探多解優(yōu)解法 尋變式促提升

楊虎

[摘 要] 數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，它注重學(xué)生縱橫聯(lián)系與一個(gè)“點(diǎn)”及“技能”相關(guān)的知識(shí)的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)合作與探究，提倡同伴間交流、師生間互動(dòng). 數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)常常以一道或幾道題為線(xiàn)索，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行習(xí)題變式，將某一點(diǎn)或一部分知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技能與技巧，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，多角度思考問(wèn)題的意識(shí)，優(yōu)化解題方法，強(qiáng)化發(fā)散與聚合思維的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 多解多變；習(xí)題變式；提升素養(yǎng)

習(xí)題變式課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，它既不同于新授課，也不同于復(fù)習(xí)課.新授課教學(xué)目標(biāo)更集中，只是解決知識(shí)上的一個(gè)或幾個(gè)“點(diǎn)”；復(fù)習(xí)課是根據(jù)學(xué)生的基本情況而定，通過(guò)學(xué)生的再認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐，進(jìn)一步提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 而利用變式進(jìn)行習(xí)題課則更應(yīng)注重學(xué)生縱橫聯(lián)系與一個(gè)“點(diǎn)”及“技能”相關(guān)的知識(shí)的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)合作與探究，提倡同伴間交流、師生間互動(dòng)，以一道或幾道題為線(xiàn)索，將某一點(diǎn)或一部分知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技能與技巧，從而強(qiáng)化發(fā)散與聚合思維的提升. 如果數(shù)學(xué)變式習(xí)題課教學(xué)拿捏到位、引導(dǎo)有方，那么對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)往往能夠起到良好的效果. 經(jīng)驗(yàn)表明，讓學(xué)生自主表達(dá)對(duì)變式習(xí)題課的理解，教師積極啟發(fā)，給予學(xué)生必要的幫助，是一種行之有效的教學(xué)策略. 本文將一節(jié)以代數(shù)式的最值問(wèn)題為線(xiàn)索展開(kāi)的變式習(xí)題課教學(xué)的主要片段做一展示，并對(duì)數(shù)學(xué)變式教學(xué)進(jìn)行思考，也是對(duì)筆者承擔(dān)的2017年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)策略研究”在實(shí)踐中的一次應(yīng)用探索.

教學(xué)變式課題引入——一道競(jìng)賽最值題

師：同學(xué)們，今天我們將從一道代數(shù)最值問(wèn)題開(kāi)始這堂課的探究之旅，請(qǐng)同學(xué)們看下面的這道例題（板書(shū)）：

題目：（2016年甘肅省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第1題）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值為_(kāi)_________.

眾生：觀察題目，進(jìn)行思考.

師：有一類(lèi)題目常會(huì)出現(xiàn)“最大”“最小”“最多”“最少”“至多”“至少”這樣的字眼，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為最值問(wèn)題. 最值問(wèn)題在歷年的高考試題中也都有所涉及，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中最值問(wèn)題更是受到命題者的青睞，這道題目就是甘肅省2016年的高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.作為最值問(wèn)題它經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式、向量、幾何等知識(shí)交匯，以一些基礎(chǔ)題或小綜合的中檔題出現(xiàn). 由于其解法比較靈活，對(duì)綜合知識(shí)及能力要求也較高，所以對(duì)最值問(wèn)題的解決，需要掌握數(shù)學(xué)各分支知識(shí)，綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)基本技能，選擇適當(dāng)合理的解題方法. 同學(xué)們覺(jué)得這道題目該從哪里入手比較好呢？

眾生：應(yīng)該利用基本不等式來(lái)解決……換元應(yīng)該會(huì)更好……如何換元呢？

大家開(kāi)始竊竊私語(yǔ)，有的學(xué)生躍躍欲試. 全國(guó)各地的中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，預(yù)賽的試題難度基本與高考試題難度相仿，特別是高考中的一些壓軸題常常是競(jìng)賽一試試題改編或者由某一問(wèn)演變而來(lái)，所以探索競(jìng)賽題對(duì)高考也是一種很好的指導(dǎo)，可以居高臨下，占據(jù)制高點(diǎn)進(jìn)行探究學(xué)習(xí).

教學(xué)片段展示及感悟

1. 教學(xué)片段1：同合作共交流，探多解優(yōu)解法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們常常有這樣一種理念，與二輪復(fù)習(xí)要把書(shū)“讀薄”不同的是在一輪復(fù)習(xí)中更需要我們把書(shū)“讀厚”，從一個(gè)點(diǎn)延伸到一條線(xiàn)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探索，從一條線(xiàn)再到一個(gè)面，縱橫聯(lián)系使孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，探索不同的解題思路與解題方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的博大精深.

