簡化積分計算的一類方法

陳丹丹

在《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)中，很多人會被一些積分難題困擾.本文就探討了一類簡化積分計算的方法，利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化積分計算.

1 利用積分區(qū)間對稱性和被積函數(shù)奇偶性簡化定積分計算

根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)，可以利用牛頓—萊布尼茲公式：如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的任意一個原函數(shù)，則有f(x)dx=F(b)-F(a).

換元積分法和分部積分法也是求定積分的基本方法.我們在研究定積分的計算方法的過程中，發(fā)現(xiàn)利用積分的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性是簡化定積分計算的一個重要方法，對此我們有如下定理：

定理1 設(shè)f(x)在[-a,a]上連續(xù)，若f(x)為偶函數(shù)，則

2 利用積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)奇偶性簡化二重積分計算

二重積分的計算方法是根據(jù)計算體積的原理，將它化為累次積分來計算的，因此，定積分中利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算積分的方法，也可推廣到二重積分上.

定理2 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積，

同理也可以推出D關(guān)于y軸和關(guān)于x軸y軸對稱結(jié)論.

由該方法可以減少累次積分的計算量，使一些看上去復(fù)雜的積分問題簡單化，為利用對稱性,有時需將被積函數(shù)分拆分，將積分區(qū)域分成若干個對稱子區(qū)域.

例 2 設(shè) D 是平面上以 A（1，1），B（-1，1）和 C（-1，-1）為頂點的三角形，D1是它的第一象限部分，則

解 如圖所示：連接BO，把 D 分成 D'1∪D2，D'1即三角形 AOB，D2即三角形COB.由于D'1關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xy關(guān)于x為奇函數(shù)；關(guān)于x軸對稱，xy關(guān)于y為奇函數(shù).

而D'1關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)cosxsiny關(guān)于x軸為偶函數(shù)，D2關(guān)于x軸對cosxsiny關(guān)于y為奇函數(shù).所以

3 利用積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)奇偶性簡化三重積分計算

三重積分相對復(fù)雜，也可以利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性來簡化積分計算，并且該方法也是計算三重積分的一個重要方法，其規(guī)律如下：

定理3 設(shè)f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，若Ω關(guān)于平面xoy對稱，則當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)是z的奇函數(shù)，即f(x,y,-z)=-f(x,y,z)時，有；當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)是z的偶函數(shù)，即f(x,y,-z)=f(x,y,z)時，有f(x,y,z)dv；其中Ω1是Ω內(nèi)z≥0的部分.同理可以得出Ω關(guān)于平面xoz對稱和關(guān)于平面yoz對稱的結(jié)論.

三重積分的計算，一般來說都需要計算多步，有的被積函數(shù)甚至比較繁，但如果能用上“對稱性”，則可能會收到意想不到的效果，但在利用“對稱性”的同時，也不能忽略被積函數(shù)的奇偶性.

4 利用積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)奇偶性簡化曲線積分計算

曲線積分和曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的另一重要內(nèi)容.同樣可以利用區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性來簡化它們的計算.

定理4 設(shè)f(x,y)是定義在光滑或分段光滑的曲線L上

的連續(xù)函數(shù).若曲線L關(guān)于x軸對稱,則 ∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,當(dāng)f(x,y)關(guān)于y是偶函數(shù)，L∫f(x,y)ds=0,當(dāng)f(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù)，其中L1是L在y≥0的那段曲線,即L1是L在上半平面的部分.

同理可以得出L關(guān)于y軸對稱和關(guān)于原點對稱的結(jié)論.

解 由于xy關(guān)于x(或y)為奇函數(shù),且橢圓L關(guān)于y軸(x軸)是對稱的,所以L∮xydx=0,只需計算L∮(3x2+4y2)ds.又由于橢圓L可表示為3x2+4y2=12,所以有L∮(2xy+3x2+4y2)ds=(3x2+4y2)ds=12L∮ds=12a.

可見,利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性也可簡化第一類曲線積分的計算.類似于第一類曲線積分，第二類曲線積分也有如下一些性質(zhì)：

若L∫Pidx+Qidy(i=1,2,…,k)存在，則也存在，且Qidy)，其中 ci(i=1,2,…,k)為常數(shù).

若有向曲線L是有向曲線L1,L2,…,Lk，首尾相接而成，且Pdx+Qdy(i=1,2,…,k)存在，則 ∫LPdx+Qdy也存在，且 ∫LPdx+Qdy=

同樣可以利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化第二類曲線積分的計算.

