基于Shannon熵的自適應(yīng)小波包閾值函數(shù)去噪算法研究

周 建， 向北平， 倪 磊， 艾攀華

(西南科技大學(xué) 制造過(guò)程測(cè)試技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621000)

非平穩(wěn)信號(hào)的細(xì)節(jié)部分含有大量的特征信息，而實(shí)際采集到的信號(hào)往往包含嚴(yán)重噪聲，導(dǎo)致特征信息無(wú)法顯露，因此尋求一種有效的信號(hào)去噪方法尤為重要。小波閾值去噪方法是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且去噪效果較好的算法，工程實(shí)踐中常用的是小波軟、硬閾值去噪方法，雖然其應(yīng)用較廣，但軟閾值去噪方法會(huì)對(duì)小波系數(shù)過(guò)度扼殺，而硬閾值方法則會(huì)產(chǎn)生附加振蕩[1]，因此提出一種新的閾值方法尤為重要。針對(duì)以上問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。

Lu等[2]在軟、硬閾值的基礎(chǔ)上，引入?yún)?shù)于改進(jìn)閾值函數(shù)中，使其能夠在軟、硬閾值函數(shù)之間調(diào)整，但并沒(méi)有提出具體的參數(shù)選擇方法；Chen等[3]提出了一種基于分解層數(shù)的小波去噪算法，將分解層數(shù)引入閾值函數(shù)中，取得了良好的去噪效果；Cui等[4]提出一種改進(jìn)閾值函數(shù)，使之克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)與軟閾值過(guò)扼殺的缺點(diǎn)；李紅延等[5]介紹了一種新的小波收縮閾值函數(shù)，并引入了多個(gè)調(diào)節(jié)因子，以增強(qiáng)閾值函數(shù)的靈活性，且將其應(yīng)用于齒輪故障振動(dòng)信號(hào)中，去噪效果較為明顯。以上方法皆對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行了一些改進(jìn)，但其改進(jìn)閾值函數(shù)依然沒(méi)有依據(jù)小波分解系數(shù)而進(jìn)行自適應(yīng)的改變，或沒(méi)有提出具體的參數(shù)化模型，參數(shù)選擇依據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)，給信號(hào)去噪過(guò)程帶來(lái)困難。

據(jù)此，本文進(jìn)行深入分析研究，提出一種閾值函數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的小波包去噪方法，該方法將Shannon信息熵概念引入閾值函數(shù)中，分析了小波包系數(shù)的噪聲污染情況且兼顧了噪聲信號(hào)的去除與原始信號(hào)的保留。研究結(jié)果表明，該方法比傳統(tǒng)小波閾值函數(shù)去噪方法更能滿足信號(hào)去噪實(shí)踐要求。

1 小波包去噪原理與關(guān)鍵問(wèn)題

1.1 小波包閾值去噪原理

小波包去噪的原理是含噪信號(hào)經(jīng)小波包分解后，信號(hào)的能量主要集中在少數(shù)幅值較大的小波包系數(shù)中，而噪聲的能量則分布在整個(gè)小波域內(nèi)，因此可以認(rèn)為，代表真實(shí)信號(hào)的小波包系數(shù)幅值一般較大，而幅值較小的小波包系數(shù)則很可能是噪聲[6-7]。于是采用小波包閾值的方法能將信號(hào)系數(shù)保留，而令大部分的噪聲系數(shù)減少為零。設(shè)有含噪信號(hào)：

s=x+n

(1)

式中：s為實(shí)測(cè)含噪信號(hào)，其由原始信號(hào)x與噪聲n組成，信號(hào)去噪的實(shí)質(zhì)即為根據(jù)檢測(cè)到的含噪信號(hào)s對(duì)原始信號(hào)x進(jìn)行估計(jì)，對(duì)應(yīng)的小波包閾值去噪步驟如下：

(2)

1.2 傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺陷

傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)由于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而被廣泛應(yīng)用，但去噪效果卻有待提升，Cui等對(duì)軟、硬閾值進(jìn)行了改進(jìn)，但仍然沒(méi)有做到閾值函數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，其表達(dá)式分別如下：

硬閾值函數(shù)：

(3a)

軟閾值函數(shù)：

(3b)

文獻(xiàn)[4]改進(jìn)閾值函數(shù)：

(3c)