師：請(qǐng)同學(xué)們自己先盡量用多種方法探索求解，然后按照我們以前上課時(shí)的分組在小組內(nèi)交流，比較哪種方法好，比較自然.

眾生：探索求解，小組交流，討論.（教師巡視，指導(dǎo)）

師：下面請(qǐng)各小組選一名代表展示解法.

眾生：積極思考.

生7的發(fā)言顯然是受到生6的啟發(fā)，在相互交流與討論中，學(xué)生們的思想在碰撞，創(chuàng)新的火花也在不斷顯現(xiàn)，生8在與同學(xué)的討論中得到了一種新穎的解法——和差代換法，得到了學(xué)生們熱烈的掌聲.

師：同學(xué)們展示的解法都很好，再想想有沒(méi)有別的解法？

眾生：搖頭.

看著有些學(xué)生搖頭，也有的學(xué)生又陷入沉思，欲言又止，筆者突然想起孔子提出的最佳教學(xué)時(shí)機(jī)：“不憤不啟，不悱不發(fā).” “憤”是學(xué)生對(duì)問(wèn)題積極思考，急于解決而未能弄懂時(shí)的矛盾心理狀態(tài)；“悱”是學(xué)生對(duì)問(wèn)題已有所思考，想說(shuō)又難以表達(dá)的另一種矛盾心理狀態(tài). 二者都蘊(yùn)含著學(xué)生解決矛盾時(shí)的需要和強(qiáng)烈的求知欲，于是筆者借機(jī)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思考探索.

師：同學(xué)們可以從構(gòu)造法這方面思考，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有.

眾生：構(gòu)造？（沉思，交流想法）

師：是的，比如構(gòu)造我們以往解決一些代數(shù)式問(wèn)題時(shí)的方法——構(gòu)造齊次式，或者從既可以像數(shù)一樣滿(mǎn)足“運(yùn)算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的坐標(biāo)運(yùn)算，又可以利用其幾何意義進(jìn)行幾何形式的恒等變換的“向量”入手呢？

眾生：表情豐富，臉上寫(xiě)滿(mǎn)了喜悅. （掌聲）

師：同學(xué)們表現(xiàn)很棒！下面請(qǐng)大家對(duì)以上解法進(jìn)行評(píng)價(jià)，看哪一種解法較好、較自然.

在學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透進(jìn)評(píng)價(jià)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓評(píng)價(jià)來(lái)促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)解法的比較，培養(yǎng)學(xué)生的理性批判思維及養(yǎng)成解后反思的良好習(xí)慣.

生10（五組）：我認(rèn)為一組和二組的解法較好，這是解決最值問(wèn)題的常用方法，由均值不等式便可以消去項(xiàng)“xy”，化成關(guān)于“（x+y）2”的不等式，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.

生11（二組）：我覺(jué)得三組的解法最簡(jiǎn)單，柯西不等式可以說(shuō)是求解最值問(wèn)題的一把“利劍”，只要配湊合理，運(yùn)用得當(dāng)，常常是“一招制敵”.

生12（六組）：我認(rèn)為四組的解法較自然，這種解法雖然從代數(shù)換元入手，但是其實(shí)質(zhì)是方程思想的體現(xiàn)，通過(guò)構(gòu)造了一元二次方程，利用判別式使得求解思維常規(guī)化.

生13（一組）：我認(rèn)為五組的解法中的和差代換法較新穎，同樣是代數(shù)換元這里由于利用了和差代換，所以x+y還是可以用含一個(gè)變量a的式子表示，視角不同，換的“元”不同，效果亦然不同.

生14（三組）：我認(rèn)為三角換元更好，通過(guò)對(duì)已知等式配方，創(chuàng)造了三角換元的條件，顯然運(yùn)算要比代數(shù)換元簡(jiǎn)捷一些，不失為本題的最佳解法.

生15（一組）：我們一組的構(gòu)造齊次式求解更好，通過(guò)對(duì)“1”的代換，構(gòu)造條件和問(wèn)題的齊次式，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的問(wèn)題，從而順利求解. 當(dāng)然在構(gòu)造齊次式后也可以利用方程思想，由判別式求解.

師：同學(xué)們分析得很好，對(duì)每種解法分析理解得很透徹！通過(guò)比較、分析，其實(shí)每種解法各有千秋，他們分別是從不同的角度進(jìn)行思考的，這也給了我們很好的啟示：在解題時(shí)首先要認(rèn)真審題，觀察題目的特征，其次要結(jié)合自己的知識(shí)儲(chǔ)備，靈活選取合適的解題方法，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)解題.特別是在復(fù)習(xí)階段，知識(shí)高度交會(huì)，一道題目能夠融入多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，利用多種方法解決.可以說(shuō)沒(méi)有某道題的最好解法，只有每個(gè)人的自然解法，最優(yōu)解法.

