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    一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克題的另證

    2018-08-30 06:40:08湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院410081
    關(guān)鍵詞:湖南師范大學(xué)化簡等腰三角

    湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (410081) 張 衛(wèi) 吳 樂

    原題ΔABC具有下面性質(zhì):存在一個內(nèi)部的點P使得∠PAB=10°,∠PBA=20°,∠PCA=30°,∠PAC=40°.證明:ΔABC是等腰三角形.

    此題來源于第25屆USAMO,文[1]給出了此題的幾何解法.原解法是通過構(gòu)造一系列輔助線來完成的,這種解法對考生的解題技巧以及思維能力有很高的要求,一般的學(xué)生很難想到此方法.本人結(jié)合題目的特點,利用三角函數(shù)的知識,給出了此題一個很自然的解法.

    下面給出此題的三角函數(shù)證明方法.

    證明:記∠PBC=α,∠PCB=β,PA=a′,PB=b′,PC=c′.

    另一方面,在ΔABC中,又有

    故由②和③可得sin(20°+α)sin40°sin100°=sinαsin110°sin50°.④

    反復(fù)利用積化和差公式以及余角公式,可最終將④式化為sinαsin10°+cosαsin80°+sinαsin50°-cosαsin40°=sinαcos60°-cosαsin60°+sinαsin70°+cosαsin20°⑤

    整理得sinα(sin10°+sin50°)+cosα(sin80°-sin40°)=sinαsin70°+cosαsin20°+sin(α-60°).⑥

    再注意到上式中角與角之間的關(guān)系,可在①式中取θ1、θ2為適當?shù)闹档玫饺缦玛P(guān)系式

    代入⑥,進一步化簡成sin(α-60°)=0.

    由于α∈(0,180°),所以α=60°,β=180°-∠BPC-α=20°,繼而有∠C=50°=∠A,BA=BC,得證.

    評注:上述解法充分考慮了題目的特點,利用三角函數(shù)中積化和差等知識,推出三角形中存在兩內(nèi)角相等,比原解法更容易上手.

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