為了分析以上閾值函數(shù)的去噪效果，研究如圖1(a)所示為原始Bumps信號(hào)，其波形中含有多個(gè)突變波峰，圖1(b)為加入高斯白噪聲后的Bumps信號(hào)，其信號(hào)成分完全被噪聲淹沒(méi)，對(duì)其分別進(jìn)行小波包軟、硬閾值與改進(jìn)閾值函數(shù)去噪，選用sym3，sym6，sym8和db2、db5、db10小波分別進(jìn)行分析，通過(guò)比較，最終選用sym8小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行3層小波包分解，為達(dá)到最佳去噪效果，選用Chen等研究結(jié)論中的閾值：

(4)

式中：σ為信號(hào)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；N為信號(hào)長(zhǎng)度；j為小波包分解層數(shù)。由式(4)可知，閾值隨著分解層數(shù) 的增大而減小，符合實(shí)際的信號(hào)規(guī)律。由上述參數(shù)進(jìn)行去噪得到結(jié)果如圖1(c)、(d)與圖1(e)，由圖1(c)可知含噪信號(hào)經(jīng)軟閾值去噪后，雖然消除了大部分噪聲，但由于軟閾值函數(shù)將大于閾值的小波系數(shù)全部收縮從而使信號(hào)原始的一些特征(波峰)也被過(guò)扼殺。而圖1(d)所示的硬閾值去噪結(jié)果表明，含噪信號(hào)經(jīng)過(guò)硬閾值去噪后雖然信號(hào)過(guò)扼殺不明顯，但是卻產(chǎn)生了一些附加振蕩，無(wú)法準(zhǔn)確還原出原始信號(hào)。圖1(e)所示的Cui等改進(jìn)閾值去噪結(jié)果顯示出了較軟、硬閾值更好的去噪效果，但仍然存在一些信號(hào)細(xì)節(jié)缺失問(wèn)題，且在信號(hào)突變處產(chǎn)生了一些振蕩。綜上所述，為了在去噪處理中消除噪聲的同時(shí)盡可能地保留原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，需要研究一種新的自適應(yīng)閾值函數(shù)。

圖1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)對(duì)Bumps信號(hào)去噪結(jié)果Fig.1 Bumps signal de-noising results based on traditional threshold function

2 自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪算法

2.1 含噪信號(hào)的Shannon熵表征

設(shè)某被測(cè)信號(hào)X共由n個(gè)信號(hào)源構(gòu)成，即X={x1,x2,…,xn}，各信號(hào)源提供相應(yīng)信息(狀態(tài)，取值)的概率為P={p(x1),p(x2),…,p(xn)}，則該信號(hào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可表征為：

(5a)

則該信號(hào)系統(tǒng)的Shannon熵定義為：

(5b)

對(duì)于式(5)，若對(duì)上述信號(hào)添加m個(gè)噪聲源n1,n2,…,nm，同理各噪聲源提供相應(yīng)信息的概率為：P={p(n1),p(n2),…,p(nm)}，則新的含噪信號(hào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：

(6)

同理可得該含噪信號(hào)系統(tǒng)的Shannon熵為：

(7)

為了驗(yàn)證以上結(jié)論，分析如圖1(a)所示的Bumps信號(hào)，對(duì)其加入噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為[0,0.5]的高斯白噪聲信號(hào)，為了說(shuō)明數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)分析結(jié)果的影響，分別計(jì)算采樣數(shù)為100和1 000的含噪bumps信號(hào)在不同標(biāo)準(zhǔn)差的噪聲影響下其Shannon熵值的變化情況，得到如圖2所示的結(jié)果。由圖2可知，不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度情況下Shannon熵值始終與噪聲標(biāo)準(zhǔn)差成正比，這驗(yàn)證了本文上述結(jié)論，即信號(hào)含噪越多，其Shannon熵值也應(yīng)越大。而對(duì)于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較小的時(shí)間序列(如信號(hào)的小波包節(jié)點(diǎn)系數(shù))，其Shannon熵值在同等噪聲標(biāo)準(zhǔn)差情況下較小，但其變化趨勢(shì)與較長(zhǎng)時(shí)間序列基本相同。

圖2 Shannon熵與噪聲標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系Fig.2 Correlation between Shannon entropy and noisestandard deviation

2.2 一種新的自適應(yīng)閾值函數(shù)

