平面變形回彈迭代補(bǔ)償?shù)氖諗繙?zhǔn)則及應(yīng)用

馬 瑞 王春鴿 趙 軍 翟瑞雪

1.先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（燕山大學(xué)），秦皇島，066004 2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004 3.浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院機(jī)電與能源工程學(xué)院，寧波，315100

0 引言

板料成形過程中彈性變形的存在，導(dǎo)致回彈不可避免，而板料成形領(lǐng)域的學(xué)者對(duì)回彈問題的研究也從未止步。為了實(shí)現(xiàn)回彈的有效控制，工程上一般采用工藝控制和模面補(bǔ)償控制兩種方法。工藝控制法是通過調(diào)節(jié)壓邊力、凸模行程等參數(shù)［1?2］，改變加載方式［3?4］，增加成形步驟［5?6］，提高成形溫度［7?8］等方式控制回彈，將其限制在工程允許范圍內(nèi)。工藝控制可以在一定程度上減小回彈，但不能徹底消除。因此，對(duì)于高精度要求的沖壓件，需根據(jù)預(yù)測(cè)值在回彈反方向?qū)δＣ媸┘右欢ㄑa(bǔ)償量，使回彈后工件滿足設(shè)計(jì)要求，此即為模面補(bǔ)償控制法。

工程應(yīng)用中多是通過反復(fù)試壓和修模，不斷改變補(bǔ)償量，這種方式難以確定補(bǔ)償量和補(bǔ)償方向，需花費(fèi)大量的人力和物力。伴隨計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，基于數(shù)值模擬分析的半解析有限元法大大提高了回彈控制的補(bǔ)償效率。針對(duì)回彈補(bǔ)償算法的研究中，應(yīng)力表述法（force descriptor meth?od，F(xiàn)DM）［9?10］和位移調(diào)整法（displacement adjust?ment method，DA）［11］得到學(xué)者的廣泛認(rèn)可。以此為基礎(chǔ)，為了優(yōu)化補(bǔ)償方向、光順補(bǔ)償曲面和提高迭代速度，許多改進(jìn)的補(bǔ)償算法被陸續(xù)提出，如SDA（smooth displacement adjustment）算 法［12］、AC（accelerated compensation）算 法［13］、SGD（shape global deformation）算法［14］、CC（compre?hensive compensation）算法［15?16］、E-DA（enhanced displacement adjustment）算 法［17］、DCA（discrete curvature adjustment）算 法［18］、CATIA-SGCS（CATIA springback geometry compensation sys?tem）系統(tǒng)［19］以及 SEC（sheet elements compensa?tion）算法［20］等。

上述改進(jìn)的FDM算法或DA算法均基于有限元法，將模面單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力或坐標(biāo)作為迭代參量，并引入補(bǔ)償因子進(jìn)行回彈控制。有限元法是公認(rèn)的解決工程問題的有效方法，但是其精度依賴于材料模型、單元類型、邊界條件等參數(shù)的選擇，存在反復(fù)試錯(cuò)、因人而異的現(xiàn)象，而且采用補(bǔ)償因子進(jìn)行定量和定向補(bǔ)償，無(wú)法保證控制參數(shù)的收斂性。理論解析可以對(duì)迭代參量的變化趨勢(shì)進(jìn)行有效分析，但仍無(wú)法建立精確計(jì)算模型。此外，借助物理試驗(yàn)可以確定當(dāng)前步迭代參量與目標(biāo)值的誤差，卻無(wú)法確定下一步的補(bǔ)償量。為此，本文從數(shù)學(xué)分析的角度提出了迭代補(bǔ)償算法，建立了迭代參量收斂性的判定準(zhǔn)則，對(duì)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下和V形自由彎曲工藝中控制參量的收斂性進(jìn)行了解析證明，并通過寬板V形彎曲實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了迭代補(bǔ)償應(yīng)用研究。

1 基于簡(jiǎn)單迭代法的迭代補(bǔ)償機(jī)制

1.1 簡(jiǎn)單迭代法的引入

在討論影響回彈的因素時(shí)，王允禧［21］明確指出，“彎曲中心角α愈大，則變形區(qū)的長(zhǎng)度愈大，彈復(fù)積累也愈大，故彈復(fù)角Δφ也愈大”。肖景容等［22］也強(qiáng)調(diào)，“彎曲角α愈大，則在總變形中的彈性變形所占的比例會(huì)相應(yīng)增大，回彈值Δα也愈大”。此外，由圖1所示的彈塑性變形回彈過程中的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可知，較大等效應(yīng)變量εˉ2產(chǎn)生的回彈量明顯大于較小等效應(yīng)變量 εˉ1產(chǎn)生的回彈量因此，對(duì)于普通金屬材料，在變形條件不改變的前提下，變形量越大，回彈量越大，這也是本文的理論基礎(chǔ)。

