上，在DMM算法的基礎上提出了一種特征值均值與最小特征值之差的頻譜感知改進算法（DAM），并在此基礎上分析討論了DAM算法在兩種門限下的檢測性能（DAM1與DAM2）。理論分析與仿真表明，該算法在幾乎不增加算法復雜度的同時，在低采樣、低信噪比的情況下，比DMM算法以及現(xiàn)有ME-S-ED改進算法具有更好的檢測性能。