Ding-內(nèi)射模的函子伴隨性

羅肖強(qiáng)

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 達(dá)州 635000)

0 引 言

Gorenstein同調(diào)代數(shù)自20世紀(jì)60年代以來就受到眾多學(xué)者的關(guān)注，對一些經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)很多學(xué)者給出了對應(yīng)的Gorenstein同調(diào)代數(shù)結(jié)果. 2014年，EMMANOUIL等[1]研究了具有有限Gorenstein投射維數(shù)的模類的性質(zhì),通過具有有限Gorenstein投射維數(shù)的模類以及Gorenstein投射模類形成的穩(wěn)定范疇構(gòu)造了2對伴隨函子, 并給出了Gorenstein同調(diào)代數(shù)維數(shù)的有限判定條件. 為深入研究Gorenstein內(nèi)射模, 2008年，MAO等[2]引入了Gorenstein FP- 內(nèi)射模, 得到了很好的性質(zhì). 2010年，GILLESPIE[3]將Gorenstein FP-內(nèi)射模命名為Ding-內(nèi)射模. 本文主要從穩(wěn)定范疇的角度建立Ding-內(nèi)射模的維數(shù)的有限判定條件.

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要回顧Ding-內(nèi)射模的定義,并給出具有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的模類的基本性質(zhì).

定義2[2]設(shè)R為任意環(huán), 如果存在一個HomR(FI,-)正合的內(nèi)射R-模的正合列：

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M=ker(E0→E1)，則稱R-模M是Ding-內(nèi)射的.

記DidR(M)和idR(M)分別為模M的Ding-內(nèi)射維數(shù)和內(nèi)射維數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)方法可以定義模的Ding-內(nèi)射維數(shù).

命題1[5]R-模M是Ding-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個R-模短正合列0→Q′→E→Q→0，使得E是內(nèi)射模、Q′是Ding-內(nèi)射模.

命題2設(shè)M為任意R-模,n為非負(fù)整數(shù)， 則下列條件等價：

(1) DidR(M)≤n；

(2) 存在R-模的短正合列0→M→Q→L→0, 使得Q是Ding-內(nèi)射的并且idR(L)≤n-1;

(3) 存在R-模的短正合列0→Q′→B→M→0, 使得Q′是Ding-內(nèi)射的并且idR(B)≤n.

證明由文獻(xiàn)[6]可得 (1)?(2).

(2)?(3) 假設(shè)存在(2)中的短正合列, 因Q是Ding-內(nèi)射的, 則由命題1可得短正合列

0→Q′→E→Q→0，

使得E是內(nèi)射模、Q′是Ding-內(nèi)射模.考慮下列拉回交換圖：

由于idR(L)≤n-1, 于是idR(B)≤n. 因此存在R-模的短正合列0→Q′→B→M→0, 使得Q′是Ding-內(nèi)射的并且idR(B)≤n.

(3)?(2) 假設(shè)存在(3)中的短正合列, 因?yàn)閕dR(B)≤n, 則存在短正合列

0→B→E→L→0，

使得E是內(nèi)射模且idR(L)≤n-1.考慮下列推出交換圖：

由文獻(xiàn)[5]定理2.8可得,Q是Ding-內(nèi)射的, 因此存在R-模的短正合列0→M→Q→L→0,使得Q是Ding-內(nèi)射的并且idR(B)≤n-1.

推論1設(shè)R-模M有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù). 則

0→M→Q→L→0，

0→Q′→B→M→0，

引理2設(shè)M是任意的有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的R-模.

證明(i)假設(shè)存在(i)中的2個短正合列，考慮下列推出交換圖：

(ii) 由(i)對偶可證：

2 關(guān)于有有限內(nèi)射維數(shù)的模類的穩(wěn)定性

設(shè)M,N是2個R-模.則所有可以通過具有有限內(nèi)射維數(shù)的模分解的M到N的態(tài)射組成的集合是阿貝爾群HomR(M,N)的子群.記對應(yīng)的商群為FI-HomR(M,N)，并且對任意的f∈HomR(M,N)，設(shè)[f]=[f]FI.接下來考慮所有的R-Mod，態(tài)射集為FI-HomR(M,N)的范疇FI-R-Mod.

引理3設(shè)M,N為2個有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的R-模，f：M→N為任意態(tài)射.考慮下列2個R-模的短正合列：

和

其中，L,L′有有限內(nèi)射維數(shù)，Q,Q′是Ding-內(nèi)射的，則

(i) 存在態(tài)射g：Q→Q′,使得gα=α′f;

(ii) 如果g,g′：Q→Q′是2個態(tài)射，使得gα=α′f，g′α=α′f,則[g]=[g′]∈FI-HomR(Q,Q′);

(iii) 如果[f]=[0]∈FI-HomR(M,N),對任意的態(tài)射g：Q→Q′使得gα=α′f,則[g]=[0]∈FI-HomR(Q,Q′).

(ii) 設(shè)g,g′：Q→Q′是2個態(tài)射，使得gα=α′f，g′α=α′f：

則

(g-g′)α=gα-g′α=α′f-α′f=0,

因此存在態(tài)射h：L→Q′，使得g-g′=hβ.因?yàn)長有有限內(nèi)射維數(shù),所以[g]=[g′]∈FI-HomR(Q,Q′).

(iii) 設(shè)f由通過有有限內(nèi)射維數(shù)的R-模I分解,即

則對I有下列短正合列：

使得E是內(nèi)射的、I′有有限內(nèi)射維數(shù).由(i)知,存在γ′：Q→E和δ′：E→Q′，使得下列圖可交換.

