基于快速響應的導航星座重構構型設計

趙 雙 ，張雅聲，戴樺宇

0 引 言

星座從初始構型變換到另一種構型，稱之為星座構型重構[1].當星座中出現(xiàn)故障衛(wèi)星或者星座任務發(fā)生變化時一般會通過在軌資產響應或地面資產響應的方式對星座構型進行調整來改善和恢復星座性能.

文獻[2]針對連續(xù)多顆衛(wèi)星失效的情況，以最大不可視時間為評價指標，提出了調整相鄰衛(wèi)星、均勻相位和均勻星座3種星座重構策略綜合考慮燃料消耗和重構時間，提出了以總重構時間最小為優(yōu)化目標的衛(wèi)星星座快速重構構型優(yōu)化設計方法.文獻[3]針對全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)在部分衛(wèi)星失效的情況下，通過調整剩余衛(wèi)星的軌道進行星座重構，達到降低失效影響、優(yōu)化地面導航性能的目的.文獻[4]研究了將GPS從6軌道面變換到3軌道面時，對星座性能影響最小的構型變換重構控制策略.文獻[5]研究了混合導航星座的中高軌道子星座重構策略和同軌道面內重構的方法，分析了重構優(yōu)化目標與方法.

上述重構方法均屬于在軌資產響應的范疇.通常認為在軌資產的響應速度要比地面資產的響應速度快，然而事實卻正好相反.一方面，在軌運行的航天器其運行速度往往都很大，要改變其運行狀態(tài)必然要付出很大的代價[6]；另一方面，地面快速響應可以相對自由地選擇航天器的發(fā)射時間、發(fā)射地點和運行軌道，與空間快速響應相比完成相同任務所耗費的時間要更短，所以本文提出基于地面快速響應的導航星座構型重構方法，并針對快速響應任務中的相關特性進行分析.包括快速響應任務中的發(fā)射方式、入軌方式以及響應時間，建立了基于快速響應任務的導航星座重構構型設計，并利用NSGA-Ⅱ算法對重構模型進行求解.

1 快速響應任務中的軌道設計

1.1 發(fā)射方式

快速響應衛(wèi)星的發(fā)射方式一般可分為：定點發(fā)射和機動發(fā)射[7].

(1)定點發(fā)射

定點發(fā)射是指在固定的發(fā)射場通過運載器將衛(wèi)星送入預定軌道.定點發(fā)射的發(fā)射時間一般包括發(fā)射準備時間和發(fā)射等待時間.其中發(fā)射準備時間是指從任務下達開始到完成發(fā)射設備進場和調試所耗費的時間，發(fā)射等待時間則是完成發(fā)射準備后等待發(fā)射窗口所需要的時間，不考慮升軌發(fā)射和降軌發(fā)射的區(qū)別，發(fā)射等待時間可以定義為從發(fā)射準備完成開始到發(fā)射場依靠地球自轉第一次穿越快速發(fā)射軌道平面所經歷的時間.定點發(fā)射由于受限于發(fā)射場地理位置，只能被動的等待發(fā)射窗口來臨.假設發(fā)射場E的地理經緯度為(λE,ψE)，當快速發(fā)射軌道的升交點赤經Ω∈[0°,180°]時，發(fā)射等待時間可由式(1)得到：

tw=

(1)

(2)機動發(fā)射

機動發(fā)射是指通過飛機、艦船、發(fā)射車等載體將運載器機動至某一指定位置，然后通過運載器將衛(wèi)星送入預定軌道.與定點發(fā)射相比，機動發(fā)射的發(fā)射地點并不局限于某一固定位置，而且機動發(fā)射具備靈活、機動、反應速度快、主動性強的顯著優(yōu)勢，在一些應急情況和對響應時間要求較高的空間任務中運用比較普遍.由于不受地理位置的限制，機動發(fā)射可以很大程度上縮減發(fā)射等待時間.如果發(fā)射區(qū)域無限制，可以認為：

tw=0

(2)

除此之外，機動發(fā)射同時也可以執(zhí)行定點發(fā)射的任務.

1.2 入軌方式

衛(wèi)星的入軌方式一般可以分為兩類：直接入軌、間接入軌.

(1)直接入軌

直接入軌是指通過運載器的連續(xù)工作將衛(wèi)星從發(fā)射點送入預定軌道.這種方式簡單直接而且具備一定的應急響應能力，但由于運載器本身所攜帶的燃料有限，采用直接入軌的衛(wèi)星其軌道高度一般較低.衛(wèi)星直接入軌的示意圖如圖1所示.

