孔令鈺

【摘要】本文以橢圓為例，探討了橢圓在滿足一定條件下轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲線的情況，進而應(yīng)用類比的辦法對橢圓與雙曲線、等軸雙曲線與圓、拋物線與對頂拋物線的互變性進行了總結(jié)，得出了八個規(guī)律性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線

首先我們研究：A1A2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點的軌跡是什么？

證明如圖所示，設(shè)P1（acosθ，bsinθ），則P2（acosθ，-bsinθ），所以直線A1P1，A2P2的方程分別為y=bsinθacosθ+a·（x+a），y=-bsinθacosθ-a·（x-a）.

該兩方程消去θ，即得直線A1P1與A2P2的交點的軌跡是x2a2-y2b2=1（a>b>0）.由此可得如下性質(zhì)：

性質(zhì)1若A1A2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點的軌跡為x2a2-y2b2=1（a>b>0）.

運用類比的辦法，我們可以總結(jié)出如下圓錐曲線互變性的性質(zhì)：

性質(zhì)2若A1A2是圓x2+y2=a2（a>0）在x軸上的直徑，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點的軌跡為x2-y2=a2.

性質(zhì)3若A1A2是等軸雙曲線x2-y2=a2（a>0）的實軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點的軌跡為x2+y2=a2（a>0）.

性質(zhì)4若A1A2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的實軸，P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點的軌跡為x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）.

性質(zhì)5若A1是拋物線y2=2px（p>0）的頂點（另一個頂點A2在x軸上無窮遠(yuǎn)處），P1P2是與A1A2垂直的弦，則直線A1P1與A2P2的交點軌跡為y2=-2px（p>0）.

同理，若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點，P1P2是與F1F2垂直的弦，則可得出如下性質(zhì)：

性質(zhì)6若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點，P1P2是與F1F2垂直的弦，則直線P1F1與P2F2的交點的軌跡為x2c4a2-y2c2b2a2=1（a>b>0）.

由互變規(guī)律，對于雙曲線、拋物線也有如下性質(zhì)：

性質(zhì)7若F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩焦點，P1P2是與F1F2垂直的弦，則直線P1F1與P2F2的交點的軌跡為x2c4a2+y2c2b2a2=1（a>0，b>0）.

性質(zhì)8若拋物線y2=2px（p>0）的焦點為FP2，0，P1P2是垂直于對稱軸的弦，則過P1與x軸平行的直線和P2F的交點軌跡為y2=-2p（x-p）（p>0）.

我們通過對橢圓與雙曲線、等軸雙曲線（雙曲線的特殊形式）與圓（橢圓的特殊形式）、拋物線與對頂拋物線在滿足一定條件下的互變規(guī)律，探尋出解決這類問題的一種方法.

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