“圓的面積”教學(xué)與思維能力培養(yǎng)

魏萬(wàn)茂

摘 要：“圓的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，它無(wú)論對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、想象能力、動(dòng)手操作能力都是很好的教材。特別是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力、轉(zhuǎn)化思維能力、極限思維能力等具有非常重要的作用。

關(guān)鍵詞：圓的面積；探究思維能力；轉(zhuǎn)化思維能力；極限思維能力

“圓的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，具有舉足輕重的地位和作用，它無(wú)論對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、想象能力、動(dòng)手操作能力都是很好的教材。這里就“圓的面積”教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)談些粗淺的看法，以便拋磚引玉。

一、探究思維能力的培養(yǎng)

在明確了“什么是圓的面積”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：圓的面積大小與什么因素有關(guān)？有什么樣的關(guān)系？

憑借日常生活經(jīng)驗(yàn)，第一個(gè)問(wèn)題不難回答，（無(wú)論是回答與半徑有關(guān)，與直徑有關(guān)，還是回答與周長(zhǎng)有關(guān)，歸根結(jié)底都是與半徑有關(guān)），對(duì)第二個(gè)問(wèn)題的回答就不是輕而易舉的，此時(shí)，教師應(yīng)緊緊抓住培養(yǎng)學(xué)生探究思維能力的契機(jī)，由淺入深，由易到難，逐步啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生深入探究：圓的面積大小與半徑有關(guān)，有什么樣的關(guān)系？

先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓的面積的范圍進(jìn)行粗略的界定：□<圓的面積<□

探究得出：內(nèi)接正方形的面積<圓的面積<外切正方形的面積 （參閱浙教版教材）

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然后，逐步“縮小包圍圈”，直到精確推導(dǎo)出圓的面積的計(jì)算公式。

具體的探究過(guò)程可以參閱下面轉(zhuǎn)化思維能力的培養(yǎng)和極限思維能力的培養(yǎng)，這里就不贅述。

二、轉(zhuǎn)化思維能力的培養(yǎng)

在引導(dǎo)學(xué)生深入探究“圓的面積”與半徑有什么樣的關(guān)系的過(guò)程中，不可避免地要用到轉(zhuǎn)化思想，下面談?wù)勣D(zhuǎn)化思維能力的培養(yǎng)。

《怎樣解題》的作者波利亞說(shuō)：“解題就意味著轉(zhuǎn)化，將尚未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題?！薄皥A的面積”就是我們期待解決的新問(wèn)題，新就新在以前學(xué)過(guò)的面積都是直線圖形的面積，“圓的面積”是曲線圖形的面積。能不能將曲線圖形的面積轉(zhuǎn)化為直線圖形的面積？怎樣將曲線圖形的面積轉(zhuǎn)化為直線圖形的面積？這正是需要我們解決的問(wèn)題。

在明確思路的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣將“圓的面積”轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的直線圖形的面積？這可以像青島版教材那樣，在探究圓的面積與圓內(nèi)接正方形和圓外切正方形的關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，把正方形增加為正8邊形、正16邊形、正32邊形……圓的面積與圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形的關(guān)系，得出結(jié)論：邊數(shù)越多，正多邊形的面積就越接近于圓的面積。當(dāng)然也可以反過(guò)來(lái)說(shuō)成：邊數(shù)越多，圓的面積就越接近于正多邊形的面積，這樣，圓的面積就轉(zhuǎn)化為正多邊形的面積，轉(zhuǎn)化為直線圖形的面積。

此時(shí)，圓被分割成無(wú)數(shù)個(gè)小扇形，如果把這些小扇形穿插、拼接起來(lái)，就會(huì)形成類似平行四邊形的形狀。分得越細(xì)，越接近于平行四邊形，當(dāng)分得無(wú)限細(xì)的時(shí)候，類平行四邊形就變成了平行四邊形、長(zhǎng)方形，圓的面積就轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形的面積。

當(dāng)然，圓的面積也可以轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的其他直線圖形的面積。這里就不再贅述。

三、極限思維能力的培養(yǎng)

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化思維的過(guò)程中，我們涉及了極限思維，下面談?wù)剺O限思維能力的培養(yǎng)。

在把“圓的面積”轉(zhuǎn)化為直線圖形面積的過(guò)程中，有一個(gè)重要的步驟，就是將圓分割、拼接。先是平均分割成8分，進(jìn)行穿插、拼接，得到類平行四邊形，但它并不是嚴(yán)格意義上的平行四邊形，因?yàn)樗倪呇厥遣ɡ诵蔚?，不是直的。再平均分?6等分，32等

分……進(jìn)行穿插、拼接，得到的四邊形越來(lái)越接近于平行四邊形，它的邊沿波浪越來(lái)越細(xì)，但它仍不是嚴(yán)格意義上的平行四邊形。

這時(shí)，就要不失時(shí)機(jī)地啟發(fā)學(xué)生的想象力：假如我們把圓分割得無(wú)限細(xì)，小扇形就變成了小三角形，穿插、拼接得到的四邊形的外沿就不再是波浪線，就變成了直線，這時(shí)的四邊形就變成平行四邊形、長(zhǎng)方形。這樣，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，由有限到無(wú)限，借助學(xué)生的想象能力，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的極限思維能力。