圖中點L、I分別為衛(wèi)星的發(fā)射點和入軌點，σL、σS分別對應衛(wèi)星發(fā)射軌道和預定軌道，βL為衛(wèi)星發(fā)射段地心角，所對應的時間tL為衛(wèi)星發(fā)射段飛行時間.當衛(wèi)星采用直接入軌方式入軌時，衛(wèi)星的入軌段地心角與入軌時間與發(fā)射段地心角和發(fā)射段飛行時間相等.

直接入軌過程中當發(fā)射軌道與預定軌道共面時，與非共面相比由于在入軌點不需要進行軌道面的調整，此時發(fā)射段消耗的能量將顯著減少，所以對于直接入軌的衛(wèi)星一般其發(fā)射軌道與預定軌道處于同一平面內.對于發(fā)射軌道與預定軌道共面的情況，根據(jù)發(fā)射軌道是否與預定軌道和地球表面相切而又分為：單共切入軌和雙共切入軌(圖2).

單共切入軌中，發(fā)射軌道的遠地點與預定軌道在入軌點I處相切，在發(fā)射點L處，發(fā)射速度矢量與當?shù)厮矫娴膴A角Θ為發(fā)射速度傾角，當發(fā)射速度傾角給定的條件下，所有發(fā)射軌道中，單共切軌道最省能量.雙共切入軌中，發(fā)射軌道的近地點與地球表面在發(fā)射點L處相切，遠地點與預定軌道在入軌點I處相切.此時發(fā)射段地心角βL=π,與單共切入軌相比由于雙共切入軌對應的發(fā)射段地心角大于單共切入軌，所以雙共切入軌在快速響應能力上比單共切入軌差，由于直接入軌的衛(wèi)星其預定軌道通常離地面較近，不管是采用單共切入軌還是雙共切入軌，發(fā)射軌道的半長軸都相差不大，導致其消耗的能量也較為接近，綜合考慮發(fā)射段的時間和能量，在快速響應任務中普遍采用單共切入軌.單共切入軌中發(fā)射段飛行時間的計算方法如下[7]：

在發(fā)射點和入軌點處有：

(3)

式中fL、fI分別為發(fā)射點和入軌點在發(fā)射軌道上的真近點角，且fL=π-βL、fI=π，ρ為發(fā)射軌道的半通徑，a0為預定軌道的半長軸.通過式(3)可以求得發(fā)射軌道偏心率eL

(4)

發(fā)射點偏近點角：

(5)

發(fā)射點平近點角：

ML=EL-eLsinEL

(6)

發(fā)射軌道半長軸：

(7)

衛(wèi)星入軌時刻：

(8)

其中,tL0為發(fā)射時刻，當發(fā)射段地心角βL和預定軌道半長軸a0已知的條件下，便可以根據(jù)上述方程求得發(fā)射段飛行時間tL.

(2)間接入軌

與直接入軌相比，間接入軌最大的區(qū)別在于增加了自由飛行段，這種入軌方式一般用于對衛(wèi)星入軌相位要求較高的空間任務中，例如空間交會、星座組網(wǎng)等.間接入軌又分為調相入軌、轉移入軌、滑行入軌等多種方式，其中以調相入軌最為常見[8].

調相入軌與轉移入軌相似，調相入軌過程中衛(wèi)星先經歷發(fā)射段進入調相軌道，然后由調相軌道進入預定軌道.調相入軌又分為低軌調相入軌和高軌調相入軌(圖3)，低軌(高軌)調相入軌中衛(wèi)星S在I處施加沖量進入比預定軌道低(高)的調相軌道，然后在調相軌道上運行一圈或數(shù)圈之后，再在I處施加沖量進入預定軌道.此時未進入調相軌道的衛(wèi)星S′在預定軌道上運行相同的時間后，其站位位于衛(wèi)星S之后或之前.

這一過程中，位于初始位置的衛(wèi)星在轉移軌道上等待的圈數(shù)為Ntra,位于目標位置的衛(wèi)星在原始軌道上運行的整圈數(shù)為Norg,完成相位調整所需要的總時間為tM,有：

(9)

式中a0、aM表示原始軌道和調相軌道的半長軸，θ表示從初始位置沿著衛(wèi)星在軌道上的運行方向到目標位置所轉過的角度.

調相入軌中，衛(wèi)星先后經歷發(fā)射段和相位調整段，βL、2kMπ為各階段所對應的地心角，tL、tM為各階段所需要的時間，衛(wèi)星的入軌時間為ti:

(10)

1.3 響應時間

響應時間是快速響應任務的主導量和關鍵參數(shù)，受衛(wèi)星發(fā)射方式、發(fā)射地點、入軌方式等多種因素共同影響[9].通過對快速響應任務中衛(wèi)星的發(fā)射和入軌方式的分析，確定快速響應任務中響應時間的構成如圖4所示.

