微小衛(wèi)星臨近操作僅測(cè)距初始相對(duì)定軌解析方法

施俊杰，龔柏春，李 爽，白艷萍，李 欣

(1. 南京航空航天大學(xué)，南京210016；2. 中科院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院，上海201203； 3. 中國(guó)人民解放軍92728部隊(duì)，上海 200436)

0 引 言

隨著近年來(lái)微小衛(wèi)星技術(shù)的蓬勃發(fā)展，基于微小衛(wèi)星平臺(tái)的空間在軌服務(wù)趨勢(shì)已經(jīng)出現(xiàn)[1]，例如已經(jīng)進(jìn)行過(guò)在軌試驗(yàn)的美國(guó)XSS-11系統(tǒng)。而微小衛(wèi)星因?yàn)槠淦脚_(tái)的特殊性，在能源、載荷等多方面都受到限制。例如，微小衛(wèi)星難以支撐體積大、功耗高、系統(tǒng)復(fù)雜的微波雷達(dá)等常用的交會(huì)對(duì)接傳感器。而常用的光學(xué)交會(huì)相機(jī)也會(huì)受到復(fù)雜空間環(huán)境的種種限制，特別是太陽(yáng)光照對(duì)相機(jī)的影響非常大，存在使用窗口問(wèn)題。因此，光學(xué)交會(huì)相機(jī)的使用窗口限制了微小衛(wèi)星面向在軌服務(wù)交會(huì)對(duì)接的時(shí)間自由度，從而需要有基于其他傳感器的定軌方式作為有效補(bǔ)充，也就引出本文研究的僅測(cè)距定軌問(wèn)題。

僅測(cè)距定軌，即在僅有相對(duì)距離測(cè)量信息的情況下實(shí)現(xiàn)軌道確定[2]。通過(guò)無(wú)線電通訊測(cè)距，不需要增加其他載荷、對(duì)空間環(huán)境不敏感，不增加能源消耗，僅測(cè)距定軌的方式具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。與研究較多的光學(xué)相機(jī)僅測(cè)角定軌一樣，僅測(cè)距定軌屬于測(cè)量信息不完備情況下的導(dǎo)航問(wèn)題。僅測(cè)距定軌的概念和應(yīng)用最早出現(xiàn)于二十世紀(jì)六十年代，工程師們采用單個(gè)地面測(cè)控站測(cè)量與衛(wèi)星的距離，以多組測(cè)量實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的定軌[3]。之后，僅測(cè)距定軌也被應(yīng)用在天基衛(wèi)星對(duì)同步軌道衛(wèi)星的監(jiān)測(cè)定軌任務(wù)之中[4]。近年來(lái)，隨著航天器在軌服務(wù)和編隊(duì)飛行概念的發(fā)展，部分學(xué)者已經(jīng)開(kāi)始著眼于航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)研究?jī)H測(cè)距定軌問(wèn)題[5]。由于僅測(cè)距定軌缺乏視線角信息，使得在相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道動(dòng)力學(xué)環(huán)境下利用距離信息進(jìn)行定軌時(shí)存在軌道模糊性的鏡像解問(wèn)題，即同一組距離信息不能唯一確定真實(shí)的相對(duì)軌道。Chavez、Doolittle、Lovell和Rundberg等人從相對(duì)軌道要素驗(yàn)證了僅測(cè)距定軌的模糊性問(wèn)題[6-8]。Maessen和Gill基于相對(duì)軌道要素討論了雙星編隊(duì)僅測(cè)距相對(duì)導(dǎo)航的狀態(tài)可觀測(cè)性問(wèn)題，給出了先驗(yàn)信息較差時(shí)系統(tǒng)也不能輸出正確相對(duì)軌道的結(jié)論[9]。Wang和Butcher在Tschauner-Hempel動(dòng)力學(xué)下研究了橢圓目標(biāo)軌道的僅測(cè)距相對(duì)導(dǎo)航問(wèn)題，得出了目標(biāo)軌道的非零偏心率可以排除“退化”的鏡像軌道，但保形鏡像軌道依然存在的結(jié)論[10]。Christian在Clohessy-Wiltshire(C-W)動(dòng)力學(xué)下研究了僅測(cè)距初始定軌與實(shí)時(shí)導(dǎo)航問(wèn)題，提出了采用軌道機(jī)動(dòng)去模糊從而實(shí)現(xiàn)僅測(cè)距導(dǎo)航的方法[11]。然而，在未知相對(duì)軌道的情況下進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)給交會(huì)對(duì)接帶來(lái)了潛在碰撞風(fēng)險(xiǎn)以及額外的燃料消耗。