圖1 回彈過程中的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.1 Equivalent stress-strain curve in elastic-plastic deformation and springback process

設(shè)x為控制參量回彈前的值，f(x)為控制參量回彈前后的函數(shù)關(guān)系，則回彈量可以表示為

根據(jù)上述理論基礎(chǔ)，如果Δ(x)為單調(diào)增函數(shù)，即Δ′(x)＞ 0，則有

回彈控制的目的是確定一個(gè)回彈前的值a，使其回彈后為ap，也就是求解方程

為此，引入簡(jiǎn)單迭代法［23］，按照其求根思想，構(gòu)造迭代方程

又由式（2）可知

由簡(jiǎn)單迭代法的局部收斂定理可知，迭代方程（4）是收斂的，即存在x*滿足x*=φ(x*)。如圖2所示，取初值為ap，按照迭代方程得到迭代序列：

對(duì)于預(yù)先設(shè)定的誤差e，當(dāng) |xk-xk-1|≤e時(shí)，認(rèn)為x*≈xk，同時(shí)有f(x*)-ap=0，即為所求。

對(duì)于回彈控制問題，構(gòu)造回彈前后參量的關(guān)系函數(shù)y=f(x)，若滿足f′(x)＜ 1，則可以采用迭代補(bǔ)償法使控制參量收斂到目標(biāo)值。因此，對(duì)于回彈問題的補(bǔ)償計(jì)算，f′(x)＜1可作為所選參量收斂性的判定準(zhǔn)則，且此種收斂方式適用于彎曲回彈后變小的參量，如曲率K、彎曲角α。

目前所有回彈問題的理論解析方法皆不能建立精確計(jì)算模型，但理論解析對(duì)參量變化趨勢(shì)的預(yù)測(cè)是可信的；試驗(yàn)方法雖然能給出與目標(biāo)量的誤差，但沒有理論指導(dǎo)確定下一步的補(bǔ)償量。本文的迭代補(bǔ)償是基于理論解析f′(x)＜1判定迭代收斂，再基于每次試驗(yàn)的回彈量確定下一次的補(bǔ)償量。

1.2 回彈控制的迭代補(bǔ)償機(jī)制

對(duì)于一般的回彈問題，難以建立1.1節(jié)中回彈前后參量值的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)，因此，本文基于簡(jiǎn)單迭代法建立了通用回彈問題的迭代補(bǔ)償算法。回彈控制的迭代補(bǔ)償機(jī)制描述如下：對(duì)于一般沖壓工藝的回彈問題，確定一個(gè)工藝參數(shù)，該值具有回彈后值比回彈前值小的特點(diǎn)，并能夠根據(jù)局部收斂定理證明其迭代收斂性，即可基于迭代補(bǔ)償算法，對(duì)該參量按照一定的精度要求進(jìn)行有限次補(bǔ)償操作，使其逐漸逼近所需目標(biāo)值。

如圖3所示，確定迭代工藝參數(shù)的收斂性后，欲使工件回彈后的參數(shù)值為ap，確定回彈前的值（即模面形狀參數(shù)a）的迭代法流程如下：

（1）準(zhǔn)備。確定初值，一般選為目標(biāo)值x0=ap。

（2）迭代。進(jìn)行工藝操作，獲得回彈后值x1。

（3）控制。檢查x1-ap：若 |x1-ap|≤ e（e為預(yù)先指定的成形件尺寸精度），則終止迭代，且有a=x0；否則，將 | x1-ap|作為補(bǔ)償量，令x0=x1+ | x1-ap|，轉(zhuǎn)步驟（2），繼續(xù)迭代。

（4）輸出。當(dāng) | x1-ap|≤e時(shí)終止迭代，a=x0，即最終模面參數(shù)值。

圖3 回彈控制的迭代補(bǔ)償流程圖Fig.3 Iterative compensation process for springback control

上述補(bǔ)償流程表明，運(yùn)用迭代補(bǔ)償機(jī)制可以從數(shù)學(xué)分析的角度對(duì)回彈問題補(bǔ)償控制的正確性提供理論依據(jù)。同時(shí)，基于迭代補(bǔ)償機(jī)制，根據(jù)每次試驗(yàn)的回彈量可以預(yù)測(cè)下一次補(bǔ)償值，提高收斂速度。而且，對(duì)于同一材料的同一成形工藝，該補(bǔ)償值只取決于迭代參量回彈前后的差值，因此，該機(jī)制的通用性很高。

