基于建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)解題教學(xué)案例分析

付敏

（南昌市第十中學(xué)，江西南昌 330006）

1 教學(xué)課題

本文選取的教學(xué)課題是函數(shù)值范圍問題的求解。

2 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解函數(shù)中自變量與函數(shù)值的相互對應(yīng)和制約關(guān)系。

（2）創(chuàng)設(shè)問題案例，通過啟發(fā)來誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯錯誤和矛盾，通過由特殊到一般、從具體到抽象，深刻剖析錯誤原因，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

（3）通過對學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識策略的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)反思的良好思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生智力。

3 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握求函數(shù)值及其范圍的方法。

難點(diǎn)：理解該方法的原理及內(nèi)涵。

4 教學(xué)方法

本文選取的教學(xué)方法是建構(gòu)式教學(xué)法。

5 學(xué)生的現(xiàn)狀

已學(xué)好函數(shù)的概念，理解自變量與函數(shù)的相互關(guān)系及函數(shù)值的求法，并能運(yùn)用函數(shù)的知識去解決簡單求值問題的高一年級學(xué)生。

6 教學(xué)過程

6.1 案例呈現(xiàn)

如下一個數(shù)學(xué)問題：

已知：f（x）=ax2-c, 且 -4≤f（1）≤-1,-1≤f（2）≤5

求：f（3）的取值范圍。

有相當(dāng)一部分同學(xué)求解如下：

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的舊知識去解決新問題時，學(xué)生往往缺乏聯(lián)系和學(xué)習(xí)的積極主動性，教師采用角色換位的解題教學(xué)方法，使學(xué)生親身經(jīng)歷解題的過程，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識沖突，激發(fā)學(xué)生探知的強(qiáng)烈欲望，對問題進(jìn)行“理解”與“消化”達(dá)到數(shù)學(xué)信息多角度的表征。）

6.2 解題策略指導(dǎo)

教學(xué)中，該問題（學(xué)生的解題思維過程）提出來，供大家討論，同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣十分高漲，這時，采取對學(xué)生積極引導(dǎo)并提出如下質(zhì)疑：（1）上述問題推理過程是否正確？其推理理論依據(jù)是什么？（2）其思維過程是否為等價轉(zhuǎn)化？（3）請你用嘗試方式驗(yàn)證結(jié)論的極端值是否正確。（4）綜上分析，你的最終結(jié)論是什么？

學(xué)生一般都經(jīng)歷先認(rèn)為原解法正確再否認(rèn)的思維過程。其主要思維體現(xiàn)如下：對于引導(dǎo)①，由于理論明顯，都?xì)w因于不等式的性質(zhì)。對于引導(dǎo)②，由于暫時性地?zé)o法發(fā)現(xiàn)錯誤，很多同學(xué)都認(rèn)為過程為等價變形。待引導(dǎo)③出現(xiàn)之后，大部分學(xué)生思維開始又活躍起來。他們積極從如下思考：

當(dāng) f（3）=26 時，當(dāng)且僅當(dāng) 9a=27,-c=-1

此時 a=3，c=1 從而 f（1）=a－c=2∈[-4,-1]

f（2）=4a-c=11∈[-1,5]

與條件矛盾，可見f（3）不可能到26

當(dāng) f（3）=-7 時，當(dāng)且僅當(dāng) 9a=0,-c=-7

此時 a=0，c=7，從而 f（1）=a-c=-7 ∈[-4,-1]

f（2）=4a-c=-7∈[-1,5]

也與條件矛盾，可見f（3）也不可能到-7

至此，大家一致認(rèn)為解答有誤，可原因在哪兒呢？

（設(shè)計(jì)意圖：實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)活動及其構(gòu)成也不是單純的個人的進(jìn)程，而是在于師生、學(xué)生間的共同活動，包括一起分析并尋找聯(lián)系與解答，一起設(shè)計(jì)與證明，還一起檢驗(yàn)與評估其結(jié)果，以此創(chuàng)設(shè)一個好的“學(xué)習(xí)共同體”。）

6.3 協(xié)作研究探索

通過上述的分析，大家質(zhì)疑“不等式性質(zhì)定理3的推論”在解題中使用造成的嗎？故師生進(jìn)入了對不等式的可加性做進(jìn)一步的思考與分析。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)：定理3的推論：若a>b，c>d則a+c>b+d中，條件“ a>b，c>d”是“ a+c>b+d”成立的充分不必要條件。

本題中，解題思維過程的蘊(yùn)涵關(guān)系如下：

案例中所依據(jù)的理論是正確的，但由于違背了等價性的思想和原則，卻將問題的范圍擴(kuò)大了。即上述推理雖然得出 f（3）∈[-7，26]，但卻不能取滿到-7 到 26 之間的一切值。

（設(shè)計(jì)意圖：通過對數(shù)學(xué)思維過程的分析與思考，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解，滲透了等價轉(zhuǎn)化的思想方法，達(dá)到了實(shí)現(xiàn)認(rèn)識整合，打破認(rèn)識平衡狀態(tài)的目的。）

6.4 意義建構(gòu)，解決問題

我們的問題可以等價地轉(zhuǎn)化為：

求 f（3）=9a-c 的取值范圍。

解：設(shè)M=9a-c，從而 c=9a-M

故問題又等價轉(zhuǎn)化為：過圖象中的區(qū)域內(nèi)EFGH的點(diǎn)（a,c），作斜率為9的直線，求其在c軸上的載距-M的取值范圍。

顯然，當(dāng)過點(diǎn) E（0,1），即 a=0,c=1時 -M 有最大值 1，當(dāng)過點(diǎn) G（3,7），即 a=3,c=7 時，-M 有最小值-20。

即有：-20≤-M≤1

∴-1≤M≤20

故所求 f（3）的取值范圍為[-1,20]

（注：這里滲透了線性規(guī)劃的思想和方法）

另解：令 m（a-c）+n（4a-c）=9a-c

用待定系數(shù)法，得

①×（-5/3）+②×8/3 得 -1 ≤ 9a-c≤ 20

∴所求范圍是[-1,20]

（設(shè)計(jì)意圖：循尋學(xué)生心理認(rèn)識發(fā)展的規(guī)律，在學(xué)生認(rèn)識經(jīng)歷了“平衡—不平衡”的發(fā)展變化之后，不失時機(jī)地向?qū)W生介紹正確的解題方法與技巧，同化學(xué)生的心理認(rèn)識結(jié)構(gòu)，達(dá)到認(rèn)識的新平衡狀態(tài)，順利實(shí)現(xiàn)學(xué)生對新知識的心理意義建構(gòu)。）

一種獨(dú)立的教學(xué)模式構(gòu)建，必須通過對教學(xué)模式的長期實(shí)踐，筆者僅對數(shù)學(xué)解題模式做出上述初步構(gòu)建，以期隨著建構(gòu)主義理論的深入學(xué)習(xí)與后繼的教學(xué)研究實(shí)踐使之完善。