圖中,tr、tw、ti分別為發(fā)射準備時間、發(fā)射等待時間、入軌時間，各時間段的起止時刻如圖所示.快速響應衛(wèi)星的響應時間tresp:

tresp=tr+tw+ti

(11)

1.4 預定軌道的描述方式

快速響應任務中對預定軌道進行設計時，本文僅考慮偏心率為0的近地圓軌道.在對預定軌道進行描述時，選用軌道半長軸a0、軌道傾角i0、升交點赤經Ω0、入軌點緯度幅角μI4個參數(shù)進行描述.其中入軌點緯度幅角μI的求解方法如下：

假設在軌運行的衛(wèi)星在tB時刻位于軌道上的B點，且B點的赤經和赤緯分別為αB、δB，緯度幅角為μB，軌道在天球上的投影如圖5所示.

在球面直角三角形MBN中有：

sinδB=sinμBsini

(12)

tan(αB-Ω)=tanμBcosi

(13)

若B的地理經緯度為(λB,φB)，則有：

(14)

當采用發(fā)射軌道與預定軌道共面的方式入軌時，發(fā)射軌道與預定軌道在天球上的投影重合，對于發(fā)射點L由式(12)～(14)可以得到：

sinφL=sinμLsini0

(15)

(16)

μI=μL+βL

(17)

所以當發(fā)射點地理位置(λB,φB)和發(fā)射時刻tL0已知的情況下，發(fā)射軌道與預定軌道共面時，可以根據(jù)預定軌道的軌道傾角i0、升交點赤經Ω0和發(fā)射段地心角βL求得衛(wèi)星入軌點I處的緯度幅角μI.

2 基于快速響應的重構構型設計優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化變量

借助快速響應衛(wèi)星來增強和恢復受損星座的服務性能時，發(fā)射的快速響應衛(wèi)星數(shù)以及快速響應衛(wèi)星預定軌道的軌道參數(shù)，直接決定了重構后的星座性能和完成快速響應任務的時間.此外，快速響應衛(wèi)星的發(fā)射方式和入軌方式也影響了優(yōu)化模型中變量的種類和數(shù)量.不同發(fā)射方式所對應的發(fā)射等待時間不一樣，而且發(fā)射點的地理經緯度也會影響預定軌道的軌道參數(shù).

綜上，在基于快速響應的重構構型設計中所涉及的優(yōu)化變量有：

2.2 約束條件

對在軌衛(wèi)星進行相位機動，來調整星座的空間構型時，追求的一般是在任務要求的時間內以消耗能量最少為目的將衛(wèi)星調整至目標位置，但是對于快速響應任務而言，利用調相入軌的方式調整衛(wèi)星入軌時的相位角時，追求的則是在完成相位調整任務的前提下最大程度的縮短相位調整的時間.

假設目標位置的相位角為μt，初始位置的相位角為μ0，從初始位置沿著衛(wèi)星在軌道上的運行方向到目標位置所轉過的角度為Δμ:

(18)

相位調整過程中，目標位置的衛(wèi)星在預定軌道上運行的時間與初始位置的衛(wèi)星在調相軌道上運行的時間相同：

(19)

且有：

(20)

式中，k0為目標位置的衛(wèi)星在預定軌道上運行的整圈數(shù)，在快速相應任務中當a0確定的條件下，要使得相位調整階段所消耗的時間最短，則必須保證在式(19)、(20)成立的條件下，k0取得最小值.聯(lián)立式(20)、(21)可以得到：

k0=

(21)

確定k0之后，根據(jù)式(21)求得調相軌道的半長軸aM以及衛(wèi)星在調相軌道運行的圈數(shù)kM.

2.3 目標函數(shù)

本文在對重構構型進行優(yōu)化時僅考慮重構后的星座性能(目標區(qū)域的平均GDOP值[10-11]，記為Gave)以及快速響應任務的響應時間.對于單顆衛(wèi)星而言，任務響應時間tresp為任務下達開始到快速響應衛(wèi)星進入預定軌道截止所經歷的時間；對于多顆衛(wèi)星而言，任務響應時間Tresp為任務下達開始到所有快速響應衛(wèi)星都進入預定軌道截止所經歷的時間：

(22)

所以目標函數(shù)F(x)為：

minF(x)=(Gave,Tresp)

(23)

此外，當發(fā)射軌道與預定軌道共面時，由于受發(fā)射點地理位置的限制，當發(fā)射點的地理緯度為φL時，此時該點所能發(fā)射的快速響應軌道的軌道傾角i∈[φL,π-φL]，所以在優(yōu)化過程中，如果快速響應衛(wèi)星發(fā)射點的地理緯度φL>i或者π-φL

3 算例分析

對基于快速響應的重構構型設計優(yōu)化模型進行求解時，采用NSGA-Ⅱ算法[12-13].關于NSGA-Ⅱ算法的操作流程，以及多目標優(yōu)化問題下不同個體的評價機制在此不再贅述.本節(jié)主要就快速響應軌道參數(shù)的編碼方式進行介紹，并對基于快速響應的導航星座重構構型優(yōu)化模型進行仿真計算和對比分析.