2 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的迭代收斂性證明

簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下，假設(shè)材料符合雙線性硬化模型為

式中，σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E為彈性模量；D為塑性切線模量；σS為屈服極限。

2.1 平板單向拉伸

受單向拉伸的平板見圖4，整個(gè)工件處于單向應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)平板的初始長(zhǎng)度為l0，加載結(jié)束后長(zhǎng)度為l，卸載后長(zhǎng)度為l′，σT為拉伸結(jié)束時(shí)的截面應(yīng)力。

圖4 平板單向拉伸Fig.4 Flat uniaxial stretching

由雙線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式可知，截面應(yīng)變

卸載后板料長(zhǎng)度

對(duì)上式求導(dǎo)，可得

即

由式（2）所示回彈問題迭代參量收斂性的判定準(zhǔn)則可知，板材單向彈塑性拉伸變形中，軸向長(zhǎng)度可作為迭代控制參數(shù)進(jìn)行回彈控制。

2.2 平板雙向拉伸

受雙向拉伸的平板處于平面應(yīng)力狀態(tài)見圖5。假設(shè)加載方式為簡(jiǎn)單加載，σ1方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向，初始長(zhǎng)度為l10，加載結(jié)束后長(zhǎng)度為l1，卸載后長(zhǎng)度為l′1；σ2方向?yàn)榇螒?yīng)力方向，初始長(zhǎng)度為l20，加載結(jié)束后長(zhǎng)度為l2，卸載后長(zhǎng)度為l′2。

圖5 平板雙向拉伸Fig.5 Flat biaxial stretching

定義α和β分別為應(yīng)力比和應(yīng)變比，且滿足

其中，σ1為主應(yīng)力，σ2為次應(yīng)力，ε1為主應(yīng)變，ε2為次應(yīng)變。顯然，α＜1，β＜1。

又由真實(shí)應(yīng)變（對(duì)數(shù)應(yīng)變）定義可知

根據(jù)經(jīng)典卸載理論，卸載回彈部分的應(yīng)變

又由廣義胡克定律可知

式中，υ為泊松比。

根據(jù)體積不變條件，等效應(yīng)變?chǔ)拧ズ蜌堄嗟刃?yīng)變 εˉ′可分別表示為

又由雙線性材料模型可知，等效應(yīng)力應(yīng)變滿足

令

則有

在 一 般 的 塑 形 變 形 中 ，因 為 ε1? Δε1，ε1? Δε2，所以

對(duì)于一般金屬材料，E?D，故(1-D E)2≈ 1，所以

由式（2）所示回彈問題迭代參量收斂性的判定準(zhǔn)則可知，x向軸向長(zhǎng)度可作為迭代控制參數(shù)進(jìn)行回彈控制。同理，選取y向長(zhǎng)度也可以證明軸向長(zhǎng)度的收斂性。因此，在板材雙向彈塑性拉伸變形中，軸向長(zhǎng)度對(duì)于迭代補(bǔ)償機(jī)制具有收斂性，可以進(jìn)行補(bǔ)償計(jì)算。

3 V形自由彎曲的迭代收斂性證明

矩形截面板在彎矩M的作用下發(fā)生自由彎曲，并在卸載后發(fā)生回彈，回彈前后的幾何關(guān)系見圖6?，F(xiàn)設(shè)定如下：彎曲后，板料中性層的彎曲半徑為ρ，曲率為K，彎曲角為α，彎角（即彎曲角的補(bǔ)交）為β；回彈后，板料中性層的彎曲半徑為ρp，曲率為Kp，彎曲角為 αp，彎角為 βp；回彈角為 Δα，曲率回彈量為ΔK。

顯然，在工程實(shí)際中,有：0 ＜ ρ＜ ρp，K=1 ρ，Kp=1 ρp，則0＜Kp＜K；π≥ α＞ αp≥ 0，β=π-α，βp=π-αp，故 0≤β＜βp≤π；Δα=

圖6 板料彎曲回彈前后的幾何關(guān)系Fig.6 Geometrical relationship before and after springback

彈塑性彎曲過程中，曲率回彈量［22］

其中，C、n均為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，通常由實(shí)驗(yàn)得出；t為板厚。將上式對(duì)K求導(dǎo)，可得