感悟：變式教學(xué)離不開(kāi)師生的合作與探究，在合作與探究中一方面強(qiáng)調(diào)通過(guò)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，把問(wèn)題看做是學(xué)習(xí)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習(xí)過(guò)程的主線(xiàn)；另一方面通過(guò)學(xué)習(xí)來(lái)生成問(wèn)題，把學(xué)習(xí)過(guò)程看成是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，比如在本例中對(duì)這道代數(shù)式最值題解法的探究就是這節(jié)課的主線(xiàn)，由此引出了學(xué)生的探究之旅. 而在探究的過(guò)程中，教師要善于為學(xué)生提供盡可能多的機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生探究，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再通過(guò)與同伴的交流，共同討論，相互啟發(fā)，從而達(dá)到提升的目的；同時(shí)教師要給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)寬松、和諧、民主的心理氛圍，給學(xué)生心理安全感，而心理安全、心理自由正是學(xué)生主動(dòng)探索、合作交流的搖籃. 在變式教學(xué)中通過(guò)多解探索、變式探索灌輸給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)高層次的概括和抽象，利用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)變式學(xué)習(xí)，可以提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的效率，達(dá)到事半功倍的效果.但是數(shù)學(xué)思想不是游離于數(shù)學(xué)知識(shí)之外，而是滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程中的，這就要求教師在變式教學(xué)中要有目的地引導(dǎo)學(xué)生，師生合作、生生交流，讓學(xué)生通過(guò)探思路、尋解法，展示思維的形成過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知達(dá)到一個(gè)新的層次高度.

2. 教學(xué)片段2：順勢(shì)導(dǎo)試改編，尋變式促提升

師：剛才我們對(duì)這道題目的解法進(jìn)行了探索、討論、求解，下面我們來(lái)試著進(jìn)行變式訓(xùn)練，看哪位同學(xué)編的問(wèn)題新穎、獨(dú)特.

眾生：積極思考，探究. （教師巡視，時(shí)而回答學(xué)生提出的問(wèn)題，時(shí)而參與學(xué)生的討論、交流）

生16：改變題目的條件得到變式1：若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2+4x=-1，則x+y的最值為_(kāi)_________.

師：很棒，其他同學(xué)呢，請(qǐng)將改編的題目展示一下.

通過(guò)探索討論，歸納整理，邀請(qǐng)變式題目編寫(xiě)比較有代表性的生17到黑板前展示：

生17：改變題目的問(wèn)題得到變式2：若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2+xy=1，則x2+y2的最值為_(kāi)_________.

師：可以看出以上兩位同學(xué)是從改變題目的條件與問(wèn)題入手的，能不能將題目的條件與問(wèn)題都進(jìn)行改編呢？

生18：對(duì)題目的條件與問(wèn)題都變化得到變式3：若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x2+y2-xy=25，則3x2+y2的最值為_(kāi)_________.

師：很好，這幾個(gè)變式都很有特點(diǎn)，請(qǐng)大家談?wù)勛约簩?duì)這幾個(gè)變式題解法的理解.

生19：通過(guò)初步試探變式1利用換元、判別式、柯西不等式、數(shù)形結(jié)合皆可解.

生20：變式2的解決方法更多，但是變式3除了利用換元與判別式外，其他方法不太好操作.

師：大家分析得很細(xì)致，再看看這幾個(gè)變式題目解法的共性.

生3：以上3個(gè)變式題都可以利用換元法解決，所以通過(guò)換元思想，利用三角換元是解決以上問(wèn)題較為“簡(jiǎn)單”的方法，也是通法之一.

眾生：贊同生3的說(shuō)法.

師：那幾位同學(xué)利用三角換元對(duì)這3個(gè)變式題進(jìn)行解答，展示一下.

師：很棒！在以上的變式探索中，同學(xué)們思維活躍，表現(xiàn)積極，充分發(fā)揮了你們的聰明才智，改編的變式題目都很獨(dú)特，由于時(shí)間關(guān)系個(gè)別同學(xué)的成果還沒(méi)有得到展示，課后我們?cè)俳涣饔懻?