為了解決圖1中軟、硬閾值函數(shù)存在的問(wèn)題，本文提出一種新的介于軟、硬閾值之間且能夠根據(jù)小波系數(shù)的噪聲污染情況自適應(yīng)進(jìn)行調(diào)整的閾值函數(shù)，使得重構(gòu)后的信號(hào)偏差盡可能的小，該閾值函數(shù)表達(dá)式如下：

(8)

式中：x為小波包系數(shù)；λ為閾值；k為調(diào)節(jié)參數(shù)。由上式可知，新的小波包閾值函數(shù)不僅在小波域內(nèi)連續(xù)，而且高階可導(dǎo)。該閾值函數(shù)圖形與軟、硬閾值函數(shù)及Cui等改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)比如圖3所示(λ=5,k=5)。

由圖3可知，新的閾值函數(shù)曲線平滑連續(xù)且高階可導(dǎo)，彌補(bǔ)了軟、硬閾值函數(shù)與Cui等研究結(jié)論中閾值函數(shù)的缺陷，且由于調(diào)節(jié)參數(shù)的存在，較Cui等提出的改進(jìn)閾值函數(shù)而言去噪形式更加靈活。為了說(shuō)明新閾值函數(shù)的自適應(yīng)性，將閾值分別取λ=1,2,…,5(k=5)；參數(shù)k分別取k=1,2,3,…,10(λ=5)，得到其對(duì)應(yīng)的閾值函數(shù)曲線如圖4所示。

由圖4(a)可知，與其他閾值函數(shù)一般需要設(shè)為分段函數(shù)不同，新的閾值函數(shù)可以根據(jù)不同的閾值自適應(yīng)地調(diào)整小波包系數(shù)收縮范圍，降低了小波去噪計(jì)算難度。

由圖4(b)所示，當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)較小時(shí)，閾值收縮趨勢(shì)較為平緩，對(duì)小于閾值的小波包細(xì)節(jié)系數(shù)保留較多；而當(dāng)k值增大時(shí)，閾值收縮區(qū)間減小，收縮趨勢(shì)接近硬閾值。由此可知，與傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)不同，新的自適應(yīng)閾值函數(shù)能夠在小波包系數(shù)閾值收縮區(qū)域?qū)崿F(xiàn)平滑過(guò)渡，且可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)k的大小確定細(xì)節(jié)系數(shù)的取舍。k值越大，越接近硬閾值處理過(guò)程，可以對(duì)閾值附近小波包系數(shù)進(jìn)行大尺度的收縮；k值越小，閾值收縮越平緩，對(duì)細(xì)節(jié)小波包系數(shù)的保留也越多[10]。因此，k值較大時(shí)，適合處理含噪較多的小波包系數(shù)，反之小波包系數(shù)含噪越少，相應(yīng)的k值也應(yīng)該較小，以保留更多的細(xì)節(jié)信號(hào)小波包系數(shù)，從而更好地還原原始信號(hào)的局部特征。

圖3 新閾值函數(shù)與其他閾值函數(shù)Fig.3 New threshold function and other functions

圖4 新閾值函數(shù)的自適應(yīng)性Fig.4 Adaptivity of new threshold function

2.3 閾值函數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)的選擇

由2.1節(jié)可知Shannon熵可用來(lái)表征信號(hào)含噪的多少，且適用于對(duì)短時(shí)間序列進(jìn)行分析，因此將Shannon熵引入新閾值函數(shù)小波包系數(shù)的含噪情況評(píng)判中，為實(shí)現(xiàn)閾值函數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，對(duì)小波包系數(shù)Shannon熵值進(jìn)行極值標(biāo)準(zhǔn)化，即有調(diào)整參數(shù)：

(9)

對(duì)圖1(b)所示的含噪信號(hào)進(jìn)行3層小波包(sym8)分解得到其各小波包節(jié)點(diǎn)系數(shù)波形如圖5所示，利用上述算法求得各節(jié)點(diǎn)系數(shù)Shannon熵值與調(diào)整參數(shù)k值列于表1。由圖5可知，含噪Bumps信號(hào)經(jīng)3層小波包分解后，低頻節(jié)點(diǎn)系數(shù)w1,3，w2,3比較符合原始信號(hào)的特征，而其他節(jié)點(diǎn)系數(shù)受噪聲干擾嚴(yán)重，因此w1,3，w2,3對(duì)應(yīng)的調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)較小，以盡可能的保留原始信號(hào)細(xì)節(jié)(如表1所示)。

