論變式教學(xué)的高效性

周春意

摘要：“減負”的實施，讓學(xué)生從大量的習(xí)題中解放出來，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決問題的能力，是教師進行課堂教學(xué)改革所要追尋的最終目標。而實現(xiàn)這一目標的途徑是多方位、多角度、多因素的。筆者認為，注重變式教學(xué)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的一種強有力的教學(xué)措施。變式教學(xué)是對數(shù)學(xué)中的問題進行不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露數(shù)學(xué)的本質(zhì)，揭示不同知識點間內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)方法。本文介紹了筆者在變式教學(xué)上的嘗試，旨在與同仁一起交流分享。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)；數(shù)學(xué)；高效

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-0102

題目：如圖1，在正方形ABCD中，點M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點。N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°，求證：AM=MN.

題目一拋出，思考片刻，有學(xué)生舉手。

學(xué)生1：看到∠AMN=90°這個條件，我想到構(gòu)造“一線三等角”模型（如圖2）。過點N作NF⊥BP，易得∠1=∠2。再根據(jù)∠B=∠NFM=90°，得△ABM∽△MFN。

∵∠NCF=45°

∴設(shè)CF=NF=x，MC=y，BM=z，

由△ABM∽△MFN得：■=■，

∴■=■，化簡得：x=z。

∴■=■=■=1即AM=MN

學(xué)生2：要證明AM=MN，我想到構(gòu)造全等三角形。在AB邊上截取AE=MC，連結(jié)EM。易得△EBM為等腰直角三角形，則∠AEM=∠MCN=135°，∵∠1=∠2，∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN。

師：兩位同學(xué)的建模構(gòu)造得非常漂亮！現(xiàn)在老師再給它找個雙胞胎兄弟。已知正方形ABCD和正方形ECGF如圖4放置（B、C、G三點共線），連結(jié)AF、DG交于點O，求證：∠AOD=45°。

生思考片刻，沒動靜。師啟發(fā)：45°角可以構(gòu)造等腰直角三角形，要出現(xiàn)等腰三角形，我們同樣可以去構(gòu)造全等三角形。

溫馨提示，可以參照圖3的解法。

生3：老師，我做出來了。如圖5，在BC邊上截取BH=CG，連結(jié)AH、FH，F(xiàn)H交DG于點M。則BC=AB=HG，BH=GF，∠B=∠FCG=90°，∴△ABH≌△HGF?！郃H=HF，∠1=∠2。∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，得△AFH為等腰直角三角形?！唷螦FH=45°。又∵AD∥HG，AD=BC=HG，∴四邊形AHGD為平行四邊形.∴HF⊥DG，∴∠AOD=∠FOM=45°。

話音剛落，其他學(xué)生忍不住為其鼓掌.多么敏捷的思維，多么嚴謹?shù)恼Z言。趁勝追擊，筆者將題進一步變式：現(xiàn)在老師讓調(diào)皮的小弟弟（小正方形ECGF）牽著哥哥的手（點C）旋轉(zhuǎn)到某個位置（如圖6），請問這時∠AOD還等于45°嗎？

學(xué)生紛紛點頭，嘴里嘀咕著：憑多年的解題經(jīng)驗∠AOD應(yīng)該還是45°。

師：那我們能不能用類似的方法去解決這種情況呢？

有學(xué)生馬上否定：肯定不是構(gòu)造全等三角形了，因為此時點B、C、G不在同一條直線上，找不到剛才的那對全等三角形了。

師：哦，那我們要另尋方法了。構(gòu)造不了等腰直角三角形，那我們想想，在正方形中，哪里可以找到45°的身影呢？

眾生齊答：連結(jié)正方形的對角線，對角線平分直角。

師繼續(xù)引導(dǎo)：所有的正方形都是相似圖形，那我們能不能從相似三角形著手試試呢？

學(xué)生有種“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅感，開始埋頭嘗試起來。

生4：老師，我真的解出來了。如圖7，連結(jié)AC、CF，設(shè)AF與DC的交點為點H.∵正方形ABCD和正方形ECGF?！唷?■=■。又∵∠ACF=45°+∠DCE+45°=90°+∠DCE，∠DCG=90°+∠DCE，∴∠ACF=∠DCG?！唷鰽CF∽△DCG?！唷?=∠2。又∵∠AHC=∠DHO?！唷螦OD=∠ACD=45°。

