競(jìng)賽中的二次函數(shù)問題

安徽省碭山中學(xué) (235300) 李秀麗

二次函數(shù)是一類常見函數(shù)模型，并且二次函數(shù)與二次不等式、二次方程相互聯(lián)系、相互滲透組成了一個(gè)特殊的“知識(shí)板塊”，這個(gè)“知識(shí)板塊”內(nèi)容豐富，技巧性強(qiáng)，能較好地考察學(xué)生的能力，在近年數(shù)學(xué)競(jìng)賽中屢見不鮮，現(xiàn)把二次函數(shù)有關(guān)問題總結(jié)如下，僅供參考.

1.求二次函數(shù)解析式

評(píng)注:在求二次函數(shù)解析式時(shí)，要充分挖掘其圖像的幾何性質(zhì)，然后靈活選用二次函數(shù)解析式，可優(yōu)化解題過程.

2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

3.二次函數(shù)與二次不等式

例3 已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，試求θ的取值范圍.

評(píng)注:二次不等式恒成立問題是難點(diǎn)問題之一，在求解此類問題時(shí)若巧妙借助二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，可簡(jiǎn)化解題過程.

4.二次函數(shù)與二次方程根的分布

令f(t)=2t2-4at-a+1,

評(píng)注:解一元二次方程實(shí)根分布問題借助二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，建立相應(yīng)的不等式(組)求解，可使問題直觀、簡(jiǎn)捷.

5.構(gòu)造二次函數(shù)模型

評(píng)注:二次函數(shù)是一類常見的函數(shù)模型，巧妙地構(gòu)造二次函數(shù)，常會(huì)使一些數(shù)學(xué)難題迎刃而解，達(dá)到出奇制勝，事半功倍的效果.