為說(shuō)明新閾值函數(shù)的可行性與優(yōu)越性，對(duì)上述已分解信號(hào)進(jìn)一步分析，為控制比較變量依然使用第一節(jié)中的參數(shù)進(jìn)行小波包閾值去噪，得到去噪結(jié)果于圖6。

為對(duì)去噪效果進(jìn)行定量分析，分別計(jì)算軟、硬、文獻(xiàn)[4]閾值與新閾值去噪后信號(hào)的信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)與平滑度(S)[11]，計(jì)算方法如下：

表1 各小波包節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)

(1)信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)，其定義為：

(10)

(2)原始信號(hào)與去噪信號(hào)之間的均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)定義為：

(11)

(3)平滑度：

(12)

式中：Ps為信號(hào)的有效功率；Pn為噪聲的有效功率；xi為原始不含噪信號(hào)；xi為去噪后的信號(hào)；N為采樣數(shù)。

消噪后信號(hào)的SNR值越高，RSME與S值越小，則信號(hào)去噪效果越好，具體結(jié)果如表2所示。

圖5 各小波包節(jié)點(diǎn)系數(shù)波形Fig.5 Waveform of wavelet packet node coefficients

圖6 新閾值函數(shù)去噪結(jié)果Fig.6 De-noising result of new threshold function

從圖6與表2可以看出，新的自適應(yīng)小波包閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)具有較高的信噪比，較小的均方根誤差與平滑度，其不僅能夠有效地去除噪聲，而且很好地還原了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，是一種更為優(yōu)越的去噪算法。

表2 不同方法去噪效果對(duì)比

3 新的自適應(yīng)閾值函數(shù)在軸承振動(dòng)信號(hào)去噪中的應(yīng)用

3.1 軸承振動(dòng)信號(hào)的獲取

為了對(duì)本文方法進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)，搭建了軸承振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置，軸承振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與被測(cè)軸承如圖7所示，實(shí)驗(yàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速60 000 r/min，實(shí)驗(yàn)軸承為微小型氮化硅陶瓷球軸承QC0011286(由于長(zhǎng)時(shí)間的高速運(yùn)轉(zhuǎn)，軸承精度下降，轉(zhuǎn)動(dòng)噪聲較大，且外圈存在故障)，設(shè)置采樣率為20 kHz，采樣時(shí)間為0.1 s，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到軸承外圈故障頻率為foc=2 552.9 Hz。圖8所示為采集到軸承振動(dòng)時(shí)域信號(hào)，由圖可知從時(shí)域信號(hào)中無(wú)法直接分辨出信號(hào)成分。

圖7 軸承振動(dòng)試驗(yàn)機(jī)與被測(cè)軸承Fig.7 Bearing vibration test machine and measured bearing

圖8 軸承振動(dòng)時(shí)域信號(hào)Fig.8 Bearing vibration time-domain signal

3.2 軸承振動(dòng)信號(hào)去噪分析

利用本文提出的自適應(yīng)閾值函數(shù)對(duì)圖8所示的軸承原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪分析，同樣選用sym3,sym6,sym8和db2,db5,db10小波分別進(jìn)行分析，通過(guò)比較，最終選用db5小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行4層小波包分解，得到各節(jié)點(diǎn)小波包系數(shù)Shannon熵與調(diào)節(jié)參數(shù)值列于表3(由于篇幅原因，只精確到三位有效數(shù)字)。得到最終的去噪結(jié)果如圖9所示。由圖可知軸承振動(dòng)時(shí)域信號(hào)經(jīng)過(guò)去噪后無(wú)法從波形直接分辨去噪效果，因此需對(duì)其進(jìn)一步分析。

圖9 新閾值函數(shù)去噪后軸承振動(dòng)信號(hào)Fig.9 Bearing vibration signal after new threshold functionde-noising

(a)原始振動(dòng)信號(hào)功率譜

(b)硬閾值去噪后信號(hào)功率譜

(c)軟閾值去噪后信號(hào)功率譜

(d)文獻(xiàn)[4]改進(jìn)閾值去噪后信號(hào)功率譜

(e)新閾值去噪后信號(hào)功率譜圖10 去噪后信號(hào)功率譜對(duì)比Fig.10 Power spectrum comparison of signal after de-noising

