理清知識脈絡(luò)，探尋分?jǐn)?shù)本真

張寧全

摘 要：以探尋分?jǐn)?shù)本真教學(xué)為基點(diǎn)從三方面進(jìn)行推進(jìn)。第一方面構(gòu)建分?jǐn)?shù)家族，理清知識脈絡(luò)；第二方面通過對比教材，明晰《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》這節(jié)課的任務(wù)承載；第三方面具體闡述在《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》教學(xué)過程如何凸顯其承上啟下的任務(wù)承載，為后續(xù)的分?jǐn)?shù)教學(xué)做好知識、策略上的鋪墊，從而探尋分?jǐn)?shù)本真的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)；除法；含義

分?jǐn)?shù)的教學(xué)，是對整數(shù)教學(xué)的一次跨越，是學(xué)生對數(shù)領(lǐng)域探尋的拓展。關(guān)于分?jǐn)?shù)家族也是一個(gè)龐大的知識體系，從分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算與分?jǐn)?shù)的應(yīng)用將分?jǐn)?shù)教學(xué)螺旋式上升的進(jìn)行安排。實(shí)驗(yàn)版和修訂版教材都是分三步進(jìn)行推進(jìn)，都是在三上安排《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》單元，五下安排《分?jǐn)?shù)的意義》、《分?jǐn)?shù)加減法》單元，六上安排《分?jǐn)?shù)的乘除法》單元。將分?jǐn)?shù)的所有內(nèi)容進(jìn)行一一的羅列與學(xué)習(xí)。

一、構(gòu)建分?jǐn)?shù)家族，理清知識脈絡(luò)

關(guān)于分?jǐn)?shù)版塊的內(nèi)容安排是一張嚴(yán)密的知識網(wǎng)，通過分?jǐn)?shù)的概念、計(jì)算與應(yīng)用三個(gè)版塊的教學(xué)將散落于每冊教材中的各個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)結(jié)。通過收集分析教材相關(guān)內(nèi)容，編制知識網(wǎng)，現(xiàn)將分?jǐn)?shù)家族構(gòu)建如下（圖2）：

而在這個(gè)龐大的知識體系中，修訂版教材第五冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》單元新增的用乘除兩步解決問題的《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》，既是對分?jǐn)?shù)內(nèi)涵理解的深入，也是為了進(jìn)一步溝通分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，同時(shí)為分?jǐn)?shù)乘法解決問題做前期鋪墊。它不僅是內(nèi)涵理解的拓展，也是分?jǐn)?shù)應(yīng)用教學(xué)的實(shí)踐。在整個(gè)分?jǐn)?shù)教學(xué)中占有舉足輕重的地位，那么對于這節(jié)課的兩套教材又是如何編排的，讓我們走進(jìn)兩個(gè)版本的編排。

二、對比教材編排，探尋任務(wù)承載

修訂版教材分別在三年級上冊和六年級上冊安排《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》解決問題，而實(shí)驗(yàn)版教材僅是在六年級上冊做內(nèi)容的安排，那么兩個(gè)版本的教材意圖分別是什么，讓我們一起來分析一下。

1. 對比教材編排

同樣都在六年級的《分?jǐn)?shù)乘法》單元安排“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”是多少的解決問題，為什么修訂版教材在三上分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識單元安排了本節(jié)課，那么這節(jié)課又該承載著怎么樣的教學(xué)任務(wù)？

2. 明確任務(wù)承載

修訂版教材第五冊《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》解決問題，它是在學(xué)生充分理解分?jǐn)?shù)含義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。根據(jù)分?jǐn)?shù)的含義，用整數(shù)乘除法的知識來解決實(shí)際問題。而在這里安排最主要的任務(wù)是讓學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)含義以及為分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)做進(jìn)一步的鋪墊。從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考慮：

