高中數(shù)學運算能力培養(yǎng)路徑探索

林傳利

（連江第一中學，福建 福州350500）

一、識記定理公式，夯實運算基礎

與初中數(shù)學相比，高中數(shù)學概念多抽象性強，公式和定理多，且運算量與思維量大，面對公式如何能更好的識記并應用，如何更好要熟練掌握公式的變形和逆用。在新課講授時，盡可能創(chuàng)設情景產(chǎn)生知識沖突，急需引入新的公式和定理，方可解決所遇問題。通過具體典例不斷鞏固，加強辨析，強化記憶，才能熟能生巧，信手拈來。教學時師生對知識產(chǎn)生過程進行共同推導和總結，通過類比，抓住特征，從而不斷夯實基礎，真正做到根深葉茂。

在利用導數(shù)知識來研究切線、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題時，學生對解決問題的基本思路是清晰的，先考慮函數(shù)定義域再求函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的正負值來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求函數(shù)的極值、最值。但在解題過程中最關鍵地是正確求出導函數(shù)，而求導函數(shù)有八個公式四個運算法則，往往還要涉及復合函數(shù)的求導問題，這都會給學生造成一定的障礙。

教師要注重每次考試或練習中學生出現(xiàn)問題的講評，師生共同分析是什么原因造成的，學生的失分點就是教學的關注點、重點。有些問題雖已強調(diào)多次，學生上課似乎也聽懂了，但在考試中還是暴露出基礎不扎實，對題中易錯點不能很好掌握。例如已知函數(shù)f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e],a∈R，當a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。此題是常規(guī)問題難度不大，學生能很好形成解題思路，但有一部分學生不能正確求出導函數(shù)，主要是沒有把1n(2x)看成復合函數(shù)而當作初等函數(shù)求導，從而得到導致一步算錯步步錯，非常地可惜。所以教學中不能僅僅停留在“同學們，要好好算”這樣正確的廢話上，而是精心挑選典型例題，盡可能為學生設置一些易錯點，讓學生自已去闖、去體驗，然后總結經(jīng)驗與教訓，吃一塹長一智，爭取不犯類似錯誤。

二、選擇合理算法，優(yōu)化運算過程

在解答選擇、填空題時要根據(jù)題目所給條件選擇不同的方法，盡量多思少算，提高解題速度，節(jié)約一定的解題時間。教學中要訓練學生可以從多角度、多方位去尋找解決問題的方法，可選用排除法、特例法、驗證法、估算法、數(shù)形結合法等方法。［1］解答時認真審題，充分挖掘題目中隱含條件，利用已知條件與性質，減少不必要的運算。拓寬解題思路，通過比對，不斷提煉，引導學生總結解題規(guī)律，形成技能。在平常教學或課外練習，要精心選擇典型例子，巧用一題多解滲透數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

在解決數(shù)學問題中，常遇到學生運算方向不合理，運算對象不清晰。如何提高運算的合理性，是教學中應關注的一個難點，如果運算方向正確，選擇合適方法可提高解題的正確率，還大大提高解題效率。下面是一道單元測試的填空題講解的課堂實錄。

如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方從1按箭頭方向可以構成一個“鋸齒形”的數(shù)形{an}。1，3，3，4，6，5，10，…記其前n項和為Sn。則S21的值是____？

學生1：拿到題目，通過觀察發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列可分成求奇數(shù)項和與偶數(shù)項和，然后再將兩個結果加起來。奇數(shù)項構成的新數(shù)列為1，3，6，10…66，偶數(shù)項構成數(shù)列是3，4，5，6，…12，而奇數(shù)項后一項減前一項是一個等差數(shù)列，偶數(shù)項是以3為首項，以1為公差的等差數(shù)列。從而可以將奇數(shù)項所有項寫出來并求得286，而偶數(shù)項的和為75，所以S21=361。

師：如果本題改為求前41項之和？那奇數(shù)項又是多少？

學生2：設奇數(shù)項構成新數(shù)列記為{bn}，則b2-b1=2，b3-b2=3，b4-b3=4，…，bn-bn-1=n由累加法得數(shù)列{bn}的通項再利用分組求和辦法可得286，偶數(shù)項和為75。若求前41項之和思路一樣。