感悟：“變式”在心理學(xué)認(rèn)為，其含義是變換材料的出現(xiàn)形式.在教學(xué)中是指教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知事物屬性的過(guò)程中，不斷變更所提供的直觀材料或者事例的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而本質(zhì)屬性保持恒定. 在本例中，通過(guò)改變題目的條件、改變題目的問(wèn)題或者把題目的條件與結(jié)論同時(shí)改變，讓學(xué)生由對(duì)一道題目的探索求解達(dá)到“會(huì)一片通一類(lèi)”的目的，整個(gè)過(guò)程應(yīng)遵循“目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過(guò)程、主體參與、探索創(chuàng)新”的教學(xué)原則，以提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

教學(xué)反思

1. 變式教學(xué)有利于師生優(yōu)化解法增強(qiáng)解題能力

一題多解與一題多變是數(shù)學(xué)變式教學(xué)的有效模式，數(shù)學(xué)教學(xué)如果少了解題，就顯得索然無(wú)味；數(shù)學(xué)教師如果不善于解題，課堂也會(huì)蒼白無(wú)力，所以解題是數(shù)學(xué)教學(xué)少不了的元素.而于教師而言，進(jìn)行解法探索、一題多解是教師優(yōu)化解題、善于解題，提升教學(xué)基本功的有效手段；于學(xué)生而言，對(duì)解題進(jìn)行全方位思考，對(duì)解法進(jìn)行多角度探索、比較，有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng).在本題解法探索中，作為教師還可從復(fù)數(shù)的角度，甚至其他高等數(shù)學(xué)知識(shí)層次再思考；從學(xué)生出發(fā)我們則更應(yīng)該關(guān)注哪一種方法是相對(duì)簡(jiǎn)單的，哪一種方法是學(xué)生最容易想到的、最自然的、最優(yōu)的. 簡(jiǎn)單可以以運(yùn)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)、思維含量的大小來(lái)衡量，自然解法則就因人而異了，與解題者的知識(shí)儲(chǔ)備、經(jīng)驗(yàn)等諸多因素有關(guān)，所以只有在一題多解、進(jìn)行解法探索的過(guò)程中，我們才能體會(huì)、比較哪種解法較簡(jiǎn)單，哪種思路最能引起學(xué)生思維的碰撞共鳴而成為最優(yōu)解法.

解法探索是尋求一題多解，變式探索是追求多題歸一. 一題多解、一題多變也是很多教師平時(shí)解題教學(xué)較多采用的方法之一，特別是一題多變、多解歸一，從一道題到一類(lèi)題，從特殊到一般，在解一類(lèi)題的實(shí)踐與探索中尋求解決問(wèn)題的一般思路，歸納一般規(guī)律，形成一般思想與方法，讓教師更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)，更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)與思考；讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.？搖

2. 變式教學(xué)有利于突出學(xué)生的主體地位，提升思維能力

首先，變式教學(xué)較好地體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念. 變式教學(xué)注重以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，從精心設(shè)計(jì)問(wèn)題到引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)、展現(xiàn)問(wèn)題形成過(guò)程，注重知識(shí)建構(gòu)、摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、提高應(yīng)變能力、優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求，以知識(shí)變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑. 遵循目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過(guò)程、主體參與、探索創(chuàng)新的教學(xué)原則，以培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的人才為目標(biāo). 它強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要調(diào)動(dòng)學(xué)生的自覺(jué)性、主動(dòng)性實(shí)現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用有機(jī)結(jié)合，可以充分挖掘?qū)W生的潛能，有效地培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、探究能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 所以變式教學(xué)較好地體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念，具有鮮明的時(shí)代性，在課堂教學(xué)中合理地利用變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，是增強(qiáng)“三基”教學(xué)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

其次，變式教學(xué)能有效地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人. 變式教學(xué)就是以學(xué)生的發(fā)展為中心，把知識(shí)從不同的角度、以不同的形式展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入挖掘、思考，注重一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性. 它打破了學(xué)生的定向思維，讓學(xué)生在變式教學(xué)中體會(huì)知識(shí)點(diǎn)的千變?nèi)f化，以更加靈活的方式去學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí). 同時(shí)在變式教學(xué)中師生的關(guān)系也在悄悄發(fā)生轉(zhuǎn)變，教師在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中學(xué)會(huì)了反思，重新認(rèn)識(shí)學(xué)生，更加尊重學(xué)生人格，關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，以滿(mǎn)足不同學(xué)生發(fā)展的需要；重新審視自己，努力實(shí)現(xiàn)自身角色轉(zhuǎn)換.通過(guò)變式教學(xué)，教師不僅僅是知識(shí)的傳授者，更是要做學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者. 在引導(dǎo)與合作中拉近了與學(xué)生的關(guān)系，建立起積極參與共同發(fā)展的、平等的師生關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位不斷地增強(qiáng)，使得讓每個(gè)學(xué)生在課堂中都能夠獲得成功的體驗(yàn)成為可能.