（1）進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)含義的需要

本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，例題中有12個(gè)學(xué)生，女生占了1/3，男生占了2/3，求女生和男生分別有幾人？從題意中理解，要求男女生的人數(shù)就是求12的1/3和12的2/3分別是幾。這里就要關(guān)注學(xué)生對分?jǐn)?shù)內(nèi)含的理解，只有讓學(xué)生深切地理解：1/3表示把一個(gè)整體平均分成3份，取其中的1份，而2/3就是把一個(gè)整體平均分成3份，取其中的2份，才能引導(dǎo)學(xué)生理解題意的要求，就是把12看成一個(gè)整體，把12平均分成3份，取其中一份，列式就是12÷3=4（人）；2/3是男生，表示把12個(gè)人平均分成3份，取其中的2份，列式就是12÷3=4（人），4×2=8（人）。在應(yīng)用過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了分?jǐn)?shù)的含義，也為五年級分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)做好了知識上的鋪墊。

（2）孕伏分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的需要

分?jǐn)?shù)含義的理解可以從份數(shù)、除法、比等多個(gè)角度理解，這里主要是溝通分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系。就如以上所說，通過分?jǐn)?shù)含義的理解，把12看成一個(gè)整體，平均分成3份，取其中的1份或2份。在解決女生有多少人的問題中，讓學(xué)生通過畫圖，就能深切感受到把12個(gè)人平均分成3份，取其中一份，列式就是12÷3=4（人），這里就運(yùn)用了等分除的含義解決問題?！?”既是除法算式中的除數(shù)，同時(shí)也是分?jǐn)?shù)里的分母，讓學(xué)生初步感受除法與分?jǐn)?shù)是一家。從而讓學(xué)生進(jìn)一步明白，分母是幾就是把一個(gè)整體平均分成了幾份。這樣通過分析題意、畫圖演示、列式計(jì)算等過程，讓學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，為五年級下冊學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系做好孕伏。

三、立足課堂教學(xué)，探尋分?jǐn)?shù)本真

本節(jié)課要解決一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題，之所以沒有涉及分?jǐn)?shù)乘法，是由于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、知識層次還未能掌握分?jǐn)?shù)乘法。學(xué)習(xí)本課的重點(diǎn)就落在理解分?jǐn)?shù)含義的基礎(chǔ)上把握數(shù)量關(guān)系，然后再利用已有的整數(shù)乘、除法的知識進(jìn)行計(jì)算解決，也是對分?jǐn)?shù)含義的深層次探尋。

1. 圖示表征，理解分?jǐn)?shù)內(nèi)涵厘清數(shù)量關(guān)系

由于三年級學(xué)生抽象思維水平偏低，很難將對分?jǐn)?shù)含義的理解與除法算式解決對接，所以我們主要考慮用圖形表征的方式作溝通的橋梁，串聯(lián)題意、算式，通過對比分析，讓學(xué)生在厘清數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)含義，建構(gòu)解題模型。

為了幫助學(xué)生理解，教材采用圖示表征模式，讓學(xué)生直觀地看到12的1/3是4，表示女生有4人；12的2/3是8，表示男生有8人。通過直觀演示，讓學(xué)生能清晰地運(yùn)用圖示作媒介，溝通文字與算式之間的橋梁。

課堂上為了凸顯圖示表征對理解題意的橋梁作用，運(yùn)用圖示表征法將抽象的文字轉(zhuǎn)換為圖示。我們先從情境中理解題意，讓學(xué)生明白1/3是女生表示什么，2/3是男生表示什么，這里我們可以重點(diǎn)來關(guān)注男生人數(shù)多少的問題。讓學(xué)生通過畫一畫、圈一圈或算一算的方法來表示男生的人數(shù)。在反饋過程中，通過讓學(xué)生自己闡述圖意，旨在凸顯學(xué)生的思維過程。通過學(xué)生的闡述讓我們能夠更加清晰地認(rèn)知學(xué)生對題意的理解，也就是對分?jǐn)?shù)的理解，而在多種圖示表征過程中，也能看到學(xué)生思維層次的多樣性。比如：這里圓片、三角形等表示實(shí)物個(gè)數(shù)的，屬于第一層次，是具化了的。而類似長條圖和線段圖的表征呈現(xiàn)，這是思維的第二層次，屬于抽象的圖示表征，學(xué)生的思維上升到了另一高度。提升學(xué)生的思維層次，圖示作為中間的媒介，能有效溝通文字與算式的橋梁。

