技法誠可貴 思想價(jià)更高*
——2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第8題解析

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(溫州市第十四高級(jí)中學(xué)，浙江 溫州 325000)

2018年的浙江高考落下帷幕，一年一度的高考題總會(huì)引起一線教師的關(guān)注、研究，各種解法琳瑯滿目.但是作為教師應(yīng)清醒地認(rèn)識(shí)到解題技法固然重要，但解題思想更為重要.正所謂“技法誠可貴、思想價(jià)更高”，解題只有探源思想，解法才能源源不斷地浮現(xiàn).筆者以2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第8題為例，和大家分享從解法探究到思想探源，再縱向聯(lián)系浙江歷年高考中類似的試題，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)啟示，歡迎同行批評(píng)指正.

1 高考真題

例1已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2,二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

這是一道考查空間角(線線角、線面角、二面角)的小題，反映了在點(diǎn)、線、面動(dòng)態(tài)變化過程中的空間角大小順序的不變性,以能力立意，切入口寬，內(nèi)涵豐富，值得研究.

2 解法探究

我們常常發(fā)現(xiàn)教師苦口婆心地介紹一題多解，然而學(xué)生除了崇拜似乎很難學(xué)會(huì)，究其原因是只講技法，沒有思想.于是解題方法變成了“無根之水”，方法越多越糊涂，這是值得我們深思的.因此，解法探究的核心是解題思想的提煉.

2.1 解析思想——建立函數(shù)模型

分析本題中四棱錐是動(dòng)態(tài)的，對(duì)每一個(gè)給定的四棱錐，棱AB上的點(diǎn)E也是動(dòng)態(tài)的，對(duì)于動(dòng)態(tài)的量我們最先想到是借助什么工具來描述呢？自然想到空間直角坐標(biāo)系的解析思想.

圖1

因?yàn)閏osθ1≤cosθ3,又

所以

cosθ3≤cosθ2.

綜上可知，cosθ1≤cosθ3≤cosθ2,即θ2≤θ3≤θ1.

2.2 數(shù)形結(jié)合思想——數(shù)學(xué)直觀

分析對(duì)于動(dòng)態(tài)對(duì)象的描述，除了解析表示外還能從幾何直觀方面加以考慮嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考：動(dòng)點(diǎn)成線，動(dòng)線成面，動(dòng)面成體.本題要比較的對(duì)象是什么？關(guān)于這些空間角你知道哪些性質(zhì)？啟發(fā)學(xué)生注意線面角的最小性、二面角的最大性.此外，要比較大小，還要關(guān)注變化中的不變量.基于以上思考，得到如下解法：

解法2當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，SE的軌跡是平面SAB的一部分，根據(jù)二面角的最大性，知θ2≤θ3.如圖2，記棱AB中點(diǎn)為E0，O為底面中心，易知BC∥OE0，故二面角θ3即為BC與平面SAB所成角，而SE是平面SAB內(nèi)的一條線，根據(jù)線面角的最小性，知θ3≤θ1.綜上所述,θ2≤θ3≤θ1.

直觀想象是數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，筆者猜測(cè)解法2可能是本題的立意——數(shù)學(xué)是直觀的、數(shù)學(xué)是好玩的、數(shù)學(xué)也是深刻的.只有看透本質(zhì)，方能凸顯實(shí)質(zhì).

圖2 圖3

2.3 特殊化思想——數(shù)學(xué)直覺

分析如圖3，如果對(duì)于動(dòng)態(tài)問題把握不好，是否可以充分利用選擇題的特點(diǎn)，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)呢？因?yàn)榻Y(jié)果都反映了動(dòng)態(tài)變化中的角度大小順序的相對(duì)不變性，所以可以特殊化正四棱錐，還可以特殊化點(diǎn)E的位置，于是形成下面的解法.

解法3將正四棱錐特殊為所有棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐，將點(diǎn)E無限接近于端點(diǎn)A，則易知

θ2≤θ3≤θ1.

有些師生對(duì)特殊化思想存在誤解，感覺純屬投機(jī)，實(shí)則不然.這一思想的背后包含著合情推理、邏輯論證、轉(zhuǎn)化化歸，乃至辯證分析的綜合素養(yǎng)，也反映了學(xué)生看待數(shù)學(xué)問題的眼光和思維方式.但命題者似乎并不希望學(xué)生用特殊法，故意表明不含端點(diǎn)，意在告訴學(xué)生此法有風(fēng)險(xiǎn)，后果自負(fù).但是只要有極限思想的學(xué)生，照樣可以取端點(diǎn)，從而獲得結(jié)果.

追尋向量思想、競(jìng)賽化思想，還能發(fā)現(xiàn)基向量分解、三面角公式等不同解法，在進(jìn)行解法探究的時(shí)候，應(yīng)該基于學(xué)科核心素養(yǎng)幫助學(xué)生形成解題思想.“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，源源不斷的解法好比是“術(shù)”，而背后的解題思想就是“道”，只有悟“道”之“術(shù)”，方能應(yīng)對(duì)高考，筆者認(rèn)為這也是浙江高考卷希望傳達(dá)的信息之一.筆者繼續(xù)探源思想，發(fā)現(xiàn)本題實(shí)際上是考查空間角的概念、空間問題的降維思想，也蘊(yùn)含著傳播數(shù)學(xué)文化的意向，展現(xiàn)了“平凡中見神奇”的成效.

