橢圓外切四邊形的一個(gè)性質(zhì)

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003) 陳 武

我們知道圓外切四邊形兩組對(duì)邊的和相等，由此可得結(jié)論：如圖1，設(shè)四邊形ABCD是圓O的外切四邊形，則SΔABO+SΔCDO=SΔBCO+SΔDAO.

圖1 圖2

圓本質(zhì)上是橢圓的一種退化形式(即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合而成圓心)，那么橢圓的外切四邊形是否也有與這個(gè)類(lèi)似的結(jié)論呢？經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：如圖2，四邊形ABCD是橢圓的外切四邊形，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔBCF1+SΔBCF2+SΔDAF1+SΔDAF2.

為了便于敘述，該結(jié)論的證明分為三部分．

引理1 已知平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，則SΔABC=

結(jié)論2的證明：設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為四個(gè)切點(diǎn)，則由引理2得SΔAEF1+SΔAEF2=SΔAHF1+SΔAHF2，SΔBEF1+SΔBEF2=SΔBFF1+SΔBFF2，SΔCGF1+SΔCGF2=SΔCFF1+SΔCFF2，SΔDGF1+SΔDGF2=SΔDHF1+SΔDHF2，從而SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔAEF1+SΔBEF1+SΔAEF2+SΔBEF2+SΔCGF1+SΔDGF1+SΔCGF2+SΔDGF2=SΔAHF1+SΔBFF1+SΔAHF2+SΔBFF2+SΔCFF1+SΔDHF1+SΔCFF2+SΔDHF2=SΔADF1+SΔADF2+SΔBCF2+SΔBCF2.