電磁變剛度半主動動力吸振結(jié)構(gòu)的振動控制研究

尤佳欣，王 熙，楊斌堂

（上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

動力吸振器是利用共振原理吸收主系統(tǒng)能量、減小主系統(tǒng)振幅的設(shè)備。動力吸振器具有安裝方便、不改變主系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特點，因其穩(wěn)定性和經(jīng)濟性而被廣泛使用。

傳統(tǒng)動力吸振器剛度固定，對于變頻激勵，其減振性能大幅降低。此外，當激勵頻率遠離主系統(tǒng)共振頻率時，動力吸振器的吸振效果十分有限[1–2]。變剛度技術(shù)是一種半主動動力吸振技術(shù)，通過調(diào)整吸振器剛度來調(diào)節(jié)吸振器本身的共振頻率，能夠較好實現(xiàn)寬頻吸振。Walsh.P.L[3]等提出的組合梁在懸臂梁基礎(chǔ)上，利用彈性元件改變梁的組合方式，使其呈現(xiàn)不同形態(tài)，從而改變吸振器剛度[4]。K.Nagaya提出一種懸臂梁變剛度結(jié)構(gòu)，通過改變懸臂梁支點，改變其有效長度，從而調(diào)節(jié)吸振器共振頻率[5]。近年來，隨著智能材料的發(fā)展，壓電陶瓷、形狀記憶合金、磁流變彈性體等智能材料也被用于變剛度吸振器結(jié)構(gòu)[6–8]。

傳統(tǒng)梁結(jié)構(gòu)變剛度系統(tǒng)具有剛度變化連續(xù)、線性度較好的特征。但一般結(jié)構(gòu)尺寸較大，響應(yīng)速度較慢。智能材料變剛度系統(tǒng)普遍具有響應(yīng)快的特點，但其剛度變化范圍較小，非線性強，控制難度大。

電磁式變剛度系統(tǒng)具有剛度調(diào)節(jié)范圍大、響應(yīng)迅速的特點。Mizuno T等綜述了一系列電磁懸掛負剛度彈簧，用于隔離系統(tǒng)振動[9]。從理論上分析了其可行性，并沒有加工實物進行驗證。馮肖肖設(shè)計并通過實驗驗證了一種齒式電磁變剛度動力吸振器[10]。動力吸振器運動過程中線圈隨之運動，增加了系統(tǒng)的不確定性。對磁路的分析僅限于仿真，不利于系統(tǒng)的分析與控制。電磁建模有利于系統(tǒng)的分析與控制。麥克斯韋張量理論常應(yīng)用于電機建模，以求解徑向轉(zhuǎn)矩[11–12]。但是，針對電磁變剛度動力吸振結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型之前鮮有研究。

本文提出一種新型的線圈固定電磁變剛度動力吸振結(jié)構(gòu)，作用于傳統(tǒng)動力吸振器上以進一步改變主系統(tǒng)共振頻率，實現(xiàn)振動寬頻半主動控制。其具有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度連續(xù)可調(diào)的特點。本文建立了該結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型并求解。通過仿真及原型樣機實驗，驗證所建立模型的準確性和所提出的電磁變剛度結(jié)構(gòu)用于實現(xiàn)半主動寬頻振動控制的可行性。

1 吸振原理

如圖1所示，本文提出一種由傳統(tǒng)質(zhì)量剛度阻尼系統(tǒng)以及附加電磁變剛度結(jié)構(gòu)兩部分組成的動力吸振系統(tǒng)。主系統(tǒng)由m0、k0、c0構(gòu)成，電磁變剛度動力吸振系統(tǒng)由m1、k1、c1以及km構(gòu)成，施加于主系統(tǒng)之上，起到動力吸振器的作用。電磁變剛度結(jié)構(gòu)安裝于基座上，隨電流變化的輸出力矩為M，力矩剛度為km，當θ較小時，力矩通過輸出桿L轉(zhuǎn)化為近似平動的力作用于m1上，在吸振系統(tǒng)原有k1基礎(chǔ)上增加一個等效變剛度

圖1 動力吸振系統(tǒng)模型

建立系統(tǒng)運動方程

由于系統(tǒng)本身的阻尼一般很小，忽略阻尼項c0。

由于阻尼c1的存在，系統(tǒng)的自由振動會隨著時間衰減，現(xiàn)只分析受迫振動時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值X0。

整理方程得

D=k0-(m0+m1)ω2，是不附加qm時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)X0表達式的公共部分?？梢钥闯?，由于引入qm，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值發(fā)生變化，共振頻率相應(yīng)將發(fā)生移動。