3.1 快速響應軌道參數(shù)的編碼方式

基于快速響應的導航星座構型重構是一個維數(shù)可變的優(yōu)化問題，快速響應衛(wèi)星的數(shù)量直接決定了優(yōu)化變量的個數(shù)，但快速響應衛(wèi)星數(shù)本身作為一個待優(yōu)化的變量，其取值也是不確定的.本文對快速響應衛(wèi)星的軌道參數(shù)采用如圖6所示的雙層編碼方式：

Sj(j=1，2，3,…,n)為快速響應衛(wèi)星的狀態(tài)函數(shù)，其中n為一次快速響應任務中所能發(fā)射的最大衛(wèi)星數(shù).重構過程中所發(fā)射的快速響應衛(wèi)星數(shù)：

(24)

3.2 算例描述

以建成后的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)為對象，假定星座中的MEO衛(wèi)星全部失效.現(xiàn)通過發(fā)射快速響應衛(wèi)星來對受損星座進行重構,以實現(xiàn)短時間內快速提升受損星座對目標區(qū)域的服務性能.快速響應衛(wèi)星采用機動發(fā)射與定點發(fā)射相結合的方式，發(fā)射范圍取為{(λL,φL)|100°≤λL≤120°,23°≤φL≤40°}，并忽略發(fā)射準備所需要的時間即tr=0，快速響應衛(wèi)星的軌道高度范圍取為[200 km,500 km]，發(fā)射軌道地心角所能取到的最小值βLmin=10°，一次快速響應任務中所能發(fā)射的最大衛(wèi)星數(shù)n=8，且快速響應衛(wèi)星均采用調相入軌的方式進入預定軌道.

仿真時間為[1 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]～[8 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]，目標區(qū)域為亞太區(qū)域(東經55°～東經180°，南緯55°～北緯55°)，考慮到快速響應衛(wèi)星的軌道高度較低，受大氣阻力攝動的影響較大，所以在分析重構后星座對目標區(qū)域的服務性能時，除了考慮地球扁率攝動外還應該考慮大氣阻力攝動.地面網(wǎng)格分辨率為2°×2°，NSGA-Ⅱ算法中的初始參數(shù)設定：初始種群規(guī)模為150，最大迭代次數(shù)為200，上層染色體與下層染色體的交叉、變異概率分別為0.9和0.09.

3.3 仿真計算

當種群進化至200代時，將最后一代種群中的個體作為該問題的Pareto前沿，如圖7所示.

該響應策略下每顆快速響應衛(wèi)星的響應時間Tresp如圖8所示.

表1 (Gave,Tresp)=(3.900 0,14.162 7)所對應的響應策略Tab.1 Response strategy corresponding to (Gave,Tresp)= (3.900 0,14.162 7)

在表1中所對應的重構策略下，對受損星座重構前后Gave隨時間和空間的分布情況進行對比，如圖9、圖10所示.仿真結果顯示：重構前Gave隨時間的波動范圍為[4.863 0,5.064 3]，而重構后Gave隨時間的波動范圍為[3.127 9，4.643 8]；重構前Gave≤6 的網(wǎng)格數(shù)為83.11%，重構后Gave≤6的網(wǎng)格數(shù)為94.60%.經過重構受損星座對目標區(qū)域的服務性能得到了有效的提升.

4 結 論

本文借助地面快速響應的方式對受損后的導航星座進行重構，建立快速響應衛(wèi)星發(fā)射、入軌過程以及響應時間的數(shù)學模型，和基于快速響應的重構構型優(yōu)化設計模型，并通過仿真算例證明了該方法的有效性.但本文僅分析了利用地面快速響應的方式來提升和恢復受損導航星座性能的方法，除此之外，利用在軌衛(wèi)星的軌道機動和借助其他導航星座形成組合導航系統(tǒng)來增強受損導航星座性能的方法[14-15]也具有一定研究價值，而這對增強我國空間系統(tǒng)的彈性、可靠性面具有重要的戰(zhàn)略意義.