航空輸流管道動力學(xué)的非參模型研究

曹建華， 劉永壽， 劉 偉

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710029; 2. 黃山學(xué)院 機電工程學(xué)院，安徽 黃山 245021)

輸流管道在工業(yè)和日常生活中應(yīng)用非常廣泛，其流致振動現(xiàn)象引起了眾多的研究，取得了很大的成果。Paidoussis[1]在其專著中總結(jié)了輸流管道研究結(jié)果，并細(xì)致分析了各類線性和非線性的問題。Yu等[2]研究在有外部移動載荷的情況下，彈性基礎(chǔ)上的輸流循環(huán)管道的振動波傳播。Chang等[3]建立了基于軸線不可伸縮時三維非線性直管微分方程，并研究在基礎(chǔ)激勵下管道響應(yīng)。Kheiri等[4-5]采用廣義哈密頓方法推導(dǎo)輸流管道的運動方程，并與其他方程進(jìn)行對比。Qian等[6]分析了輸流直管在非線性基礎(chǔ)上的動力學(xué)行為。王琳等[7-8]采用伽遼金方法研究了輸流直管在軸向分布力作用下的顫振失穩(wěn)問題。Ghayesh等[9]推導(dǎo)了基于軸線可伸縮假充下三維非線性直管微分方程，并與軸線不可伸縮假設(shè)相對比。

目前，大部分輸流管道研究都是參數(shù)確定的動力學(xué)分析，然而，在航空工業(yè)中，輸流管道一般是由卡箍支承，由于各種不確定性因素存在，比如卡箍的材料、結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能等因素，導(dǎo)致數(shù)值計算誤差較大，需采用考慮系統(tǒng)誤差的模型，如非參模型(Nonparametric Model)[10-11]，以便更加準(zhǔn)確地預(yù)測管路振動特性。本文針對兩端由卡箍夾緊的航空輸流直管，考慮不確定性，采用非參方法進(jìn)行輸流管道的動力學(xué)研究。在航空系統(tǒng)中，支承輸油管道的卡箍，一般簡化為簡單支撐，在本文中，將卡箍簡化為簡支和扭轉(zhuǎn)彈簧，在此不采用參數(shù)隨機的方法時行仿真，而采用不確定性的非參模型方法[12-13]建模，研究輸流直管的振動特性。非參方法已經(jīng)被Ritto等[14-15]應(yīng)用于求解流速的不確定性求解。

1 輸流管道的均值模型有限元格式

如圖1所示，水平放置的輸流管道長為L，單位長度的流體質(zhì)量和管道質(zhì)量分別為mf,mp，兩端有扭轉(zhuǎn)彈簧，其扭轉(zhuǎn)剛度為kt，管內(nèi)流體流速為U，忽略重力影響，根據(jù)Hamilton原理[16]

圖1 兩端有扭轉(zhuǎn)剛度的輸流管道模型Fig.1 The geometry of a fluid-conveying pipewith clamps at two ends

(1)

其中,

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：E為彈性模量;I為截面慣性矩。經(jīng)過變分可得控制微分方程為

(6)

式(6)與Paidoussis研究中的直管方程一致。邊界條件為

z=0,w(0)=0,EIw″(0)=ktw′(0)
z=L,w(L)=0,EIw″(L)=-ktw′(L)

(7)

本文采用小波有限元對輸流管道進(jìn)行離散。利用尺度j為3，階數(shù)m為4的樣條小波尺度函數(shù)作為插值函數(shù)，其理論參考文獻(xiàn)[17-20]，其位移表達(dá)式為

(8)

定義單元qe為

qe=[w(ξ1)w′(ξ1)/lew(ξ2) …w(ξn)w(ξn+1)w′(ξn+1)/le]T

(9)

式中:le為單元長度；ξi=(i-1)/2j,i=1, …, 2j+1。

將式(9)代入式(8)，可以得到

qe=Reae

(10)

其中，

Re=[ΦT(ξ1)Φ′T(ξ1)/leΦT(ξ2) …ΦT(ξn)ΦT(ξn+1)Φ′T(ξn+1/le)]T

(11)

將式(10)代入式(8)

w(ξ,t)=Φ(Re)-1qe=Nqe

(12)

式中：N=Φ(Re)-1為形函數(shù)。

采用傳統(tǒng)有限元方法過程，將式(6)進(jìn)行離散，得到單元矩陣，單元離散方程為

(13)

