基于牛頓-歐拉法的人體下肢動(dòng)力學(xué)分析與建模

張玉葉，張?jiān)瓐@，毛少坤，張 婷

（咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

由于老齡化、疾病、車禍等原因引起中樞系統(tǒng)損傷，產(chǎn)生大量的下肢運(yùn)動(dòng)功能障礙患者。依據(jù)神經(jīng)功能重塑理論，運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練能恢復(fù)神經(jīng)對肢體運(yùn)動(dòng)控制，越早及越足量進(jìn)行訓(xùn)練，恢復(fù)效果越好。下肢外骨骼康復(fù)機(jī)器人作為一種助力設(shè)備，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)、有效地提供助力，緩解人體下肢疲勞，這對于老年人與殘疾人來說，將是一個(gè)福音[1-2]。國外研究機(jī)構(gòu)相繼研發(fā)了各類康復(fù)機(jī)器人，如：德國RECK公司研制的MOTOmed康復(fù)設(shè)備能夠?qū)崿F(xiàn)被動(dòng)運(yùn)動(dòng)、助力運(yùn)動(dòng)等功能[3]；美國的RUTGERS大學(xué)開展了腳部康復(fù)機(jī)器人的研究，并研制了RUTGER踝部康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人；美國密歇根大學(xué)研究的下肢康復(fù)機(jī)器人，實(shí)現(xiàn)了肢體的阻抗控制訓(xùn)練[4]。在國內(nèi)，清華大學(xué)、哈爾濱工程大學(xué)、西安交通大學(xué)等高校也對下肢康復(fù)機(jī)器人進(jìn)行了研究。如哈爾濱工程大學(xué)開發(fā)了臥式下肢康復(fù)機(jī)器人，對下肢運(yùn)動(dòng)障礙的患者進(jìn)行多模式的康復(fù)訓(xùn)練[5]。

由于下肢外骨骼跟隨人體下肢一起運(yùn)動(dòng)，在理想的情況下，康復(fù)機(jī)器人通過對穿戴者的運(yùn)動(dòng)意圖進(jìn)行“預(yù)測”，實(shí)時(shí)改變外骨骼的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并對驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)提供力矩補(bǔ)償，從而為使用者提供助力[6]。因此，建立合理的人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)時(shí)獲取人體運(yùn)動(dòng)信息，正確判斷運(yùn)動(dòng)意圖，針對這一狀況建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行機(jī)器人設(shè)計(jì)、軌跡規(guī)劃、動(dòng)力學(xué)優(yōu)化以及實(shí)時(shí)控制具有重要的意義。

1 人體下肢的動(dòng)力學(xué)規(guī)律及動(dòng)力學(xué)描述

1.1 人體下肢模型及簡化

在分析人體下肢運(yùn)動(dòng)情況中，把人體簡化為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和多剛體系等力學(xué)模型，會使研究問題簡化?？紤]下肢步行在矢狀面內(nèi)的情況，把頭和上軀看成一整體，在建模時(shí)忽略腳的影響，把腳作為小腿的一部分。這樣，簡化模型只有5個(gè)部分，4個(gè)關(guān)節(jié)的剛體結(jié)構(gòu)，兩側(cè)的大腿、小腿和足，均假設(shè)為剛體模型，如圖1所示。為計(jì)算出人體各環(huán)節(jié)的質(zhì)量、質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要直接測量20個(gè)人體參數(shù)[6]，參考人體肢體參數(shù)測量相關(guān)文獻(xiàn)。動(dòng)力學(xué)一般分析和研究的框圖如圖2所示。

圖1 人體下肢剛體簡化模型

1.2 牛頓-歐拉法構(gòu)建人體下肢動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)是研究物體的運(yùn)動(dòng)和作用力之間關(guān)系的。現(xiàn)在所用的分析方法很多，有拉格朗日（Lagrange）方法、牛頓-歐拉（Newton-Euler）方法、凱恩（Kane）方法、高斯（Gauss）方法等[7]。牛頓-歐拉法是一種常用的機(jī)器人迭代動(dòng)力學(xué)算法，它結(jié)合牛頓第二定律和歐拉方程，這種建模方法開放性好，運(yùn)算步驟相對簡潔，計(jì)算效率高，并且該方法是非常適合于計(jì)算機(jī)運(yùn)算的一種方法，故最終采用牛頓-歐拉法對人體下肢康復(fù)機(jī)器人進(jìn)行建模。