師：這給大家提供一種求此類問題的一般性方法，很棒！

學生3：上面方法運算過程相對有點復雜，若將所有項一一寫出來有難度，方法二用分組求和后的求解過程也不易。本題可以利用二項式系數(shù)性質來求解……

在解題教學中，引導學生解后反思，不能滿足于解出答案，要搞清命題意圖，想考查什么，是否還有更簡捷的方法，蘊含什么算理、算法。講解時不能只感動教師自已，讓學生感到教師方法的妙，而要從不同角度進行分析，抓住問題本質，拓寬解題視野，不斷優(yōu)化運算過程。

三、重視變式訓練，提升運算思維

教學中要重視教材中例題與習題，這些題目是編寫者為配合基本知識精心挑選的，具有很強的代表性和導向性。教學時要注重對題目進行挖掘，最簡單地就把條件與結論進行對調(diào)，或者改變條件范圍。當然如何進行改編、嫁接、加工，需要教師平時勤閱讀，多積累，隨時記錄，善于總結并實現(xiàn)知識遷移。在學習“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質時，教材先用賦值法令x=1從而得出展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。為進一步加深理解二項式系數(shù)之和與項的系數(shù)之和等相關知識，通過下列變式進行訓練。

本題關鍵是弄清所求是哪些項的系數(shù)，利用賦值法來求解相對較為容易。第一問是求常數(shù)項系數(shù)，與x無關令x=0得到a0=2100；第二問求得是所有項的系數(shù)的和，令x=1就可得到；第三問通過觀察，可由奇次項的系數(shù)和為同理可求偶次項的系數(shù)和為所賦的值應根據(jù)所求展開式的系數(shù)和的特征來確定，有了前面的鋪墊教學，學生還是能較好地掌握好。

本題要求系數(shù)最大的項關鍵是先要求出n的值，然后利二項展開式的通項公式來求。實際上是如何求出由通項公式可知所有奇數(shù)項的系數(shù)為正，所有偶數(shù)項的系數(shù)為負，加了絕對值之后就是展開式的所有系數(shù)之和2n，故由2n=128得n=7。題目再改為展開式中偶數(shù)項二項式系數(shù)的和比(a+b)n展開式的各項系數(shù)和大112？利用偶數(shù)項二項式系數(shù)的和是所有二項式系數(shù)和的一半，可列式22n-1=2n+112從而解出n=4，其他問題就迎刃而解了。

變式3：已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+ …+a7x7，求代數(shù)式+2a1a3+…+7a1a7的值。

學生看到題目會想到提取a1得到a1(a1+2a2+3a3+…+7a7)，但又不能直接利用賦值法來求a1，有學生提出利用通項公式先求出a1，分別求出a2,a3,…,a7，想到計算量太大就放棄了。進一步引導學生觀察所求式子結構特征，引導學生思考這個式子怎樣才能得到，聯(lián)想到冪函數(shù)求導公式，將等式兩邊分別求導可得7×(-2)×(-2x)6+a1+2a2x+3a3x2+… +7a7x6，令x=0得a1=-14，令x=1得a1+2a+3a3+…+7a7=-14從而求得代數(shù)式為196。

通過上面幾個變式訓練，讓學生進一步認識到求二項展開式系數(shù)的問題時，本質上都采用賦值法和二項式系數(shù)和公式來解決相關問題。教學中要充分考慮學生思維漸變過程，不宜操之過急應適時減慢教學速率。變式訓練由易到難，先簡單的模仿，不斷加強題目限制條件，引導學生思考進行思想碰撞，真正內(nèi)化所學內(nèi)容。

數(shù)學運算是學好數(shù)學的基礎，是分析、解決數(shù)學問題一項基本技能。［2］在日常教學中教師要有意識多引導，通過多種形式進行訓練，讓學生多思、多想、多算，加大動手演算能力，逐步培養(yǎng)學生恒心、耐心和毅力等品質。而數(shù)學運算能力的提升是一個循序漸進的過程，需要長期訓練，日積月累，做教與學的有心人。