MURC 視域下圓形面積求解方法的教學(xué)程序設(shè)計(jì)陸有海

陸有海

一、激活方形面積問題的求解經(jīng)驗(yàn)，引出圓形面積的求解問題

1．什么是面積？

物體表面或幾何圖形的大小。

2．長方形面積問題是怎樣求解的？

面積問題求解的基本途徑就是用面積單位進(jìn)行直接測量。但是，在實(shí)際測量過程中，會遇到不可直接測量的情況，從而，促使人們?nèi)ヌ剿髦苯訙y量面積以外的可行方法。除了直接測量面積以外，人們發(fā)現(xiàn)了長方形長與寬的乘積與面積的關(guān)系，因此，人們通過測量長方形的長與寬來求解長方形的面積問題。如，長方形的水塘就必須通過測量水塘的長與寬來求水塘的面積。

（1）用面積單位直接測量長方形的面積（測量）。

（2）通過測量長與寬間接測量長方形的面積（測量+計(jì)算）。

3．其他方形面積問題是怎樣求的？

在長方形面積求解基礎(chǔ)上，其他圖形面積問題的求解途徑，除了直接測量和直接探索解決以外，還可以借助事物之間的關(guān)系來求解。

（1）第一種求解思路：（直接測量）直接用面積單位進(jìn)行測量。顯然，長方形面積的直接測量，只要面積單位適當(dāng)，測量比較方便。但是，其他圖形并沒有長方形這種方方正正的規(guī)范性，因此，直接測量會或多或少遇到“不完整”的問題。

（2）第二種求解思路：（局部割補(bǔ)）局部割補(bǔ)化解直接測量問題，完成直接測量任務(wù)。盡管直接測量不能直接解決其他圖形的面積測量問題，但是在問題求解過程中，這是必需的過程。只有經(jīng)歷這個(gè)過程，才能自然地發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法（局部割補(bǔ)）。顯然，這種局部割補(bǔ)方法具有多樣性，在問題的求解過程中，我們還必須充分展示這種“充分性”。

（3）第三種求解思路：（整體割補(bǔ)）整體割補(bǔ)是局部割補(bǔ)的一種特殊割補(bǔ)方法，為其他圖形面積問題的轉(zhuǎn)化提供重要的手段。整體割補(bǔ)方法的出現(xiàn)基于充分的局部割補(bǔ)，但是它為超越局部割補(bǔ)創(chuàng)新方法奠定了基礎(chǔ)。局部割補(bǔ)解決直接測量的問題，整體割補(bǔ)提高了直接測量問題解決的效率，并且，直接將圖形轉(zhuǎn)化成了已知求解問題方法的圖形。顯然，不同的圖形，整體割補(bǔ)法具有多樣性與差異性。

（4）第四種求解思路：（割補(bǔ)化歸）整體割補(bǔ)的成功（事實(shí)上）就是問題化歸的成功。這種成功為化歸前后進(jìn)行觀察比較提供了材料與對象，為發(fā)現(xiàn)圖形面積的本質(zhì)問題奠定了基礎(chǔ)。

如，平行四邊形面積與平行四邊形的底與高的乘積相聯(lián)系；三角形面積與三角形的底與高的乘積的一半相聯(lián)系；梯形面積與梯形的上底、下底、高之間存在直接的聯(lián)系。

從視覺上看，面積大小與物體表面（圖形）的大小有關(guān)。從本質(zhì)上看，面積大小與物體表面的特征量數(shù)及相互之間的聯(lián)系直接相關(guān)。因此，圖形（方形）面積由其自身圖形的特征量數(shù)及其相互關(guān)系所決定。因此，在探索未知圖形面積問題時(shí)，我們需要探尋與面積相關(guān)的特征量數(shù)，以及它們與面積之間的關(guān)系。這是面積問題教學(xué)的核心與目標(biāo)，也是方形面積教學(xué)活動需要積累的基本活動經(jīng)驗(yàn)。圓形面積問題求解的教學(xué)活動就是在這種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的引領(lǐng)下起步的。

（5）第五種求解思路：（直接計(jì)算）直接計(jì)算公式來自于圖形的割補(bǔ)化歸與推導(dǎo)。直接計(jì)算的公式包括：這些圖形面積的計(jì)算，必須基于圖形自身特征量數(shù)。

二、探尋圖形面積問題的求解方法

1．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)途徑。

實(shí)驗(yàn)是指實(shí)際驗(yàn)證圖形（面積）自身具有的各種特征量數(shù)之間關(guān)系的存在性的操作、觀察、猜測、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動。

圓形面積的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，首先要理清相關(guān)的特征量數(shù)（圓的周長、圓的半徑、圓的直徑），事實(shí)上，決定圓的面積大小的特征量數(shù)就是圓的半徑。因?yàn)?，在圓的認(rèn)識中，已經(jīng)知道圓的半徑?jīng)Q定圓的大?。ò霃?jīng)Q定了直徑，半徑?jīng)Q定了周長）。也就是說，影響圓形面積的關(guān)鍵因素事實(shí)上就只有一個(gè)，那就是圓形的半徑。因此，我們只需研究圓形面積與圓形半徑之間的關(guān)系。

