巧連輔助線 事半而功倍

張 茜

一些較難的證明題往往需要添加輔助線才能證明，下面為同學(xué)們梳理五種常見輔助線的作法.

一、補全圖形

【例1】如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E.求證：BD=2CE.

圖2

【分析】要證明BD=2CE，就要找到與2CE相等的線段.這里BD⊥CE，且BD平分∠ABC，所以想到了補全圖形，構(gòu)造全等.

證明：如圖2，延長CE、BA交于點F，

易證Rt△BEC≌Rt△BEF（ASA），

∴CE=EF，∴CF=CE+EF=2CE.

∵∠ABD=∠FCA（同角的余角相等），

易證Rt△CAF≌Rt△BAD（ASA）.

∴BD=CF.

又∵CF=2CE，∴BD=2CE.

【說明】補全圖形，構(gòu)造出2CE，再利用三角形全等，證得結(jié)論.

二、倍長中線法構(gòu)造全等

三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍來構(gòu)造全等三角形是比較常用的解題思路.

【例2】如圖3，在△ABC中，∠A=90°，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF.試探索線段BE、CF及EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

圖3

圖4

【分析】此題中需要倍長FD，連接BG，達到了將△DFC繞點D旋轉(zhuǎn)180°的效果.再加上DE⊥DF，三線合一，故連接EG形成等腰△EGF.再證出△FDC≌△GDB后，將邊CF及∠C轉(zhuǎn)移到△EBG中，且易證∠EBG=90°，則可得證.

證明：如圖4，延長FD至點G，使得FD=DG，連接BG，EG.易證△FDC≌△GDB.

∵DE⊥DF，DF=DG，∴EG=EF.

易證∠EBG=90°，

∴BE2+BG2=EG2，即 BE2+CF2=EF2.

【說明】倍長中線法的解題思路，就是見到中點，將與中點連接的線段倍長，目的是通過幾何變換將分散的條件集中起來，所以說見到圖形某邊上的中點是我們利用倍長中線法的一個重要信號.

三、利用角平分線構(gòu)造全等

角平分線所在的直線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊.利用角平分線在角的兩邊截取相等的線段，或向兩邊作垂線，進而構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法.

【例3】已知，如圖5，AC平分∠BAD，CD=CB，AB＞AD.求證：∠B+∠ADC=180°.

圖5

圖6

【分析】因為AC是∠BAD的平分線，所以容易想到過點C向∠BAD的兩邊作垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題.本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用.

證明：如圖6，作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延長線于E，易證Rt△CDE≌Rt△CBF（HL）.

∴∠B=∠CDE.

∵∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠B+∠ADC=180°.

【說明】關(guān)于角平分線的問題，常見圖7、圖8的兩種輔助線.用好角平分線模型，根據(jù)軸對稱性構(gòu)造全等三角形是常見的一種題型，須熟練掌握.

圖7

圖8

四、作平行線

在三角形問題中遇到有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線，將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中，得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件.

【例4】如圖9，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC的延長線上截取CE，且使CE=BD，連接DE交BC于F.求證：DF=EF.

圖9

圖10

【分析】要證DF=EF，需要借助三角形全等，可以將CE平移至DG處，這樣的平移不僅構(gòu)造了全等三角形，而且形成了等腰△DBG.再證明△DGF≌△ECF即可.

證明：如圖10，過點D作DG//AC，交BC于點G.

∵AB=AC，DG//AC.

易證BD=DG，∴DG=CE.

又∵DG//AC，

∴∠GDE=∠CEF，∠DGF=∠FCE.

∴△DGF≌△ECF，∴DF=EF.

【說明】將分散的條件集中，可以采用“平移”變換的方法構(gòu)造全等三角形.

五、截長補短法

一般地，當(dāng)已知或所證結(jié)論中涉及線段的和、差及倍數(shù)關(guān)系，且這兩條線段不在同一條直線上時，通?？梢钥紤]用截長補短法，在長線段上截取一部分使之與短線段相等，或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

【例5】如圖11，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求證：CD=AD+BC.

圖11

圖12

圖13

【分析】要求證CD=AD+BC，可考慮“截長”，在CD上截取CF=CB，再證DF=DA，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題了.

證明：（截長法）如圖12，在CD上截取CF=CB，∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.

∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°.

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.

∴∠3=∠4.

∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA.

∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.

證明：（補短法）如圖13，延長DE交CB的延長線于點M.

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠M.

∵∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠M，∴CD=CM.

∵∠DCE=∠ECB，∴DE=EM，∴△ADE≌△BME（ASA）.

∴AD=BM，即CD=CM=AD+BC.

【分析】本題考查全等三角形常見輔助線的做法，截長法或補短法.

以上是全等三角形中，五種常見的輔助線作法.同學(xué)們，你們掌握了嗎？形成自己的解題習(xí)慣，擁有良好的解題基本功，不僅要掌握知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維能力，還要積累解題經(jīng)驗，才能在面對問題時迎刃而解.