剛體的運(yùn)動(dòng)等效于質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中，質(zhì)心的平動(dòng)用牛頓方程描述，而繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)則用歐拉方程定義。牛頓方程和歐拉方程一起，描述了機(jī)器人驅(qū)動(dòng)力矩、負(fù)載力矩、慣量和加速度之間的關(guān)系[8-9]。對于一個(gè)剛體，設(shè)剛體受到的合力沿x、y、z 3個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為：Fx、Fy、Fz，受到的合力矩沿x、y、z 3個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為：Mx、My、Mz。為了桿件運(yùn)動(dòng)，必須加速或者減速它們，運(yùn)動(dòng)桿件所需要的力或者力矩是所需速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)，則剛體的動(dòng)力學(xué)方程可用式（1）表示，關(guān)節(jié)連接處力簡化如圖3所示。

圖2 動(dòng)力學(xué)研究規(guī)律框圖

圖3 人體連接點(diǎn)力簡化圖

其中Ix、Iy、Iz表示剛體相對于x軸、y軸和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；βx、βy、βz表示剛體相對于x軸、y軸和z軸的角速度；ax、ay、az表示剛體相對于x軸、y軸和z軸的加速度；m表示剛體質(zhì)量。

2 人體下肢各部分的動(dòng)力學(xué)方程

2.1 踝關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程

踝關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)三自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)，考慮踝關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系，分析如圖4所示，F(xiàn)是地面作用給腳的力，M1是地面作用給腳的力矩，T是踝關(guān)節(jié)力，M2是踝關(guān)節(jié)力矩。M3是由踝關(guān)節(jié)力Tx、Ty相對于腳的質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。則列寫踝關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程如式（2）。

其中Iz表示腳對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；βz表示腳對z軸的角速度；ax、ay表示腳對x軸、y軸的加速度；m1表示腳的質(zhì)量。

圖4 踝關(guān)節(jié)受力分析

2.2 骨盆動(dòng)力學(xué)方程的建立

基于牛頓-歐拉法的建模方法，將人體下肢分為四個(gè)部分，分別是骨盆、大腿、小腿、腳。其中骨盆有6個(gè)自由度，其他的部分均為3個(gè)自由度。建立全局坐標(biāo)系A(chǔ)xyz和局部坐標(biāo)系 Ax′y′z′，其中局部坐標(biāo)系固連在骨盆上，如圖5所示。則A點(diǎn)、B點(diǎn)和C點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中位置是已知的?？梢钥吹?，全局坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，然后再繞旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn) β 角，即可得旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)系 Ax′y′z′的 z′和 y′重合[10-11]。旋轉(zhuǎn)角求解示意圖如圖6所示，則：

式（3）中，根據(jù)前一個(gè)等式，方程左側(cè)已知，右側(cè)B點(diǎn)的坐標(biāo)也已知，故可以求得θ和β。故繼而可以求出T。如果人體上身前傾γ角，則C點(diǎn)坐標(biāo)變化表達(dá)式為

圖5 骨盆的全局坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系

圖6 旋轉(zhuǎn)角速度求解示意圖

根據(jù)式（4），即可求得C點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。那么C點(diǎn)在人體全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

2.3 骨盆旋轉(zhuǎn)角速度和角加速度的求解

旋轉(zhuǎn)物體上任一點(diǎn)的速度可以用式（6）表示

其中向量r的起始坐標(biāo)在物體旋轉(zhuǎn)軸上，C點(diǎn)和B點(diǎn)為向量PCB的起止點(diǎn)位置，圖6中B點(diǎn)的速度為