表1：半徑分別為1、2、3、4的圓的面積的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（測量結(jié)果）

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研究圓的面積的實(shí)驗(yàn)，我們總是選取可以測量面積與半徑的圓形進(jìn)行研究，而圓形的面積用直接測量來獲得準(zhǔn)確的數(shù)值似乎是不可能的，因此，關(guān)于圓形面積與圓形半徑的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)似乎存在著較大的困難。事實(shí)上，我們也只能發(fā)現(xiàn)一個(gè)近似的關(guān)系。盡管發(fā)現(xiàn)的是近似關(guān)系，但是也不能否定這種實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)價(jià)值。

通過實(shí)驗(yàn)我們借助估計(jì)分別獲得了不同半徑下的圓形面積的估計(jì)值，如表1所示，估計(jì)結(jié)果與半徑的關(guān)系，在教師的引導(dǎo)下，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)大致的關(guān)系：S圓形≈3r2。

圓形的特征決定了我們的實(shí)驗(yàn)不可能獲得完全準(zhǔn)確的圓形面積與圓形半徑之間的關(guān)系。

類似于圓的周長的實(shí)驗(yàn)方法來解決圓的面積問題，當(dāng)然，也可以用更小的單位（方格）來計(jì)量，會使估計(jì)值更逼近精確值，但是，這種實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差還是不能忽略。

2．問題化歸途徑。

將圓形面積的求解當(dāng)作一個(gè)問題，解決問題的總體策略，或?yàn)橹苯忧蠼猓▽?shí)驗(yàn)法就是一種直接求解的方法），或?yàn)榛瘹w求解（將未知問題轉(zhuǎn)化為可求解的問題）。

化歸策略求解圓形面積問題，需要理清兩件事：一是求解的問題是什么？二是求解問題可以化歸的對象問題是什么？

在圓面積求解問題中，求解的問題：一個(gè)直徑（半徑）為d的圓形面積是多少？求解問題可以化歸的對象問題：已知長與寬的長方形面積、已知邊長的正方形面積、已知底與高的平行四邊形面積或三角形面積、已知上底與下底及高的梯形面積。

因此，問題化歸求一個(gè)已知直徑或半徑的圓形面積問題，重要的事情在于：確定化歸的基本對象與探尋化歸的有效方法。

怎樣才能確定化歸的基本對象？怎樣才能探尋化歸的有效方法？思路與邏輯主要還是產(chǎn)生于方形面積的求解經(jīng)驗(yàn)。

方形面積求解經(jīng)驗(yàn)主要有：用最基本的測量方法直接度量；局部割補(bǔ)再進(jìn)行直接度量；將圖形割補(bǔ)化歸。因此，圓形面積問題的求解將在這些經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來展開。

圖1：度量圓形面積

（1）到定義，嘗試度量求解——積聚探索動力。

面積是指平面圖形的大小，即含有多少個(gè)面積單位。根據(jù)圖形的實(shí)際情況，我們可以選定適當(dāng)大小的面積單位來測量平面圖形的面積。圓形不是方形，無法直接度量面積，如圖1所示，要進(jìn)行割補(bǔ)也具有一定的困難。當(dāng)然，我們也可以嘗試取更小的面積單位，但是，面積單位太小，操作就顯得十分繁瑣。因此，我們已經(jīng)不太可能通過割補(bǔ)獲得準(zhǔn)確的圓形面積。但是，在這個(gè)直接度量的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，如圖1（右）所示，圓形面積與圓形的外切正方形面積之間的大致關(guān)系：圓形面積大約是圓形外接正方形面積的四分之三，即顯然，3r2＜S圓＜4r2。

根據(jù)圓形直徑與圓形周長之間的關(guān)系的探索經(jīng)驗(yàn)，我們也曾經(jīng)獲得到一個(gè)類似的關(guān)系，即3d＜l＜4d，最后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們有l(wèi)圓=dπ。因此，我們也必然會獲得一個(gè)有趣的猜測性結(jié)果：S圓=r2π。

（2）向科學(xué)，嘗試實(shí)驗(yàn)求解——體驗(yàn)無奈現(xiàn)實(shí)。

有了完美的猜想，需要有客觀實(shí)踐的支持。在科學(xué)研究中，“實(shí)驗(yàn)”是一種科學(xué)的研究方法。但是，實(shí)驗(yàn)就是要真實(shí)地通過測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，來發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證相關(guān)的猜測。因此，我們會進(jìn)一步去審視圓形面積與半徑之間的關(guān)系：S圓÷r2=？，進(jìn)一步去探尋圓形面積的有效測量方法。但是，鑒于曲直之間難以通過有效割補(bǔ)的方法來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換，我們已經(jīng)處于山前無路的窘境了。