式中：小波單元質(zhì)量矩陣、小波單元阻尼矩陣、小波單元剛度矩陣和小波單元受力向量分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：()’為關(guān)于ξ的導(dǎo)數(shù)；()為對時間t的微分;ξ=ze/le(0≤ξ≤1);le為單元長度;ze(0≤ze≤le)為單元局部坐標(biāo)。

(18)

均值(參數(shù)確定)模型的輸流管道頻率響應(yīng)為

(19)

(20)

2 輸流管道剛度矩陣的隨機模型

(21)

隨機矩陣[Kg]可以表示為

(22)

采用最大熵原理，構(gòu)建[G]的概率密度函數(shù)表達(dá)式為

(23)

式中:n為矩陣[G]的維數(shù)，CG表達(dá)式為

(24)

式中：δ為耗散因子，其表達(dá)式為

(25)

在系統(tǒng)中，系統(tǒng)質(zhì)量矩陣Mg和系統(tǒng)阻尼矩陣Cg不變，僅有[Kg]為隨機矩陣。由式(22)可知，當(dāng)[G]為單位矩陣時，非參模型即退化為均值模型。輸流管道的隨機模型為

(26)

式中：Q(t)為相應(yīng)輸流管道隨機模型的隨機響應(yīng)，其頻域形式為

(27)

3 數(shù)值仿真

輸流管道幾何尺寸如下：L=2.032 m, 內(nèi)徑為ri=0.122 m，ro=0.132 m。材料參數(shù)如下：流體密度為1 000 kg/m3，管道密度為7 850 kg/m3，管道的彈性模量E為210 GPa。本節(jié)采用非參模型，首先對兩端有扭轉(zhuǎn)彈簧的輸流管道時頻率響應(yīng)，以及頻率隨流速的變化進(jìn)行分析，其次對邊界不確定情況下的輸流管道非參模型研究。

為了方便，定義無量綱頻率

(28)

無量綱流速表達(dá)式為

(29)

式中：ω為頻率。

圖2 均值模型和可信區(qū)間為99%非參模型的輸流管道頻率響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖3 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.001Fig.3 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖4 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化(參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.001Fig.4 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖5中粗線表示可信區(qū)間為99%的頻率響應(yīng)曲線，即在非參方法中，頻率響應(yīng)有99%的概率在粗線包含區(qū)域中。均值模型的頻率響應(yīng)曲線(虛線)被完整地包含在此區(qū)域中(見圖5)。由圖5也可知，隨著頻率增大，可信區(qū)域增大，不確定性對高階頻率影響大。

圖5 均值模型和可信區(qū)間為99%非參模型的輸流管道頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖6 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.1Fig.6 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖7 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化 (參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.1Fig.7 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

增大耗散因子δ數(shù)值，進(jìn)一步分析其對數(shù)值結(jié)果的影響。當(dāng)δ[K]=0.4時，非參模型的99%可信區(qū)間不能完美地包含均值模型的響應(yīng)曲線(見圖8)。在非參模型中，頻率實部的可信區(qū)間總體上包含均值模型的曲線(見圖9)，而由圖10可知，頻率虛部的99%可信區(qū)間包含不了均值模型的曲線。增大耗散因子δ，并沒有像文獻(xiàn)[16]中針對Timoshenko梁，耗散因子越大，其均值模型就越穩(wěn)定地被包含在非參模型的可信區(qū)間中。對于輸流管道，在文獻(xiàn)[14]中，其數(shù)值結(jié)果也僅僅考慮耗散因子δ=0.1。

圖8 參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型的輸流管道頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖9 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.4Fig.9 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖10 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化 (參數(shù)確定模型和可信區(qū)間為99%非參模型)δ[K]=0.4Fig.10 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

4 結(jié) 論

針對兩端由卡箍夾緊的航空輸流管道，將卡箍簡化為簡支和扭轉(zhuǎn)彈簧，采用小波有限元方法將輸流管道系統(tǒng)進(jìn)行離散，考慮不確定性，以非參方法進(jìn)行輸流管道的動力學(xué)研究。

從數(shù)值結(jié)果可知，非參模型的可信區(qū)間完美包含均值模型的的頻率響應(yīng)曲線，隨著頻率增大，不確定性對高階頻率影響大。對于頻率隨流速變化曲線，非參模型的可信區(qū)間完美地包含均值模型，隨著流速增大，不確定性對每階頻率的實部影響越來越小，而對每階頻率的虛部影響越來越大，且不確定性對發(fā)散和顫振失穩(wěn)幾乎沒有影響。

對于輸流管道系統(tǒng)，耗散因子數(shù)值越大，其均值模型并不能更加穩(wěn)定地被包含在非參模型的可信區(qū)間中。