多組組合

摘要：首先，本文指出一般的排列組合是多組組合計(jì)數(shù)模式的特例；其次，在強(qiáng)調(diào)組合是有編號的分組模式的基礎(chǔ)上，給出了利用多組組合模式計(jì)算部分無編號分組方式的公式。

關(guān)鍵詞：排列組合；多組組合；順序

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）38-0218-02

一、引言

排列和組合是兩種最基本的計(jì)數(shù)模式，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中均有涉及。一方面由于排列組合與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，成為了現(xiàn)代公民的重要基礎(chǔ)知識；另一方面由于問題本身的抽象性和具體類型的繁雜性而提高了學(xué)習(xí)和掌握的門檻。本文在分析組合模式的基礎(chǔ)上，試圖以多組組合模式統(tǒng)一描述一些常見的排列組合計(jì)數(shù)模式，為繁雜的排列組合問題提供一個(gè)簡化模式。首先指出一般的排列組合是多組組合計(jì)數(shù)模式的特例，其次在強(qiáng)調(diào)組合是有編號的分組模式的基礎(chǔ)上，給出了利用多組組合模式計(jì)算部分無編號分組方式的公式。

二、組合和多組組合模式

首先需要指出的是，在按組合模式分組時(shí)，組內(nèi)元素之間是不考慮順序的，是不可辨識的，但在組與組之間卻有著順序。因此，在運(yùn)用組合模式計(jì)數(shù)時(shí)包含了各組之間的順序。

例1：A、B、C、D四人進(jìn)行撲克牌雙扣比賽，有多少種不同的分組方式？

也許有人認(rèn)為：從4人中選兩人成一對，剩下的兩人為另一對即可，于是共有C =6種分組方式。但事實(shí)上一共只有如下3對分組方式：（1）AB，CD；（2）AC，BD；（3）AD，BC。出現(xiàn)這個(gè)錯誤的原因是組合計(jì)數(shù)模式考慮了組的編號，將“取出AB，留下CD”和“取出CD，留下AB”看作兩種不同的分組方式，而這里不能計(jì)較組的編號，正確的計(jì)算方法應(yīng)該是 × =3.有了關(guān)于組合的這個(gè)認(rèn)識，我們就可以將組合模式推廣到多個(gè)組的情形。

設(shè)要把n個(gè)不同元素分成m個(gè)不同組，使各組依次有n ，n ，…，n 個(gè)元素，其中n +n +…+n =n，則其分組的種數(shù)是C ？堞 （1）

公式（1）稱為多組組合模式（multinomial combination）。

當(dāng)m=2時(shí)，多項(xiàng)組合就是通常的組合模式。一般的多組組合也可以由通常的組合和分步計(jì)數(shù)的乘法原理得到：C =C ·C ·…·C （2）

例2：將6人分成3組，每組2人，分別從事3項(xiàng)不同的工作，求分配方式數(shù)。

解：先取出2人從事第一項(xiàng)工作，有C 種方式；再取出2人從事第二項(xiàng)工作，有C 種方式；剩下的2人從事第三項(xiàng)工作。按照乘法原理，一共有C C = · = =90種分配方式。

本例中三項(xiàng)工作是不同的，在它們之間存在著“順序”或者叫做“編號”，所以適用于組合模式。在例1中，兩個(gè)組之間沒有順序，故應(yīng)消除組合模式中重復(fù)計(jì)算的分組數(shù)。

多組組合的一個(gè)典型應(yīng)用就是由熟知的二項(xiàng)式定理類比得到多項(xiàng)式定理：（x +x +…+x ） = x x …x （3）

當(dāng)m=2時(shí)，公式（3）就是二項(xiàng)式定理。

多項(xiàng)組合是一種相當(dāng)廣泛的計(jì)數(shù)模式，通常的排列和組合都可以看作其特例。

三、排列是特殊的多組組合

事實(shí)上，“從n個(gè)不同元素中任取r（≤n）個(gè)元素的排列”問題，可以看作將n個(gè)不同元素分為r+1個(gè)組，使得前r個(gè)組各有一個(gè)元素，而最后一個(gè)組有n-r個(gè)元素，于是套用多項(xiàng)組合模式，共有 = =P 種分法，即排列方式。這里r個(gè)元素之間的順序變?yōu)榻M與組之間的順序。

不盡相異元素的全排列問題：有n個(gè)元素，屬于m個(gè)不同的類，同類元素之間不可辨識，各類元素分別有n ，n ，…，n 個(gè)，其中n +n +…+n =n，現(xiàn)在要把它們排成一列，則一共有 種不同排法。

例3：設(shè)有n個(gè)球，屬于m個(gè)不同的類，同類球之間不可辨識，各類球分別有n ，n ，…，n 個(gè)，n +n +…+n =n，現(xiàn)要將這n個(gè)球裝入N（n≤N）個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至多容放一球，則共有 種不同裝法。

分析：由于每盒至多容放一球，總有N-n個(gè)盒子為空。設(shè)想有m+1類球，各類球分別有n ，n ，…，n ，N-n個(gè)，n +n +…+n +（N-n）=N，問題轉(zhuǎn)換為N個(gè)不盡相異元素的全排列問題，故得結(jié)果。

四、多組組合模式的推廣

一般而言，當(dāng)分組個(gè)數(shù)多于2時(shí)，就可以考慮用多組組合模式來解決相應(yīng)的計(jì)數(shù)問題。我們再次強(qiáng)調(diào)，多組組合計(jì)數(shù)中組內(nèi)元素不可辨識，但各組是可以辨識的，相當(dāng)于組有編號。如果問題中不計(jì)較組間的辨識性（如例1），就要消除多組組合模式中重復(fù)計(jì)數(shù)的分組數(shù)。

例4：把7個(gè)人分成3組，完成相同工作，其中一組3個(gè)人，另兩組各2人，求分組方式數(shù)。

分析：各組完成同樣的工作，這是一個(gè)不考慮編號的分組問題.但是因?yàn)?人組有別于其他兩組，該組自帶編號，另兩組不可辨識.所以在按多組組合模式算出分組方式數(shù)之后，應(yīng)除以2！，故共有 × =70種分組方式。

一般地，設(shè)有n個(gè)不同元素，要把它們分成m個(gè)無編號的組，使得其中的m 個(gè)組中的元素個(gè)數(shù)都是n 個(gè)，m 個(gè)組中的元素個(gè)數(shù)都是n 個(gè)，……，m 個(gè)組中的元素個(gè)數(shù)都是n 個(gè)，其中m +m +…+m =m，m n +m n +…+

m n =n

n ，n ，…，n 各不相同，則一共有 × （4）種不同分法。

當(dāng)m =m =…=m =1時(shí)，m=k，此時(shí)公式（4）就是多組組合公式（1）.

參考文獻(xiàn)：

[1]李凡長，康宇，童海峰，等.組合理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

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