現(xiàn)有的僅測(cè)距方法研究中，都是在假定測(cè)距傳感器在航天器質(zhì)心安裝的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)的。然而，在實(shí)際工程中很難將測(cè)距傳感器在航天器質(zhì)心安裝，進(jìn)而質(zhì)心安裝的假定具有一定的局限性，即只能在遠(yuǎn)距離交會(huì)時(shí)近似成立，在近距離交會(huì)時(shí)這種假定會(huì)帶來(lái)定軌不確定性，即出現(xiàn)桿臂效應(yīng)問(wèn)題。而本文正是利用桿臂效應(yīng)解決僅測(cè)距相對(duì)定軌的模糊性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)將帶來(lái)不確定性的因素轉(zhuǎn)化為確定狀態(tài)的充分條件。文章首先給出采用的坐標(biāo)系定義和相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)僅測(cè)距相對(duì)定軌解的模糊性問(wèn)題進(jìn)行分析；然后詳細(xì)推導(dǎo)基于傳感器偏置桿臂效應(yīng)的僅測(cè)距相對(duì)定軌算法；最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提算法的有效性，并分析定軌性能。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

首先以右手準(zhǔn)則建立第二軌道坐標(biāo)系LVLH。航天器A的質(zhì)心為原點(diǎn)，定義地心指向航天器A質(zhì)心的方向?yàn)閤軸，軌道面內(nèi)垂直于x軸指向A的速度方向?yàn)閥軸，z軸滿(mǎn)足右手定則。

在近地近圓軌道、兩航天器之間的距離遠(yuǎn)小于軌道半徑且不考慮相關(guān)攝動(dòng)的的假設(shè)前提下，航天器A與B之間的軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以由Clohessy-Wiltshire方程進(jìn)行建模[12-13]，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型如下[14]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，ω是航天器A的軌道角速率，不失一般性情況下假設(shè)近圓軌道的ω為定值。

2 僅測(cè)距定軌的模糊性分析

在航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)應(yīng)用中，相對(duì)距離信息的測(cè)量可以通過(guò)激光測(cè)距儀、無(wú)線電通信TOA等方式完成。假設(shè)測(cè)距傳感器(激光或無(wú)線電接收端)在LVLH坐標(biāo)系下的位置為ra=[xa,ya,za]T，并且該傳感器與航天器A相固聯(lián)。該傳感器可以測(cè)得任意時(shí)刻與航天器B的相對(duì)距離ρ(t)，如圖1所示。

根據(jù)三角幾何關(guān)系可以得到

(6)

由式(2)～(5)，可知軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與軌道面外的相對(duì)運(yùn)動(dòng)之間獨(dú)立。所以令

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

于是式(6)可以改寫(xiě)為

(12)

其中

(13)

(14)

定義矩陣Mxy為4×4矩陣

(15)

定義矩陣Nz為2×2矩陣

(16)

于是式(14)改寫(xiě)為

(17)

當(dāng)za=0，有

(18)

根據(jù)式(16)與(18)可得：矩陣Nz是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的半正定矩陣，并且矩陣的秩為2。所以，如果γ0是定軌的一個(gè)解，那么(-γ0)必定也是定軌的一個(gè)解，并且這兩個(gè)解在任意時(shí)刻均會(huì)產(chǎn)生相同的測(cè)距結(jié)果，即

(19)

因此，若za=0，那么定軌的解，即航天器B的初始狀態(tài)必然呈現(xiàn)多解。同樣地，由式(13)可以得到：若xa=0且ya=0，那么定軌必然也會(huì)呈現(xiàn)模糊性。文獻(xiàn)[11]當(dāng)中所論證的多解情況，是xa、ya、za全部為零的特殊情況，即收發(fā)信號(hào)的傳感器位于航天器A的質(zhì)心。

