拋物線中的點(diǎn)線對(duì)偶問(wèn)題（三）

金鑫　費(fèi)連花

五、軸定點(diǎn)改為內(nèi)定點(diǎn)

例6求證：過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)G的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，作拋物線A，B兩點(diǎn)切線，交于P點(diǎn)，P點(diǎn)軌跡為直線l1.

證明設(shè)A，B，G坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x0，y0），

lAP：yy1=p（x+x1），

lBP：yy2=p（x+x2）.

聯(lián)立得xP=y1y22p，

yP=y1+y22，

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

∵拋物線過(guò)G點(diǎn)，∴2px0-（y1+y2）y0+y1y2=0，

∴2px0-2yPy0+2pxP=0，

∴P點(diǎn)軌跡方程為px-y0y+px0=0.

六、定點(diǎn)不動(dòng)變切為割

接下來(lái)讓我們研究的內(nèi)容更深入一下，讓定點(diǎn)不變，比如，定點(diǎn)就是焦點(diǎn)，或者定點(diǎn)就是x正半軸上的任意點(diǎn)，又或者是拋物線內(nèi)部任意的定點(diǎn)，然后讓切線變成割線又會(huì)如何呢？問(wèn)題將變得越來(lái)越有意思，請(qǐng)看例題.

例7求證：拋物線的任意兩焦點(diǎn)弦端點(diǎn)所在直線交點(diǎn)的軌跡是準(zhǔn)線.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0，

∵直線AB，CD過(guò)F點(diǎn)，

∴y1y2=y3y4=-p2，

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立直線AD，BC方程，消y得

2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3，

2px（y2+y3）+y1y2y4+y1y3y4=2px（y1+y4）+y1y2y3+y2y3y4，

2px（y2+y3-y1-y4）=p2（y1+y4-y2-y3），x=-p2.

例8求證：過(guò)拋物線對(duì)稱軸上任意一定點(diǎn)G（c，0）的兩條弦端點(diǎn)的直線的交點(diǎn)的軌跡是一定直線x=-c.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0.

∵直線AB，CD過(guò)F點(diǎn)，

∴y1y2=y3y4=-2pc，

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立直線AD，BC方程消y得

2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3，

2px（y2+y3）+y1y2y4+y1y3y4=2px（y1+y4）+y1y2y3+y2y3y4，

2px（y2+y3-y1-y4）=2pc（y1+y4-y2-y3），x=-c.

例9求證：過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)G的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，直線AC和BD交于P點(diǎn)，P點(diǎn)軌跡為直線l1.

證明設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），

G點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為（x0，y0），

lAB：2px-（y1+y2）y+y1y2=0，

lCD：2px-（y3+y4）y+y3y4=0.

∵直線AB，CD過(guò)F點(diǎn)，

∴2px0-（y1+y2）y0+y1y2=0，①

2px0-（y3+y4）y0+y3y4=0，②

lAD：2px-（y1+y4）y+y1y4=0，

lBC：2px-（y2+y3）y+y2y3=0.

聯(lián)立得xP=（y1+y4）y2y3-（y2+y3）y1y42p（y2+y3-y1-y4），

yP=2p（y2y3-y1y4）y2+y3-y1-y4，

將①和②代入上面的解中可得

xP=2y0（y2y3-y1y4）-2px0（y2+y3-y1-y4）2p（y2+y3-y1-y4）

=y0pyP-x0，

∴P點(diǎn)軌跡方程為px-y0y+px0=0.

最后三道例題說(shuō)明：這種割線方程的使用在這里非常好用，原因在于它本身不光是割線的方程，還能夠直接地將過(guò)定點(diǎn)的幾何關(guān)系通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系快速表達(dá)出來(lái).

總結(jié)：表面上這三篇以定點(diǎn)為線索，實(shí)為在敘述拋物線點(diǎn)與線對(duì)偶問(wèn)題，這種對(duì)偶關(guān)系帶來(lái)了太多的精彩，而本文僅僅敘述了一些基礎(chǔ)內(nèi)容，實(shí)為遺憾，希望這些可以給讀者啟發(fā).