即有α′δ=δ′i且iγ=γ′α.因此(δ′γ′)α=(δ′i)γ=α′(δγ)=α′f.于是,對任意的態(tài)射g：Q→Q′使得gα=α′f,由(ii)可得，[g]=[δ′γ′]=[0]∈FI-HomR(Q,Q′).

設(shè)范疇FI-DI(R)和FI-FDI(R)是FI-R-Mod的全子范疇,他們的對象分別為Ding-內(nèi)射模以及有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的模.于是,FI-DI(R)是FI-FDI(R)的全子范疇.由引理2(i)和引理3可得,存在一個良定的加法函子：

μ： FI-FDI(R)→FI-DI(R),

且有

定理1加法函子μ： FI-FDI(R)→FI-DI(R)是嵌入函子FI-DI(R)FI-FDI(R)的左伴隨.

證明設(shè)M有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù),T為Ding-內(nèi)射模.則有短正合列：

使得Q是Ding-內(nèi)射的并且idR(L)<∞.由伴隨同構(gòu)的定義,只需證明

[α]*： FI-HomR(Q,T)→FI-HomR(M,T)

是雙射的并且在M,T處具有自然性.由引理3易得[α]*在M,T處具有自然性.

[α]*： HomR(Q,T)→HomR(M,T)

是滿的,因此[α]*是滿的.其次,設(shè)g：Q→T是任意的一個態(tài)射，使得

[gα]=[g][α]=[α]*[g]=[0]∈FI-HomR(M,T).

考慮下列交換圖：

由引理3(iii),有[g]=0∈FI-HomR(Q,T).

推論2設(shè)M有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù),則下列條件等價：

(i)M有有限的內(nèi)射維數(shù);

(ii) 對任意Ding-內(nèi)射模T有

FI-HomR(M,T)=0;

(iii) 存在一個短正合列

其中，Q是Ding-內(nèi)射的并且idR(L)<∞,使得

[α]=[0]∈FI-HomR(M,Q).

證明(i)?(ii)和(ii)?(iii)顯然.

(iii)?(i) 由定理1可知

[α]*： FI-HomR(Q,Q)→FI-HomR(M,Q)

是雙射的.因此,如果

[α]*[1Q]=[1Q][α]=[α]=[0]∈FI-HomR(M,Q),

則

[1Q]=[0]∈FI-HomR(Q,Q),

由此可得Q是某個有有限內(nèi)射維數(shù)的模的直和項(xiàng),即Q有有限內(nèi)射維數(shù).再由Q是Ding-內(nèi)射的，可得Q是內(nèi)射的，于是M有有限內(nèi)射維數(shù).

證畢！

3 關(guān)于Ding-內(nèi)射模類的穩(wěn)定性

設(shè)M,N是2個R-模，則所有可以通過Ding-內(nèi)射模分解的M到N的態(tài)射形成的集合是阿貝爾群HomR(M,N)的子群.記對應(yīng)的商群為DI-HomR(M,N),并且對任意的f∈HomR(M,N),設(shè)[f]=[f]DI.接下來考慮的對象為所有的R-Mod,態(tài)射集為DI-HomR(M,N)的范疇DI-R-Mod，

引理4設(shè)M,N為2個有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的R-模,f：M→N為任意態(tài)射.考慮下列2個R-模的短正合列：

和

(iii) 設(shè)f通過Ding-內(nèi)射R-模E分解,即

則對E，有下列短正合列

設(shè)范疇DI-FI(R)和DI-FDI(R)是FI-R-Mod的全子范疇,他們的對象分別為有有限內(nèi)射維數(shù)的模以及有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù)的模.于是,DI-FI(R)是DI-FDI(R)的全子范疇.由引理2(ii)和引理4可得，存在一個良定的加法函子

ν： DI-FDI(R)→DI-FI(R),

且有

定理2加法函子ν： DI-FDI(R)→DI-FI(R)是嵌入函子DI-FI(R)DI-FDI(R)的右伴隨.

證明設(shè)M有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù),A有有限內(nèi)射維數(shù).則有短正合列

使得Q′是Ding-內(nèi)射的并且idR(B)<∞.根據(jù)伴隨同構(gòu)定義,只需證明

[β]*： DI-HomR(A,B)→DI-HomR(A,M)

是雙射的并且在M,A處具有自然性.由引理4易得[β]*在M,A處具有自然性.

[β]*： HomR(A,B)→HomR(A,M)

是滿的,因此[β]*是滿的.其次,設(shè)g：A→B為一任意態(tài)射，使得

[βg]=[β][g]=[β]*[g]=[0]∈DI-HomR(A,M).

考慮下列交換圖：

由引理4(iii)，[g]=0∈DI-HomR(A,B).

證畢！

推論3設(shè)M有有限D(zhuǎn)ing-內(nèi)射維數(shù),則下列條件等價：

(i)M是Ding-內(nèi)射的;

(ii) 對任意有有限內(nèi)射維數(shù)的模T都有DI-HomR(T,M)=0;

(iii) 存在一個短正合列

其中Q′是Ding-內(nèi)射的并且idR(B)<∞,使得

[β]=[0]∈DI-HomR(B,M).

證明(i)?(ii)和(ii)?(iii)顯然.

(iii)?(i) 由定理2,特別地

[β]*： DI-HomR(B,B)→DI-HomR(B,M)

是雙射的.因此,如果

[β]*[1B]=[β][1B]=[β]=0∈DI-HomR(B,M)，

則

[1B]=[0]∈DI-HomR(B,B),

因此可得B是某個Ding-內(nèi)射模的直和項(xiàng),即B是Ding-內(nèi)射的,于是M是Ding-內(nèi)射的.