η凸函數的Riemann-Liouville分數階積分的Hermite-Hadamard型不等式

時統(tǒng)業(yè)，曾志紅，曹俊飛

(1. 海軍指揮學院， 江蘇 南京 211800； 2. 廣東第二師范學院 學報編輯部， 廣東 廣州 510303；3. 廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303)

0 引 言

若f是區(qū)間[a，b]上的凸函數，則對f在區(qū)間[a，b]上的算術平均值有以下估計：

(1)

雙邊不等式(1)被稱為Hermite-Hadamard不等式.關于Hermite-Hadamard不等式的各種改進、加細和推廣，可參見文獻[1-9].

最近，作為通常凸函數的推廣，文獻[10]引入了η凸函數的概念.

定義1[10]設區(qū)間I?R，二元函數η：R×R→R，f：I→R，若對任意x，y∈I，t∈[0，1]，有

f(tx+(1-t)y)≤f(y)+tη(f(x),f(y))，

則稱f是區(qū)間I上的η凸函數.

當η(x，y)=x-y時，η凸函數即為通常的凸函數.

定理1[11](η凸函數的Hermite-Hadamard型不等式) 若f： [a，b]→R是η凸函數，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，則有

近年來，國內外研究者利用分數階積分建立了分數階的Hermite-Hadamard型不等式[12-18].

定義2設α>0，f在[a，b]上勒貝格可積，則函數f的α階左Riemann-Liouville分數階積分和α階右Riemann-Liouville分數階積分分別定義為

其中Γ(α)是Gamma函數，即

方便起見，在下文的引理和定理中均假設

p∈(0,1)，ξ=pa+(1-p)b，

并且記

定理3[19](η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式) 若f： [a，b]→R是η凸函數，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，則有

(2)

引理1[13]設f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，α>0，則有

利用引理1，由文獻[19]可得η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

定理4[19]設f： [a，b]→R在(a，b)可微，|f′|是[a，b]上的η凸函數，α>0，則有

當η(x,y)=x-y，即當|f′|是[a，b]上的凸函數時，由定理4得到文獻[13]中凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

引理2[14]設f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，α>0，則有

其中，

應用引理2，由文獻[19]可得到η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

定理5[19]設f： [a，b]→R在(a，b)可微，|f′|是[a，b]上的η凸函數，0<α≤1，則有

η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

(3)

由引理2并利用積分變量代換，有

可得到以下引理：

引理3設f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，α>0，則有

[f′((1-t)a+tb)-f′(ta+(1-t)b)]dt.

目前，國內研究η凸函數的文獻并不多[20-21].本文建立了新的η凸函數Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.對定理3和定理5的結果進行了一定改進.對由凸函數分數階的Hermite-Hadamard型不等式的右邊部分生成的差值，給出了不同于定理4的估計.為證明主要結論，除引理1和引理3外，還需要引理4和引理5，此兩引理用分部積分法易證之.

引理4設f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，α>0，則有

引理5設f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，α>0，則有

pf(a)+(1-p)f(b)-K2=

1 主要結果及證明

定理6若f： [a，b]→R是η凸函數，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，則有

(4)

(5)

(6)

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))]，

(7)

由η凸函數的定義，有

(8)

將式(8)乘以(x-a)α-1+(b-x)α-1，然后在[a,b]上對x積分，得

η(f(a+b-x),f(x))dx，

(9)

注2在定理6中，取η(x,y)=x-y，則得到凸函數的Hermite-Hadamard型分數階不等式[13]：

文獻[3]利用積分給出了凸函數的Jensen不等式的隔離，受此啟發(fā)，給出以下定理：

定理7若f： [a，b]→R是η凸函數，α>0，則有

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))]，

(10)

其中，

f1(x)=η(f(b-p(x-a)),f(pa+(1-p)x))，

f2(x)=η(f(a+(1-p)(b-x)),f(px+(1-p)b)).

證明將式(5)乘以(ξ-x)α-1，然后在[a,ξ]上對x積分，得

(11)

將式(6)乘以(x-ξ)α-1，然后在[ξ，b]上對x積分，得

(12)

f(ξ)≤f(x)+(1-p)η(f(y),f(x))，

(13)

將式(13)乘以(ξ-x)α-1，然后在[a,ξ]上對x積分，得

(14)

f(ξ)≤f(x)+pη(f(y′),f(x))，

(15)

將式(15)乘以(x-ξ)α-1，然后在[ξ,b]上對x積分，得

(16)

推論1若f： [a，b]→R是η凸函數，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，則有

f(ξ)-2p(1-p)Mη≤K2≤

定理8設f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，|f′|是[a，b]上的η凸函數，α>0，則有

(17)

證明由引理1得

(18)

由|f′|的η凸性,得

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|)，

(19)

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|)，

(20)

(21)

綜合式(18)和(21)，則式(17)獲證.

注3在定理8中，若η(x,y)=x-y，即|f′|是[a，b]上的凸函數，則可得文獻[13]的凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

定理9設f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，|f′|是[a，b]上的η凸函數，0<α≤1，則有

(22)

證明由引理3得

[|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|]dt.

(23)

由|f′|的η凸性得

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(a)|+tη(|f′(b)|,|f′(a)|)，

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(b)|+(1-t)η(|f′(a)|,|f′(b)|)，

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|)，

|f′(ta+(1-t)b)|≤|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|)，

將上面4個式子相加并除以2得

|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|≤

η(|f′(b)|,|f′(a)|)).

(24)

綜合式(23)和(24)，則式(22)得證.

定理10設f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，|f′|是[a，b]上的η凸函數，α>0，則有

(25)

證明由引理4得

(26)

由|f′|的η凸性得

(27)

η(|f′(b)|,|f′(a)|)]dt=

(28)

綜合式(26)～式(28)，則式(25)得證.

注5在定理10中，若η(x,y)=x-y，也即|f′|是[a，b]上的凸函數，則有

{[α+1+2(α+3)p]|f′(a)|+

[3α+7-2(α+3)p]|f′(b)|}.

定理11設f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒貝格可積，|f′|是[a，b]上的η凸函數，α>0，則有

證明利用類似于引理5及定理9的證明方法可證得定理11，此證略.

推論2若f： [a，b]→R是η凸函數，f′在[a，b]上勒貝格可積，|f′|是[a，b]上的η凸函數，α>0，則有

[η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

注6在定理11中，若η(x,y)=x-y，也即|f′|是[a，b]上的凸函數，則有

|pf(a)+(1-p)f(b)-K2|≤

2 結束語

建立了η凸函數的一些積分不等式，推廣了通常凸函數的相應結果. 尋找積分隔離η凸函數的Jensen型不等式，以及利用導函數的η凸性進行誤差估計，均仿照了通常凸函數的研究方法. 能對已有結果做些改進，得益于證明技巧的提升，包括分別在不同區(qū)間上對2個不等式積分，以及利用變量代換改變積分區(qū)間. 有關凸函數的其他結果在η凸函數上的移植尚待進一步研究.