由分析可知，區(qū)別于傳統(tǒng)動力吸振系統(tǒng)，本系統(tǒng)可以通過改變qm值，使初級系統(tǒng)的共振頻率在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，當初級系統(tǒng)在變化的外部激勵下產(chǎn)生共振時，調(diào)節(jié)qm可以在一定頻帶內(nèi)起到良好的減振效果。

2 電磁變剛度吸振結(jié)構(gòu)設(shè)計

基于吸振原理，利用電磁原理設(shè)計一種電磁變剛度吸振結(jié)構(gòu)，使其在不同電流下輸出變化的轉(zhuǎn)矩，實現(xiàn)對初級系統(tǒng)施加可調(diào)剛度qm的目的。

通過不同方案的比較分析，考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性和輸出剛度的調(diào)節(jié)范圍，設(shè)計一種電磁變剛度吸振結(jié)構(gòu)。其主要部件剖面如圖2所示。

圖2 電磁變剛度吸振結(jié)構(gòu)

定子與導磁路固定在殼體內(nèi)，線圈不通電時，轉(zhuǎn)子圍繞軸心自由轉(zhuǎn)動。線圈通電時激發(fā)磁場，在導磁路的作用下，變剛度結(jié)構(gòu)內(nèi)部形成四個閉合的磁回路。磁場作用下，轉(zhuǎn)子表現(xiàn)出對中性，即轉(zhuǎn)子將旋轉(zhuǎn)到和定子相對面積最大的如圖所示位置，此處為結(jié)構(gòu)的平衡位置。

當外界激勵促使轉(zhuǎn)子發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時，磁感應(yīng)線發(fā)生扭曲，系統(tǒng)偏離能量最小的平衡位置。在磁場作用下，轉(zhuǎn)子受到一個大小與相對轉(zhuǎn)動相關(guān)的回復(fù)力矩。單位相對轉(zhuǎn)動對應(yīng)的回復(fù)力矩即為電磁變剛度結(jié)構(gòu)的輸出剛度。改變電流大小，磁場強度隨之改變。相對轉(zhuǎn)動量相同時，輸出力矩不同。因此，電磁變剛度結(jié)構(gòu)的剛度由電流大小和相對轉(zhuǎn)動量共同決定。

3 磁場數(shù)學模型

為了計算系統(tǒng)輸出扭矩，實現(xiàn)系統(tǒng)的半主動控制，對磁場進行建模，求解輸出力矩十分重要。

由麥克斯韋應(yīng)力張量理論，選擇合適的積分路徑，可以求得轉(zhuǎn)子所受合力為

圖3 積分路徑

②到③磁感線趨近于垂直于積分路徑分布，沒有切向分量，不產(chǎn)生切向力。①到②與③到④具有一定的對稱性，為方便分析，選取其中一段③到④進行研究。

對于模型的求解基于以下幾點假設(shè)：

(1)定轉(zhuǎn)子相對部分磁場強度均勻分布，大小為Hm；

(2)因為導磁路相對較長，導磁材料相對磁導率較高，可以忽略因為路徑、定子尺寸形狀帶來的磁路內(nèi)部磁路長度差異。記導磁路內(nèi)磁場強度為HS；

(3)忽略漏磁；

(4)忽略邊界效應(yīng)。

根據(jù)麥克斯韋方程，得到平衡方程為

其中：

N為線圈匝數(shù)；I為電流大小；Hm為相對部分氣隙磁場強度；Hf為錯開部分氣隙磁場強度；Hs為導磁路內(nèi)磁場強度；l1為相對部分總磁路長度；lg為氣隙長度；lf為錯開部分氣隙磁路長度；lx為錯開部分導磁路內(nèi)磁路長度。

式(5)、式(6)為磁勢平衡方程，式(7)是磁通量平衡方程。其中Hm、Hs、Hf未知，方程有唯一解。

其中l(wèi)f和Af需要重點討論。在仿真基礎(chǔ)上，結(jié)合傳統(tǒng)的1/4圓弧建模方法[11–12]，本文給出對應(yīng)于三種轉(zhuǎn)角范圍條件下的三種不同磁感應(yīng)線分布示意模型，分別如圖4所示。

圖4 三種角度條件下磁感應(yīng)線分布示意模型

確定關(guān)鍵參數(shù)后，將其代入麥克斯韋方程，對磁場進行求解。分別求得Hfi、Hfj、Hfk，由B=μ0H，得到Bfi、Bfj、Bfk。

4 仿真與實驗驗證

4.1 電磁變剛度結(jié)構(gòu)及磁場數(shù)學模型驗證

根據(jù)以上結(jié)構(gòu)設(shè)計及磁場建模分析，對電磁變剛度動力吸振結(jié)構(gòu)進行詳細設(shè)計，確定設(shè)計參數(shù)如表1以及表2所示。