師：非常棒！以上的三個題，我們體驗了根據(jù)題意出發(fā)，完美構(gòu)造全等三角形和構(gòu)造相似三角形，同時也體驗了從圖形特殊的位置（三點共線）到旋轉(zhuǎn)至任意位置的解題策略。

現(xiàn)在老師暫且給類似圖6的兩個雙胞胎（相似圖形）的一個頂點重合在一起的兩個圖形稱為“手牽手”型。剛才的兩個雙胞胎是正方形，老師在想，當雙胞胎的形狀發(fā)生改變時，不知還會不會有類似的結(jié)論。

這時，教室里開始一陣“騷動”，學(xué)生們開始躍躍欲試了。

生5：老師，我想到了最簡單但又很美的圖形——等腰直角三角形（該生邊說邊上臺畫出了圖8的圖形），然后自信滿滿地說：此時的∠AOC=45°。明白的同學(xué)請舉手。

在座的學(xué)生先是愣了一下，隨后不約而同地舉起了雙手！多么聰明的孩子啊，把正方形的另一半“拋棄”以后就成了這種“手牽手”型的，我不禁感嘆學(xué)生的聰穎與睿智！

受到了這位同學(xué)的啟發(fā)，其他學(xué)生也不甘落后，開始大膽猜測、驗證。

生6：老師，我覺得還可以是兩個等邊三角形“手牽手”型.如圖9，∵兩個等邊三角形相似，同理可得△ACE∽△BCD，∴∠1=∠2。又∵∠BHC=∠AHO?！唷螦OB=∠ACB=60°。

掌聲響起了，那是源自學(xué)生內(nèi)心深處的喜悅??！

生7：老師，老師，我還有發(fā)現(xiàn).我覺得只要兩個頂角相等的等腰三角形“手牽手”，同理可得∠AOB=∠ACB，也就是∠AOB的度數(shù)等于等腰三角形的頂角度數(shù)。

生8：老師，我還總結(jié)出了這樣一個結(jié)論：“手牽手”型的三角形全等或相似都是SAS型的，其中兩邊是兩個相似圖形的大邊和小邊，夾角是它們的相等的內(nèi)角加上公共角。

這時，教室里頓時沸騰起來，所有的學(xué)生向生7和生8投去了“羨慕、嫉妒、恨”的目光。此刻學(xué)生的思維已經(jīng)達到了質(zhì)的飛躍，從正方形的“手牽手”型著手，讓學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、概括，讓學(xué)生經(jīng)歷了方法模型的過程，掌握了抓住基本圖形的變化，體會變中不變的性質(zhì)，筆者認為這肯定是傳統(tǒng)課堂所嚴重缺失的部分。

“手牽手”型的變式歷程，讓筆者更加堅信變式教學(xué)的高效性，尤其是在教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主地對題目進行改編并進行解答，能最大程度地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，在變式訓(xùn)練中提高學(xué)生識別和運用基本模型的能力，使學(xué)生的解題能力得到更高層次的提升，對學(xué)生思維發(fā)展提供知識再創(chuàng)造的過程，也使類比、轉(zhuǎn)化、特殊與一般數(shù)學(xué)思想在變題、解題過程中自然、完美地進行滲透，真正達到舉一反三、觸類旁通的效果。

相信在變式的路上，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形散而神不散，一定會迎來繁花相送的美麗景象！

（作者單位：浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山鎮(zhèn)中心初級中學(xué) 315100）