B點(diǎn)的速度在坐標(biāo)系oxy下的表達(dá)式為

其中POB為O點(diǎn)到B點(diǎn)的向量，POC為O點(diǎn)到C點(diǎn)的向量。骨盆的角速度和速度關(guān)系如式（9），假設(shè)D點(diǎn)為在旋轉(zhuǎn)軸上面的任意一點(diǎn)，將每一個(gè)向量方程展開為3個(gè)標(biāo)量方程，共9個(gè)方程，聯(lián)立即可求得ω。根據(jù)ω，即可求得角加速度。根據(jù)以上所述，可以得到骨盆的動(dòng)力學(xué)方程如式（10），各變量的意義參考式（1），m2為盆骨質(zhì)量。

根據(jù)以上所述的分析方法，列出人體下肢各個(gè)部分的動(dòng)力學(xué)方程，求解方程，即可得到人體下肢關(guān)節(jié)的作用力矩。

3 動(dòng)力學(xué)模型仿真

在獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的前提下，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)牛頓第二定律和第三定律得到作用于下肢關(guān)節(jié)的力和力矩。機(jī)器人通過對穿戴者的運(yùn)動(dòng)意圖的正確“預(yù)測”，實(shí)時(shí)改變外骨骼的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并對驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)提供力矩補(bǔ)償，從而為使用者提供助力繼而可建立后續(xù)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力預(yù)測模型。

基于正運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆動(dòng)力學(xué)數(shù)字計(jì)算方法，原理如圖7所示。首先給定一個(gè)初始的關(guān)節(jié)角度值，用正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算實(shí)時(shí)位置，將結(jié)果與目標(biāo)值做對比，用角偏差量修正初始值，如此循環(huán)，直到角度誤差限定在允許范圍內(nèi)。這樣，避免了常規(guī)方法中奇異點(diǎn)導(dǎo)致計(jì)算失敗問題。

圖7 逆動(dòng)力學(xué)數(shù)字計(jì)算原理

人體下肢從一側(cè)腳跟著地開始到該腳跟再次著地構(gòu)成一個(gè)步態(tài)周期。一個(gè)步態(tài)周期的活動(dòng)可劃分為支撐相和擺動(dòng)相，常速行走時(shí)，支撐相約占整個(gè)步態(tài)周期的60%～65%，因此，當(dāng)一側(cè)下肢進(jìn)入支撐相時(shí)，另側(cè)下肢尚未離地，兩下肢同時(shí)負(fù)重稱為雙肢負(fù)重期。雙肢負(fù)重期約占全周期的28.8%，占支撐相的44.8% ，人體下肢連桿結(jié)構(gòu)的步態(tài)模型如圖8所示。結(jié)合步態(tài)特點(diǎn)，人體下肢單腿支撐相和擺動(dòng)相的下肢各關(guān)節(jié)力矩曲線仿真結(jié)果如圖9所示。從關(guān)節(jié)力矩曲線的變化規(guī)律可以看出：

（1）踝關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩主要考慮單腿支撐相，在擺動(dòng)相關(guān)節(jié)力矩幾乎為零。

（2）髖關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩主要發(fā)生在擺動(dòng)相，在支撐相慣性力幾乎為零。

（3）膝關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩在支撐相和擺動(dòng)相作用相反，各關(guān)節(jié)廣義慣性力主要取決于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)的慣性力大小，受重力的影響較?。环抡媲€驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性；可為康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人人機(jī)協(xié)同過程中的力學(xué)交互模式研究提供參考。

圖8 人體下肢連桿結(jié)構(gòu)步態(tài)周期圖

圖9 關(guān)節(jié)力矩曲線

4 結(jié)論

本文用牛頓-歐拉法對人體下肢骨盆（六自由度）、踝關(guān)節(jié)（三自由度，和膝關(guān)節(jié)類似）進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)，并就其進(jìn)行了仿真，仿真的結(jié)果驗(yàn)證了單腿支撐相和擺動(dòng)相動(dòng)力學(xué)建模的有效性。這種基于正運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆動(dòng)力學(xué)數(shù)字計(jì)算方法，避免了常規(guī)方法中奇異點(diǎn)導(dǎo)致計(jì)算失敗問題，因此在下肢康復(fù)機(jī)器人軌跡規(guī)劃過程中可以避免奇異點(diǎn)，保護(hù)機(jī)器人各關(guān)節(jié)不會因經(jīng)過奇異點(diǎn)時(shí)受到慣性力的破壞。研究方法具有一定的實(shí)用性。