此外，當(dāng)測(cè)距傳感器在LVLH系中的方位時(shí)刻指向航天器B，則有

ra=kx

(20)

(21)

此時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可知該情況仍存在模糊性問(wèn)題。然而在實(shí)際飛行過(guò)程中，測(cè)距傳感器很難一直精確指向目標(biāo)航天器的質(zhì)心，所以本文后續(xù)的討論中將假設(shè)這種情況不存在。

因此，僅測(cè)距的初始相對(duì)定軌解不存在模糊性的必要條件是“za≠0且xa與ya不全為零”。

3 基于桿臂效應(yīng)的僅測(cè)距解析定軌算法

將式(1)代入式(6)中，得到

Esinωt+Fcosωt+Gsin2ωt+Hcos2ωt+I

(22)

其中，系數(shù)A～I(xiàn)分別為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

由于等式(22)右側(cè)，9個(gè)關(guān)于時(shí)間t的基函數(shù)線性無(wú)關(guān)，故系數(shù)A～I(xiàn)為定值。式(23)～(26)可改寫(xiě)為

(32)

(33)

(34)

(35)

由式(32)可得

(36)

將式(36)代入式(35)，可以得到

(37)

將式(36)代入式(34)，可以得到

(38)

由(36)與(38)式，可以得到

(39)

(40)

再由(33)可得

(41)

將式(37)～(41)分別代入至式(27)和式(28)中，有

(42)

(43)

至此得到了航天器B的初始狀態(tài)x(0)

(44)

由式(44)可知，初始軌道狀態(tài)x(0)存在兩組解。下面通過(guò)式(28)～(31)排除其中的鏡像解，由此避免解的模糊性。

分別將式(44)當(dāng)中的兩組解代入式(29)當(dāng)中，如果其中一組解滿(mǎn)足該式，而另一組解不滿(mǎn)足，就可以排除多解，得到初始狀態(tài)的真實(shí)解的情況。假設(shè)式(44)當(dāng)中的真實(shí)解為1x(0)，另一組解(多解)為2x(0)，那么當(dāng)

(45)

時(shí)就能排除多解。將式(44)代入式(45)得

(46)

再將式(23)～(31)代入式(46)得

(47)

還可以依據(jù)其他系數(shù)來(lái)排除多解。由式(28)、(30)與(31)得

2(x0xa+y0ya+z0za)]

(48)

綜合上述分析方法，可以得出以下結(jié)論：當(dāng)航天器B相對(duì)于航天器A的軌道為非周期軌道時(shí)，如果收發(fā)信號(hào)的傳感器在LVLH系當(dāng)中的位置滿(mǎn)足以下條件：

①xa≠0且za≠0；

②xa與za不是以下方程組的解；

時(shí)，就可以根據(jù)式(28)～(31)排除式(44)當(dāng)中的一組解，進(jìn)而得到航天器B相對(duì)于A的初始狀態(tài)。

再根據(jù)式(1)即可利用C-W方程得到任意時(shí)刻航天器B相對(duì)于航天器A的位置，實(shí)現(xiàn)相對(duì)定軌。

4 數(shù)值實(shí)例

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，并分析安裝和測(cè)距等不確定性帶來(lái)的定軌誤差，本文進(jìn)行了兩組仿真：1.無(wú)誤差條件下仿真有效性驗(yàn)證；2. 不確定條件下仿真定軌誤差分析。

4.1 無(wú)誤差仿真

4.1.1參數(shù)設(shè)置

4.1.2仿真結(jié)果與分析

首先需要在不同的時(shí)刻對(duì)航天器B到傳感器的相對(duì)距離進(jìn)行9次測(cè)量，根據(jù)式(22)求解出9個(gè)系數(shù)A～I(xiàn)；此后利用式(44)求解出兩組不同的初始狀態(tài)；最后通過(guò)式(28)～(31)排除多解，得到航天器B的初始狀態(tài)。