表1 電磁變剛度結(jié)構(gòu)主要材料參數(shù)

利用Ansoft對模型進行仿真。設(shè)置材料特性、系統(tǒng)邊界以及激勵安匝數(shù)，求解磁感應(yīng)強度以及輸出力矩。

表2 電磁變剛度結(jié)構(gòu)主要幾何參數(shù)/mm

圖5展示由Ansoft仿真得到的磁感應(yīng)強度分布情況，可見結(jié)構(gòu)內(nèi)部形成了4個磁回路。

按照設(shè)計方案加工實驗樣機。通過改變電流調(diào)整安匝數(shù)，測量輸出力矩。

將實驗測量結(jié)果與三維仿真、數(shù)學模型計算結(jié)果進行對比見圖6。

結(jié)果顯示，當安匝數(shù)較小時，實驗測量結(jié)果與仿真、數(shù)學計算結(jié)果呈現(xiàn)高度一致性。

圖5 電磁回路仿真結(jié)果

當安匝數(shù)較大，達到320 AZ后，測量值略小于仿真及計算值。這可能是由電流的熱效應(yīng)引起損耗造成的。

綜合來看，本文建立的數(shù)學模型具有較高的精度，可以為系統(tǒng)的分析與控制提供依據(jù)，為實現(xiàn)變剛度調(diào)頻半主動自適應(yīng)動力吸振研究奠定了基礎(chǔ)。

4.2 系統(tǒng)半主動振動控制仿真

根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計方案，采用線徑為0.3、匝數(shù)為2 000的銅線圈，電流控制在0～0.2 A范圍內(nèi)，電磁變剛度結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)角小于15°的范圍內(nèi)工作。利用電磁數(shù)學模型，對結(jié)構(gòu)的輸出剛度qm進行求解如圖7所示。系統(tǒng)可調(diào)剛度qm隨電流和角度變化，范圍在0～200 N/m之間。

利用Simulink對系統(tǒng)吸振效果進行仿真驗證。全系統(tǒng)分為電流控制系統(tǒng)、電磁變剛度結(jié)構(gòu)以及動力吸振系統(tǒng)三大模塊。通過調(diào)整電流大小，輸出qm，抑制主系統(tǒng)振動。

選擇測試系統(tǒng)的主要參數(shù)如表3所示，根據(jù)運動學方程，通過改變qm，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值隨激勵頻率變化如圖8所示。

由圖8分析可知，針對表3所述測試系統(tǒng)，qm=0時，測試系統(tǒng)的共振頻率分別為32 rad/s以及45 rad/s。而當qm=35時，系統(tǒng)共振頻率發(fā)生移動，系統(tǒng)在原共振頻率下減振效果明顯。

分別對系統(tǒng)施加幅值為0.1、角頻率為32 rad/s以及45 rad/s的正弦激勵。前10 s內(nèi)電流I=0，10 s后施加控制電流I=0.09 A，調(diào)整電磁變剛度結(jié)構(gòu)輸出剛度，使得qm接近35 N/m，結(jié)果如圖9、圖10、圖11所示。

由仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)較好實現(xiàn)振動半主動控制，仿真結(jié)果和圖8有高度的一致性。

5 結(jié)語

本文提出了一種電磁式變剛度動力吸振結(jié)構(gòu)，使其滿足可通過調(diào)節(jié)電流改變剛度的功能，作用于傳統(tǒng)動力吸振器上，實現(xiàn)寬頻吸振。設(shè)計滿足要求的電磁部件，并針對物理模型，提出對應(yīng)的磁路模型，基于麥克斯韋張量理論對輸出力矩進行計算。結(jié)果表明，理論計算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果以及實驗測量結(jié)果具有較好的一致性，證明在一定角度范圍內(nèi)模型的準確性。數(shù)學模型的建立有助于系統(tǒng)的分析和控制，為實現(xiàn)變剛度調(diào)頻半主動自適應(yīng)動力吸振奠定了基礎(chǔ)?；诖?，利用Simulink對測試系統(tǒng)進行仿真，仿真結(jié)果驗證了所提出的將電磁變剛度結(jié)構(gòu)用于實現(xiàn)半主動寬頻振動控制的可行性。

圖6 測量數(shù)據(jù)與仿真、計算結(jié)果對比

圖7 qm隨電流、轉(zhuǎn)角變化圖

圖8 初級系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與qm的關(guān)系

圖9 qm隨時間變化

圖10 角頻率=32 rad/s時控制前后對比圖

圖11 角頻率=45 rad/s時控制前后對比圖

表3 測試系統(tǒng)參數(shù)