《矩陣與變換》教學(xué)探索與實(shí)踐

◆周立軍

一、課程內(nèi)容介紹

高中數(shù)學(xué)《選修4-2矩陣與變換》中矩陣是線性代數(shù)研究的主要對(duì)象之一。變換是幾何學(xué)中的基本內(nèi)容之一。矩陣最早的產(chǎn)生是源于人們對(duì)圖形變換和線性方程組求解的研究，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)矩陣在其他學(xué)科和領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在矩陣的知識(shí)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、控制論、對(duì)策論、密碼學(xué)等領(lǐng)域。本冊(cè)書主要研究二階矩陣和幾何變換，并且把二者結(jié)合起來，使得矩陣知識(shí)得到一定的應(yīng)用，為將來學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚撟龊娩亯|。

本冊(cè)書的知識(shí)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單概括為借用中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)的幾何變換的知識(shí)引出二階矩陣，并進(jìn)一步研究二階矩陣及其性質(zhì)，同時(shí)反過來研究幾何變換和線性方程組的求解問題。

二、如何學(xué)好《矩陣與變換》這門課

為了學(xué)好這門課，應(yīng)該從三個(gè)指標(biāo)兩個(gè)方面著手，三個(gè)指標(biāo)是指速度、效果、體驗(yàn)，這是有效課堂的三個(gè)指標(biāo)，是始終貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中的，如果把這三個(gè)指標(biāo)都落實(shí)到位了，那么這個(gè)課堂就是高效課堂；應(yīng)該從以下兩個(gè)方面著手：一是上好新授課；二是加強(qiáng)應(yīng)用教學(xué)。

一是上好新授課

三個(gè)指標(biāo)中體驗(yàn)是最重要的，也是最能讓老師們忽略的一項(xiàng)指標(biāo)。在新授課的過程中一定要注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索與發(fā)現(xiàn)的精神，因?yàn)閷W(xué)習(xí)的精華是自主探索與發(fā)現(xiàn)的精神，這樣的精神會(huì)讓學(xué)生受益一生，這是高效學(xué)好新授課的關(guān)鍵，要求教師在教學(xué)過程中把握好每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

二是加強(qiáng)應(yīng)用教學(xué)

1.時(shí)刻注意用所學(xué)知識(shí)解決日常學(xué)習(xí)中的疑難問題，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索與發(fā)現(xiàn)的精神。

圖1

以上案例是在學(xué)習(xí)對(duì)勾函數(shù)時(shí)，對(duì)于對(duì)勾函數(shù)是否是雙曲線的問題一直困惑著學(xué)生。有人說它是對(duì)勾函數(shù)，有人說它不是，誰也說服不了誰，原因是，都沒有一個(gè)讓人信服的證明。當(dāng)學(xué)完了矩陣的旋轉(zhuǎn)變換后，和學(xué)生對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了探索，結(jié)論是肯定的：對(duì)勾函數(shù)就是雙曲線。這是其中的一位同學(xué)的證明過程（如圖2）

圖2

下面來簡(jiǎn)要解析一下這位同學(xué)的證明過程：設(shè)對(duì)勾函數(shù)圖象繞對(duì)稱中心逆時(shí)旋轉(zhuǎn)θ角，經(jīng)過矩陣運(yùn)算與三角運(yùn)算，當(dāng)tan2θ=1時(shí)，就得到了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，比如，當(dāng)時(shí)，就得到了標(biāo)準(zhǔn)方程是什么意思呢？那就是把對(duì)勾函數(shù)圖象繞對(duì)稱中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到標(biāo)準(zhǔn)方程為的雙曲線，大家看到雙曲線的頂點(diǎn)在y軸上且為

緊接著我們又進(jìn)行了進(jìn)一步的探索，比如：對(duì)勾函數(shù)取得最值時(shí)的點(diǎn)是否是這條雙曲線的頂點(diǎn)？結(jié)論是否定的，如果是的話，那就應(yīng)該逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角φ，而，而這條雙曲線是對(duì)勾函數(shù)的圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角得到，而，所以對(duì)勾函數(shù)取得最值時(shí)的點(diǎn)應(yīng)該在雙曲線頂點(diǎn)右側(cè)。至此，疑惑學(xué)生很長(zhǎng)時(shí)間的一個(gè)難題得以解決了，學(xué)生很興奮。通過這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)是有價(jià)值的，增強(qiáng)學(xué)生的成就感，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索與發(fā)現(xiàn)的精神，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)。

2.加強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的問題

我們知道在日常生活中，信息的加密是一個(gè)很重要的問題。

【案例2】短信風(fēng)波：記得在一次上課前，我給有些學(xué)生發(fā)一條短信，短信的內(nèi)容如下：“28，36，15，29，30，49“這6個(gè)數(shù)，學(xué)生百思不得其解，一頭霧水。上課后，要求同學(xué)們把這6個(gè)數(shù)按順序兩個(gè)兩個(gè)組合，然后通過矩陣運(yùn)算一下；然后再把所得結(jié)果按順序排列好：“20，8，1，11，14，19”；然后，再把26個(gè)英文字母與1—26個(gè)自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)排列好(如下表)

A 1 N 1 4 B 2 O 1 5 C 3 P 1 6 D 4 Q 1 7 E 5 R 1 8 F 6 S 1 9 G 7 T 2 0 H 8 U 2 1 I 9 V 2 2 J K L M 10 W 23 11 X 24 12 Y 25 13 Z 26

然后，再分別找到各數(shù)對(duì)應(yīng)著的字母。當(dāng)學(xué)生得到答案時(shí)恍然大悟。緊接著，我問到“我是如何把20，8，1，11，14，19這6個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)成28，36，15，29，30，49的？”，同學(xué)們很快回答到是用矩陣的逆矩陣運(yùn)算得來的。我接著要求，每位同學(xué)編一段加密短信。這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)就在玩的過程中度過了。至此，矩陣知識(shí)在密碼學(xué)中關(guān)于信息編碼和解碼理論中的應(yīng)用給學(xué)生留下了深刻的印象。

通過以上授課方式，從高效課堂的學(xué)習(xí)速度、學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)體驗(yàn)三個(gè)方面來看，我們把學(xué)習(xí)熱情注入到了孩子們的心靈深處，點(diǎn)燃激情，喚醒夢(mèng)想，樹立信心，使知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀三個(gè)層面有機(jī)地整合在一起并且達(dá)到和諧發(fā)展的目的，課堂充滿了活力，呈現(xiàn)出生氣勃勃的局面。學(xué)生不僅僅收獲了數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是收獲了激情、收獲了興趣、收獲了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，收獲了鍥而不舍的探索精神，學(xué)生在享受數(shù)學(xué)。