定理5 設(shè)L為平面上分段光滑的定向曲線,P(x,y),Q(x,y)連續(xù),

（1）若L關(guān)于x軸對稱,并且L1為L在上半平面的部分，

則

∫LPdx=0,當(dāng)P關(guān)于y為偶函數(shù),∫LPdx=2∫L1Pdx,當(dāng) P 關(guān)于y為奇函數(shù);

∫LQdy=0,當(dāng)Q關(guān)于y為奇函數(shù),∫LQdy=2∫L1Qdy,當(dāng)Q關(guān)于y為偶函數(shù)；

同理可以得出L關(guān)于y軸對稱和關(guān)于原點對稱的結(jié)論.

（3）若L關(guān)于原點對稱,則L∫Pdx+Qdy=0,當(dāng)P,Q關(guān)于(x,y)為偶函數(shù),∫LPdx+Qdy=2∫L3Pdx+Qdy,當(dāng)P,Q關(guān)于(x,y)為奇函數(shù).

解法1 將原式分為兩部分

因第一個積分曲線關(guān)于x軸對稱,且走向相反,被積函數(shù)為y的偶函數(shù),第二個積分曲線關(guān)于y軸對稱,且走向相反,被積函數(shù)為x的偶函數(shù),所以兩積分值均為0,即

解法2 因曲線ABCDA關(guān)于原點對稱,又P(x,y)=Q(x,y)關(guān)于(x,y)為偶函數(shù)，所以原式=0.

5 利用積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)奇偶性簡化曲面積分計算

曲面積分分為第一類曲面積分和第二類曲面積分，第一類曲面積分的性質(zhì)完全類似于第一類曲線積分的性質(zhì).第一類曲面積分利用對稱性有如下定理.

定理6（1）若分片光滑的曲面∑關(guān)于xoy平面對稱，且∑1：z=z(x,y)≥0,則

同理可以得出分片光滑的曲面∑關(guān)于xoz平面對稱和曲面∑關(guān)于yoz平面對稱的結(jié)論.

解 因為∑關(guān)于xoy平面對稱,且sinxsinysinz是z的奇函數(shù),所以sinxsinysinzds=0.

第二類曲面積分的性質(zhì)也完全類似于第二類曲線積分的性質(zhì)，且第二類曲面積分奇偶對稱性的說法與第一類曲面積分有所不同，在積分曲面關(guān)于某坐標(biāo)面(例如yoz面)對稱的前提下,第一類曲面積分的說法是:被積函數(shù)(關(guān)于x)為奇函數(shù)時積分值為0;而第二類曲面積分的說法是:被積函數(shù)(關(guān)于x)為偶函數(shù)時積分值為0.

定理7 設(shè)分塊光滑定向曲面∑關(guān)于xoy平面對稱，f(x,y,z)在∑上連續(xù),則f(x,y,z)dxdy=0,當(dāng)f關(guān)于z為偶函數(shù),f(x,y,z)dxdy=2f(x,y,z)dxdy,當(dāng)f關(guān)于z為奇函數(shù)，其中∑1為∑在xoy平面上方部分,其方程為z=z(x,y),(x,y)∈Dxy.

同理可以得出分片光滑的曲面∑關(guān)于xoz平面對稱和曲面∑關(guān)于yoz平面對稱的結(jié)論.

證明 由第二類曲面積分的可加性，有

其中∑1為∑在xoy平面上方部分，其方程為z=z(x,y),(x,y)∈Dxy，∑1'為∑在xoy平面下方部分，其方程為z=-z(x,y),(x,y)Dxy.

由分塊光滑定向曲面∑關(guān)于xoy平面對稱可知：

若f(x,y,z)關(guān)于z為奇函數(shù)，

則

由于x2+y2+x2≤1,關(guān)于平面y=0對稱,siny為y的奇函數(shù),故

6 結(jié)束語

綜上所述，利用此方法簡化此類積分的計算，但具體使用上有所不同.在二重積分，三重積分的計算中，是利用積分區(qū)間的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性來簡化計算.在第一類曲面積分中，若積分區(qū)間內(nèi)關(guān)于某坐標(biāo)平面對稱，而被積函數(shù)是另一變元的奇函數(shù)，則其積分值為0.在第二類曲面積分，若積分曲面關(guān)于其面積元素兩個同名變元的坐標(biāo)平面對稱，而被積函數(shù)又是另一變元的偶函數(shù)，則其積分值為0.如果能合理有效地運用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性來簡化此類積分的計算，那么解決許多之前似乎不易解決的問題就會變得又快又準(zhǔn)確.