同時(shí)，彎曲角回彈量［22］

將上式對(duì)α求導(dǎo)，可得

由式（7）和式（9）可知，曲率和彎曲角滿足式（2）所示迭代參量收斂性的判定準(zhǔn)則。因此，在V形自由彎曲工藝中，板料曲率K和彎曲角α均可作為迭代控制參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償計(jì)算。

4 迭代補(bǔ)償機(jī)制的應(yīng)用研究

4.1 實(shí)驗(yàn)方案

為了研究迭代補(bǔ)償機(jī)制的應(yīng)用情況，對(duì)V形自由彎曲工藝分別進(jìn)行曲率迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)和彎曲角迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)＞甙惭b在WDD-LCT-150型電子拉扭組合多功能試驗(yàn)機(jī)上，其位移控制精度為0.01 mm。采用美國(guó)星科（CimCore）公司生產(chǎn)的3000iTM系列便攜式三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量彎曲板坯的形狀，測(cè)量精度為0.01 mm。

圖7a中，曲率迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)?zāi)＞咧饕缮夏?、下模和調(diào)整墊片組成，下模圓角半徑r2為25 mm，兩圓角中心距L為100 mm。彎曲上模有3個(gè)，半徑分別為60 mm、80 mm和113.33 mm。圖7a中墊片為平均厚度為0.08 mm的中硬鋁簿，與凸模組合，形成等效上模，實(shí)現(xiàn)彎曲半徑的微段變動(dòng)。彎曲角迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)?zāi)＞吲c曲率補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)共用一套下模，上模為半徑為33.33 mm的半圓形沖頭，見圖7b。

圖7 迭代補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)?zāi)＞逨ig.7 Iterative compensation experiment of V-free bending

實(shí)驗(yàn)板料為SS400鋼板，其幾何尺寸及材料性能參數(shù)見表1。實(shí)際上，本文提出的迭代補(bǔ)償機(jī)制不依賴材料特性，表1只是為了給出實(shí)驗(yàn)材料的相關(guān)信息。

表1 實(shí)驗(yàn)用SS400鋼板的幾何尺寸及材料性能參數(shù)Tab.1 Geometrical dimensions and material properties of SS400 steel sheet

曲率迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)包括以下兩組：①曲率收斂性證明實(shí)驗(yàn)。采用“彎曲模+墊片”組合，得到彎曲半徑ρ分別為60 mm、68 mm、80 mm、90 mm和113.33 mm的“等效上模”，對(duì)板坯進(jìn)行加載，并對(duì)回彈前后的彎曲曲率進(jìn)行測(cè)量統(tǒng)計(jì)，分析其收斂性。②曲率迭代補(bǔ)償工藝實(shí)驗(yàn)。確定誤差精度為0.1%，按照上文提出的迭代補(bǔ)償算法，分別進(jìn)行目標(biāo)彎曲半徑ρd為70 mm和95 mm的迭代補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。為了便于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量，試驗(yàn)過程中對(duì)彎曲半徑ρ進(jìn)行控制和測(cè)量，并換算為曲率K后進(jìn)行分析計(jì)算。

與曲率迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)類似，彎曲角迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)包括以下兩組：①?gòu)澢鞘諗啃宰C明實(shí)驗(yàn)。通過控制上模壓下量對(duì)板坯進(jìn)行多組彎曲實(shí)驗(yàn)，然后對(duì)回彈前后彎曲角進(jìn)行測(cè)量統(tǒng)計(jì)，分析其收斂性。②彎曲角迭代補(bǔ)償工藝實(shí)驗(yàn)。目標(biāo)彎曲角αd分別為30°和60°，誤差不大于0.5%。V形自由彎曲過程中，上模與板坯接觸的包覆角被近似為彎曲角。因此，由板坯彎曲過程中的幾何關(guān)系確定的上模壓下量S與彎曲角α的關(guān)系為

4.2 曲率迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)板料進(jìn)行不同彎曲半徑的加載—卸載實(shí)驗(yàn)，見圖8，得到回彈前后的中心層曲率，見圖9。對(duì)板坯彎曲曲率K與回彈后曲率Kp進(jìn)行擬合，滿足關(guān)系式Kp=-5.5817K2+1.0419K+10-5。顯然，當(dāng)K＞0.003 75 mm-1時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)的曲率小于1，而且，K越大，斜率越小。因此，由迭代收參量斂性準(zhǔn)則可知，曲率可以作為迭代參數(shù)進(jìn)行回彈控制，這也與理論解析的結(jié)論一致。