解讀完圖示表征后，設(shè)計(jì)追問題“這些圖示有什么相同點(diǎn)，”旨在通過多種圖示的對比溝通，讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，都是平均分成3份，取其中的兩份，老師適時(shí)地將2/3用粉筆圈一下，將圖與數(shù)進(jìn)行了有效的對接。這樣就能幫助學(xué)生將枯燥抽象的文字描述轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖示，為正確解答搭建了腳手架，這個(gè)環(huán)節(jié)是探尋學(xué)生對題意理解最重要的一環(huán)。在這個(gè)過程中，幫助學(xué)生又一次理解分?jǐn)?shù)的含義厘清了數(shù)量關(guān)系。

2. 算式表征，借助乘除兩步溝通分除關(guān)系

在進(jìn)行了圖示表征后，教師緊接著讓學(xué)生進(jìn)行列式解決，呈現(xiàn)學(xué)生的列式方法，12÷3=4（人），4×2=8（人），這里需要加強(qiáng)圖與式的溝通，作為教師必須有意識地引導(dǎo)學(xué)生，說說你是怎么想的？先求出什么？再求出什么？正是有了這些追問，在充分暴露學(xué)生思維過程的同時(shí)，也為正確的解答做好了鋪墊。因?yàn)?/3是男生，就是把12平均分成3份，取其中的2份。用算式12除以3等于4，先求的是每份是多少，緊接著2乘4等于8，再求這樣的兩份，當(dāng)然在整個(gè)過程中，我們也需要將圖示與算式進(jìn)行有效的對接。那么求12的2/3是多少，通過圖示的橋梁作用，就可以用乘除兩步計(jì)算來解決，進(jìn)一步溝通了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。同時(shí)也為后續(xù)的整數(shù)乘分?jǐn)?shù)12×2/3做好計(jì)算上的鋪墊。

3. 對比分析，建構(gòu)解題模型理解分?jǐn)?shù)本真

解決問題的教學(xué)，最終要建構(gòu)解題模型，讓學(xué)生突破現(xiàn)象看本質(zhì)，那么如何建構(gòu)解題模型，本課在實(shí)施過程中，采用了對比分析，引導(dǎo)學(xué)生在對比交流中，感受解決問題的關(guān)鍵所在，從而建構(gòu)解題模型。

在本節(jié)課的推進(jìn)過程中，我們可以呈現(xiàn)兩次對比，第一次對比是呈現(xiàn)題組“有12名學(xué)生，其中2/3是男生，男生有多少人？有15個(gè)人，其中2/3是男生，男生有多少人？”追問：這兩題的相同點(diǎn)是什么？讓學(xué)生明白男生都是占總數(shù)的2/3，圖示表征也相同，解題的過程也相同，為什么結(jié)果會(huì)不一樣，這里主要讓學(xué)生明白，雖然都是總數(shù)的2/3，但當(dāng)總數(shù)不同時(shí)，所得到的結(jié)果也是不同的。而在跟進(jìn)練習(xí)中，再次呈現(xiàn)題組“喜羊羊和美羊羊情景圖，有40個(gè)蘋果，美羊羊吃了其中的2/5，喜羊羊吃了其中3/8，他們分別吃了幾個(gè)？”兩題進(jìn)行對比，通過教師的追問，讓學(xué)生明白，當(dāng)總數(shù)相同，所占比不同，所得到的結(jié)果也是不同的。最后通過這些對比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少時(shí)，解題的一般方法都是相同的，也就是都要先算出每份是多少，再求這樣的幾份來解決問題，從而有效地建構(gòu)模型，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了分?jǐn)?shù)本真。