由于軸承外圈故障而產(chǎn)生周期性脈沖信號(hào)，其表現(xiàn)形式為調(diào)制信號(hào)，即以軸的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為調(diào)制頻率，而軸承外圈故障頻率為載波頻率，形成邊頻帶，通常，由于故障特征微弱且有噪聲干擾的存在，軸承故障特征及其調(diào)制特征往往無(wú)法清晰顯露。但由于本文中軸承轉(zhuǎn)速較快，在高轉(zhuǎn)速工況下軸承故障沖擊較強(qiáng)，盡管此時(shí)噪聲污染嚴(yán)重，但通過(guò)信號(hào)去噪處理后，利用功率譜分析應(yīng)能獲取到軸承故障特征頻率，且不同的去噪方法得到的功率譜分析效果也應(yīng)不同。因此本文為對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)頻率成分的還原情況進(jìn)行直觀分析，對(duì)原始信號(hào)與各閾值方法去噪后信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，得到結(jié)果如圖10。且以軸承特征頻率顯露情況為去噪效果評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，具體分析如下。

從圖10可直觀的看出，由于受到噪聲干擾，原始信號(hào)功率譜受噪聲干擾嚴(yán)重，雖然能分辨出軸轉(zhuǎn)動(dòng)頻率1 000 Hz及其倍頻2 000 Hz，但由于噪聲影響，無(wú)法很好的分辨出軸承故障頻率以及調(diào)制成分。含噪振動(dòng)信號(hào)經(jīng)由硬閾值法去噪后減少了部分噪聲，能夠清晰分辨出基頻及其倍頻成分與軸承外圈故障頻率2 552.9 Hz，但由于一些干擾頻率的存在，并不能準(zhǔn)確的判斷該故障頻率的真實(shí)性。而經(jīng)過(guò)軟閾值法去噪后，雖然噪聲去除較為徹底，但原始信號(hào)除基頻外的一些頻率成分也同時(shí)被扼殺嚴(yán)重。Cui等改進(jìn)閾值去噪后信號(hào)基頻及其諧波以及軸承的故障頻率2 552.9 Hz及其邊頻3 552.9 Hz都被很好的還原出來(lái)，但邊頻附近仍然存在一些高頻噪聲。利用本文提出的新的自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪法去噪得到的信號(hào)功率譜顯示，信號(hào)基頻與倍頻以及軸承外圈故障頻率2 552.9 Hz清晰可見(jiàn)，且在軸承故障邊頻3 552.9 Hz以及兩倍頻5 105.8 Hz附近存在明顯波峰，且噪聲干擾頻率較少。

表3 實(shí)驗(yàn)信號(hào)各小波包節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)

綜上所述，本文提出的基于Shannon熵的自適應(yīng)小波包閾值函數(shù)去噪算法較其他算法而言去除噪聲信號(hào)更加徹底，同時(shí)也更好還原了軸承信號(hào)的頻率特征，適用于振動(dòng)信號(hào)去噪實(shí)踐，且能有效地提高故障診斷準(zhǔn)確率。

4 結(jié) 論

(1)為了克服傳統(tǒng)閾值函數(shù)在小波去噪實(shí)踐中的不足，提出了一種新的帶參數(shù)的閾值函數(shù)，將Shannon熵算法作為信號(hào)含噪情況評(píng)判參數(shù)，根據(jù)噪聲信號(hào)在各個(gè)小波包分解系數(shù)上分布的不同自適應(yīng)地調(diào)整閾值函數(shù)，以達(dá)到自適應(yīng)去噪的目的。

(2)將本文去噪方法應(yīng)用于仿真信號(hào)中，并與傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)和Cui等改進(jìn)閾值函數(shù)相對(duì)比，結(jié)果表明本文提出的自適應(yīng)閾值去噪算法在信噪比、均方根誤差和平滑度方面效果更好。對(duì)滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行去噪，并對(duì)去噪后的信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，結(jié)果顯示本文提出的算法很好的消除了噪聲干擾，且保留了原始信號(hào)的頻率特征，還原了軸承的故障特征，是一種更為有效的信號(hào)去噪算法，具有較高的實(shí)用價(jià)值。