對(duì)SS400鋼板分別進(jìn)行目標(biāo)彎曲半徑ρd為70 mm和95 mm的曲率補(bǔ)償工藝實(shí)驗(yàn)，對(duì)應(yīng)曲率分別為1.428 57×10-2mm-1和1.052 63×10-2mm-1，補(bǔ)償過程見表2。

圖8 曲率收斂性證明實(shí)驗(yàn)Fig.8 Proof experiment of curvature convergence

以目標(biāo)彎曲半徑ρd為70 mm為例，詳述其補(bǔ)償過程：

（1）確定補(bǔ)償精度為0.1%，即半徑補(bǔ)償誤差小于0.07 mm，曲率誤差小于1.43×10-5mm-1；

表2 曲率迭代補(bǔ)償計(jì)算Tab.2 Iterative compensation process of curvature in V-free bending

圖9 回彈前后的彎曲曲率關(guān)系Fig.9 Curvatures of bending parts in V-free bending before and after springback

（2）以目標(biāo)值作為迭代初值，首次彎曲上模的半徑ρ1=70.021mm，待板坯包覆上模后，卸載，測(cè)得回彈后彎曲半徑=73.072 mm；補(bǔ)償誤差為-Kd|=59.940×10-5mm-1，不滿足精度要求，需進(jìn)行第二次補(bǔ)償；確定二次彎曲曲率=K(2)+|-Kd|=1488.08 × 10-5mm-1。

通過3次補(bǔ)償，確定自由彎曲上模半徑為67.088 mm時(shí)，可獲得彎曲半徑為70 mm的彎曲件，誤差可控制在0.1%以內(nèi)。由表2可知，隨著補(bǔ)償次數(shù)的增加，補(bǔ)償誤差快速減小，迭代參數(shù)快速逼近目標(biāo)值。由此表明，對(duì)于自由彎曲工藝，可以將彎曲曲率作為迭代參量，通過有限次迭代補(bǔ)償確定上模尺寸，獲得滿足精度要求的成形件。

4.3 彎曲角迭代補(bǔ)償控制工藝實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

通過控制壓下量對(duì)SS400板坯進(jìn)行多組自由彎曲實(shí)驗(yàn)，對(duì)回彈前后的彎曲角數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果見圖10?；貜椙昂髲澢菨M足關(guān)系式αp=-0.0004α2+1.0122α-1.278。顯然，當(dāng)彎曲角大于20°時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)的斜率小于1。因此，彎曲角可以作為迭代參數(shù)進(jìn)行迭代補(bǔ)償控制。

圖10 回彈前后的彎曲角關(guān)系Fig.10 Bending angles of bending parts in V-free bending before and after springback

對(duì)SS400鋼板分別進(jìn)行目標(biāo)彎角αd為30°和60°的彎曲角迭代補(bǔ)償工藝實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)償過程見表3，其補(bǔ)償流程與曲率迭代補(bǔ)償工藝實(shí)驗(yàn)類似，不再贅述。由表3可以看出，經(jīng)過2～3次迭代補(bǔ)償，就能夠獲得目標(biāo)彎曲角，且誤差小于0.5%。由此表明，基于迭代補(bǔ)償算法的回彈控制方法，其回彈量的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償具有穩(wěn)定的收斂方向，且誤差可評(píng)估，是具有實(shí)用價(jià)值的有限次補(bǔ)償方法。

表3 彎曲角迭代補(bǔ)償計(jì)算Tab.3 Iteration compensation calculation of bending angle

5 結(jié)論

（1）基于簡(jiǎn)單迭代法，提出了平面變形回彈控制的迭代補(bǔ)償機(jī)制，該機(jī)制不依賴于材料性能和力學(xué)模型，更具有實(shí)用價(jià)值。

（2）基于迭代補(bǔ)償機(jī)制，建立了迭代參量收斂性證明的判定準(zhǔn)則，并理論證明了簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下，軸向長(zhǎng)度可以作為迭代參量進(jìn)行回彈補(bǔ)償控制。

（3）依據(jù)迭代參量收斂性判定準(zhǔn)則，理論證明了V形自由彎曲工藝中曲率和彎曲角的迭代收斂性，對(duì)回彈控制問題中模具修正方法的正確性提供了本質(zhì)的理論依據(jù)，并完善了實(shí)際操作的理論基礎(chǔ)。

（4）將迭代補(bǔ)償機(jī)制用于V形彎曲回彈控制，經(jīng)2～3次迭代，即可獲得誤差小于0.1%的目標(biāo)曲率和誤差小于0.5%的目標(biāo)彎曲角，收斂速度很快。