一道幾何題目中的構(gòu)造之談

摘要：幾何題目是數(shù)學(xué)中常見的題目類型，在解題時(shí)需要找出已知和未知等條件，通過輔助線的添加進(jìn)行合理構(gòu)造，以此解決問題。

關(guān)鍵詞：輔助線；構(gòu)造法；問題

有這樣一道考試題：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，∠BDC=30°，求證：AD=BC。

題目分析：題目背景是等腰三角形，已知角度證明線段的等量關(guān)系，容易聯(lián)想到等腰三角形的性質(zhì)。細(xì)數(shù)一下，“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)便首當(dāng)其沖，因此可以聯(lián)想到過點(diǎn)A作BC邊上的高線AE。繼而，根據(jù)30°角的特性，容易聯(lián)想到直角三角形中30°角所對(duì)邊是斜邊的一半，進(jìn)而把角的條件轉(zhuǎn)換成邊的條件，此題迎刃而解。

自然解法：分別過點(diǎn)A 作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可得BC=2BE=2CE。在Rt△ADF中，∠ADF=∠BDC=30°，因此AD=2AF。要證AD=BC，只需證明CE=AF即可。

在△ACE和△CAF中，易證，∠AEC=∠CFA=90°，∠EAC=∠FCA=10°，AC=CA，∴△ACE≌CAF（AAS），∴CE=AF，進(jìn)一步2CE=2AF，即BC=AD，結(jié)論得證。

此題的關(guān)鍵在于輔助線的合理添加，需要明確題目要考什么、要用什么。那么除了上述方法以外，還有沒有別的方法解決該問題呢？下面我們看一看如何在這道幾何題目中合理構(gòu)造解決問題。

構(gòu)造法（1）：在AB右側(cè)以AB為邊構(gòu)造等邊△ABE，連接CE。我們有AB=BE=AE=AC。

當(dāng)然也有同學(xué)利用垂線法或者截取法解答這道題目，如果感興趣不妨試一試。垂線法如圖：分別過點(diǎn)D、B作DE⊥AC于E，BF⊥CD于F，并在EC上截取EH=EA；截取法如圖：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交CD于點(diǎn)H，在HE上截取HF=HD，連接CF。

通過這道題目，你有沒有感受到構(gòu)造法的魅力？如果有，也請(qǐng)你在以后的幾何解題過程中，開動(dòng)腦筋，根據(jù)已知條件合理構(gòu)造吧！

作者簡(jiǎn)介：

曹艷，陜西省西安市，陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)。