為了避免求解系數(shù)A～I(xiàn)時(shí)出現(xiàn)奇異，測(cè)距的時(shí)間間隔不能為(T/4)及其整數(shù)倍，同時(shí)測(cè)距時(shí)間間隔也不能過(guò)短。

相對(duì)軌道為跳躍軌道和共橢圓軌道的仿真結(jié)果見(jiàn)表2所示。

對(duì)比仿真結(jié)果與初始位置的真值可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于跳躍軌道與共橢圓軌道這兩種非周期軌道，該算法的結(jié)果與理論值符合較好。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters setting

表2 無(wú)誤差仿真結(jié)果Table 2 Simulation results for error-free cases

4.2 不確定條件下的定軌仿真

4.2.1參數(shù)設(shè)置

采用與4.1.1節(jié)中相同的初始軌道等參數(shù)。此外，假設(shè)在組裝航天器A時(shí)，傳感器的位置存在1%的常值安裝誤差，即Δra=(0.003,0.006,0.006)T；假設(shè)傳感器測(cè)距時(shí)，存在測(cè)距常值偏差Δρ和服從正態(tài)分布的測(cè)距隨機(jī)偏差ΔρN。它們滿(mǎn)足

Δρ=0.01, ΔρN～N(0,0.012)

其中，速度單位均為m/s，長(zhǎng)度單位均為m。

4.2.2仿真結(jié)果與分析

為了使相對(duì)定軌結(jié)果更加準(zhǔn)確，假定在每一次定軌過(guò)程中均測(cè)量100次相對(duì)距離的值，其中相鄰兩次測(cè)量的時(shí)間間隔為100秒。利用這100次測(cè)距結(jié)果，通過(guò)最小二乘的方法，得到系數(shù)A～I(xiàn)較為精確的值。進(jìn)行2000次Monte Carlo打靶仿真，圖2和圖3分別表示了相對(duì)軌道為跳躍軌道時(shí)，航天器B的6個(gè)初始軌道參數(shù)的帶誤差仿真計(jì)算值與理論

參考值的分布關(guān)系。圖4和圖5展示了共橢圓軌道時(shí)的仿真結(jié)果。對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到了如表3與表4所示的定軌誤差均值以及誤差方差。

從表3和表4可知，不確定條件下x方向與y方向的定軌精度較高，而z方向定軌不確定性較大，這是因?yàn)槎ㄜ壗庵兄挥衵方向的分母中包含偏置量za，za的誤差經(jīng)過(guò)倒數(shù)后會(huì)放大定軌誤差，za越小其誤差放大效果越突出。同時(shí)，對(duì)比跳躍軌道與共橢圓軌道的仿真結(jié)果可知，對(duì)前者的定軌精度要遠(yuǎn)高于后者，主要因?yàn)楣矙E圓軌道時(shí)兩航天器間的相對(duì)距離先減小后增大，有限的傳感器偏置能夠提供的可觀測(cè)度隨著相對(duì)距離的增大而快速下降。

E(δx0)/mE(δy0)/mE(δz0)/mE(x0)/(m·s-1)E(y0)/(m·s-1)E(z0)/(m·s-1)跳躍軌道-8.815886×10-46.189603×10-3-7.00129510-17.731142×10-72.001996×10-66.511063×10-4共橢圓軌道9.043480×10-41.652821×10-3-3.954493×10-2-1.413811×10-7-1.714118×10-64.942361×10-4

表4 初始定軌三軸誤差方差Table 4 Three axes initial orbit determination error deviation

5 結(jié) 論

本文首先在C-W相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了僅測(cè)距相對(duì)定軌當(dāng)中存在的模糊性問(wèn)題。然后基于測(cè)距傳感器偏離航天器質(zhì)心安裝的桿臂效應(yīng)，提出一種解析的僅測(cè)距初始相對(duì)定軌算法，并給出了測(cè)距傳感器的安裝準(zhǔn)則。最后對(duì)所提算法進(jìn)行了無(wú)誤差條件下與不確定條件下的仿真驗(yàn)證，并分析了安裝和測(cè)距等不確定性帶來(lái)的定軌誤差。仿真結(jié)果表明，該算法具有較高的精度與可靠性。