函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的四大要素

顏軍

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個(gè)完全形式化的抽象定義，對(duì)仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度.

在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中關(guān)鍵要把握住以下的四大要素.

一、學(xué)生學(xué)習(xí)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么

學(xué)生在學(xué)習(xí)單調(diào)性之前，已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的定義以及函數(shù)的表示.在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì).

函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖像出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性.

在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，我主要設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：

問題1分別做出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x2以及y=1x的圖像，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？

在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，獲得信息：第一個(gè)圖像從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖像從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).

而后兩個(gè)函數(shù)圖像的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

對(duì)于概念教學(xué)，若學(xué)生能用自己的語言來表述概念的相關(guān)屬性，則能更好地理解和掌握概念，因此，我設(shè)計(jì)了問題2.

問題2能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)？

教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義：

如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上的圖像從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù).

然后讓學(xué)生類比描述減函數(shù)的定義.至此，學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性就有了一個(gè)直觀、描述性的認(rèn)識(shí).

二、為什么要用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念

對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個(gè)很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化.學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識(shí)：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y減小是減函數(shù).這個(gè)觀念對(duì)他們而言是易于接受的，很形象，他們會(huì)覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號(hào)化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號(hào)化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會(huì)大大提高，主動(dòng)性也會(huì)更強(qiáng).其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識(shí)不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號(hào)化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證.

三、如何利用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性

一般說，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個(gè)重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個(gè)意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述.對(duì)函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對(duì)若干函數(shù)圖像的觀察并不難認(rèn)識(shí)，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對(duì)比較容易進(jìn)行.后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動(dòng)來完成.這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：

1.“x增大”如何用符號(hào)表示；同樣，“f（x）增大”如何用符號(hào)表示.

2.“‘隨著x增大，函數(shù)f（x）‘也增大”，如何用符號(hào)表示.

用數(shù)學(xué)符號(hào)描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號(hào)來描述動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象.

問題如何從解析式的角度說明f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)？

在教學(xué)中，我組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋，評(píng)價(jià)，對(duì)普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識(shí).

教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后我指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念，對(duì)定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).

① 單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

② 有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)（如一次函數(shù)），有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)（如二次函數(shù)），有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間（如常函數(shù)）.

③ 函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A，B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增（或減）函數(shù).

四、如何規(guī)范用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的解題步驟

對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，由于前邊有對(duì)函數(shù)f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)的研究作鋪墊，大部分學(xué)生能完成取值和求差兩個(gè)步驟：

因此，學(xué)生的難點(diǎn)主要是兩個(gè)函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個(gè)方面：一方面，部分學(xué)生不知道如何變形，不敢動(dòng)筆；另一方面，部分學(xué)生在變形不徹底，理由不充分的情形下就下結(jié)論.

針對(duì)這兩方面的問題，教學(xué)中，我組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā)，考慮分組分解法，即把形式相同的項(xiàng)分在一起，變形后容易找到公因式（x1-x2），提取后即可考慮判斷符號(hào).

在上面分析的基礎(chǔ)上，我對(duì)證明過程進(jìn)行規(guī)范、完整的板書，引導(dǎo)學(xué)生注意證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.