（3）主回家，嘗試方法創(chuàng)新——體驗(yàn)奇妙數(shù)學(xué)。

“窘境”在于用較大的面積單位測量精確度不高，“窘境”也在于用較小的面積單位測量數(shù)量太多，“窘境”還在于較大與較小面積單位混合測量的結(jié)果沒有什么規(guī)律，而且大小不等的面積單位還不可以直接相加！也是說，“窘境”窘在無法逼近，無法疊加！

圖2：可逼近可疊加的面積分割方法

在圓形中，我們嘗試著進(jìn)行不同的分割。顯然，將其分割成平行四邊形與梯形不太可能（圓形是軸對稱圖形，平行四邊形不是軸對稱圖形）；將其分割成長方形與正方形也不能分割成若干個(gè)相同的長方形與正方形。不過，讓我們意想不到的驚喜卻是三角形，我們往往沒有想到，圓形可以分割成若干個(gè)相同的等腰三角形；當(dāng)分割的份數(shù)不斷地增多時(shí)，若干個(gè)三角形的面積之和可以不斷地接近圓形面積。這樣，完全滿足可以逼近，還可以疊加求和的要求。這樣，等腰三角形就成為一種測量圓形面積的“專用”單位。

設(shè)三角形△B1B2O 的高為 hi，底為 ai，則

設(shè)將圓形平均分割成n份，則可以構(gòu)造出n個(gè)等腰三角形，則n個(gè)等腰三角形面積的和為

顯然，當(dāng)圓形分割的份數(shù)不斷增多時(shí)，三角形底邊長與其對應(yīng)的圓弧長就會不斷地接近，三角形的高就越來越接近圓形半徑的長度。

因此，我們假設(shè)把圓形平均分割成無限多個(gè)近似的三角形，這時(shí)，所有等腰三角形底邊之和正好就是圓形的周長（nai=l），等腰三角形底上的高正好就是圓形的半徑（hi=r）。因此，圓形面積就是這些三角形面積的和，

（4）助經(jīng)驗(yàn)，化歸解決問題——感知多樣方法。

圖形面積化歸的基本思路，主要有三種情況：一是多個(gè)圖形拼成一個(gè)可以求解的圖形；二是將一個(gè)圖形分割成多個(gè)可以求解的圖形；三是將一個(gè)圖形割補(bǔ)（分割拼接）成一個(gè)可以求解的圖形。顯然，多個(gè)圓形是無法拼成一個(gè)可以求解的圖形的；一個(gè)圖形分割成多個(gè)可以求解的圖形，而且是多個(gè)相同的小三角形，這是一種很奇妙的思路；如圖3（左）所示，將圓形分割成8個(gè)相同的小三角形（小扇形），那么，理論上，它可以拼成長方形、三角形、平行四邊形、梯形等多種圖形。

圖3：圓形割拼成（類似）平行四邊形

如圖3所示，圓形割拼成了類似平行四邊形，當(dāng)分割的份數(shù)不斷地增多時(shí)，三角形底邊長與對應(yīng)的圓弧長就不斷接近。因此，圓形面積求解問題可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的求解問題。

因此，我們可以知道：圓的面積與半徑的大小直接相關(guān)，測量圓形面積的問題可以通過測量圓形半徑來解決。

三、重復(fù)訓(xùn)練鞏固數(shù)學(xué)知識，概括總結(jié)積累活動經(jīng)驗(yàn)

關(guān)于圓形面積的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就數(shù)學(xué)知識而言，圓形面積公式是一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識；根據(jù)相應(yīng)的條件求解面積公式中的相關(guān)的特征值是一個(gè)重要的基本技能；探索圓形面積公式所需的分割拼補(bǔ)、想象推理等化歸思想與推理思想是重要的數(shù)學(xué)思想；在圓形面積求解過程中，運(yùn)用測量、分割、拼擺、想象等數(shù)學(xué)方法求圓形面積問題，這種回家式思維、化歸式思想、無限式想象是重要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

1．形式化訓(xùn)練。

說一說面積的計(jì)算公式：S圓=r2π，其中，S表示圓的面積，r表示圓的半徑。

用一用面積的計(jì)算公式：已知圓的直徑或半徑或周長，求圓的面積。

2．實(shí)踐性訓(xùn)練。

（1）測量給定圖形的直徑（或半徑）長度，計(jì)算圓形的面積。

（2）測量給定圓形事物（柱子等）的周長，計(jì)算圓形的面積。

（3）解決日常生活中圓形建筑與圓形裝飾的用料面積。

3．發(fā)展性訓(xùn)練。

說一說圓形面積計(jì)算公式是怎樣的（數(shù)學(xué)知識）？說一說圓形面積計(jì)算公式是如何獲得的（數(shù)學(xué)過程）？說一說獲得圓形面積計(jì)算公式的體會是什么（數(shù)學(xué)體驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）？關(guān)于圓及圓的面積你還知道了什么（數(shù)學(xué)文化層面的拓展）？