3 思想探源

3.1 考查空間角概念，彰顯降維思想

本題將空間中的3個(gè)角放在一起考查，足見命題者的良苦用心.筆者猜想命題者希望傳達(dá)“回歸教材，重視概念”的強(qiáng)烈信息.根據(jù)空間角概念，所有空間角最后都降維成線線角，因此只要在正四棱錐內(nèi)作出θ1,θ2,θ3即可.于是又得一解法.

解法4如圖4，記E0為棱AB的中點(diǎn)，頂點(diǎn)S在底面的射影為O(易知O為底面正方形的中心)，過點(diǎn)O作OO1∥AB，過點(diǎn)E作EO1∥E0O，則易證EO1⊥SO1.聯(lián)結(jié)SE，SE0,則

∠SEO1=θ1, ∠SEO=θ2, ∠SE0O=θ3,

從而

于是

θ1≥θ3,

又

即

θ3≥θ2,

綜上可知，θ2≤θ3≤θ1.

“看似平凡最崎嶇，成如容易卻艱辛”,筆者認(rèn)為解法4看似平常，卻是凸顯本質(zhì)的解法.

圖4 圖5

3.2 傳播數(shù)學(xué)文化，追求文化育人

筆者還發(fā)現(xiàn)，例1的3個(gè)空間角θ1,θ2,θ3分別是圖5中異面直線SE,OE0所成的角、SE與平面EOE0所成的線面角、二面角S-EE0-O.

題目中的3個(gè)空間角恰好包含在一個(gè)4個(gè)面均為直角三角形的三棱錐內(nèi)，這種幾何體在中國古代稱為三角錐體，又稱鱉臑.命題者通過本題巧妙而委婉地表達(dá)了對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注與傳播，真可謂“用心良苦”！

4 高考鏈接

筆者進(jìn)一步查閱近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考題，發(fā)現(xiàn)“空間角”是浙江省數(shù)學(xué)高考的常考內(nèi)容.而且從2014年開始基本是考查動(dòng)態(tài)變化中角的大小比較或最值問題，但3個(gè)空間角一起考查，2018年尚屬首次.下面讓我們縱向聯(lián)系、細(xì)細(xì)品味近幾年高考中類似的試題，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，換個(gè)角度看問題，相信會(huì)有意外收獲.

( )

A．γ<α<βB．α<γ<β

C．α<β<γD．β<γ<α

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

答案B.

點(diǎn)評(píng)考查形式與例1相似，都是考查變化過程中角的大小相對(duì)不變性.確定和變化是相對(duì)的，面對(duì)變化的問題需要在變化中尋求不變量.比如3個(gè)二面角的高就是相對(duì)確定的，考生只要掌握二面角的概念和立體幾何中的降維思想，就可以轉(zhuǎn)化為△ABC中心O到PQ,PR,RQ的距離比較.

圖6 圖7

例3如圖7，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

答案B.

點(diǎn)評(píng)本題考查折疊過程中的線線角與二面角的大小相對(duì)不變性，形式與例1、例2大致相似.本題解法多樣，可以將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，通過解三角形、余弦定理比較角的余弦值;也可以用特殊位置法解決；還可以轉(zhuǎn)化為求直線A′A與平面ABC所成角的大小和直線A′A與平面ABC內(nèi)的直線BD所成角的大小比較，其實(shí)質(zhì)是線面角的最小性.

圖8

例4如圖8，某人在垂直于水平底面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需要計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值為______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

點(diǎn)評(píng)這是一道動(dòng)態(tài)變化中角的最值問題.本題解法也不唯一，比較典型的有兩大類：一類是函數(shù)思想，關(guān)鍵是尋找自變量，比如可以先作出線面角θ，將tanθ表示為以CQ為變量(點(diǎn)Q為點(diǎn)P在平面ABC的射影)的函數(shù)，再求出最大值.還有一類是動(dòng)態(tài)分析、數(shù)學(xué)直觀想象——?jiǎng)狱c(diǎn)成線，動(dòng)線成面，直線AP與平面ABC所成角的最大值即是二面角M-AC-B的大小，即二面角的最大性.

仔細(xì)品味發(fā)現(xiàn)近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考關(guān)于“空間角”的試題存在千絲萬縷的關(guān)系，都關(guān)注空間角的概念，關(guān)注空間角轉(zhuǎn)化為平面角的降維思想，都注重能力立意，滲透素養(yǎng)考查；關(guān)注函數(shù)思想，凸顯數(shù)學(xué)直觀.盡管現(xiàn)在看來似乎是“事后諸葛”，但為我們指明了如何備考復(fù)習(xí)的一條路徑——數(shù)學(xué)教師要善于研題，尤其是研究高考題.研題既是高中數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)與能力，也是教學(xué)研究的重要組成部分.研題的最終目的是為了學(xué)生的學(xué)，幫助學(xué)生走出題海，提高效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

5 教學(xué)啟示

5.1 回歸教材，重視概念教學(xué)

曾幾何時(shí)，數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)常找不到數(shù)學(xué)課本了，抽屜里充斥著各種教輔用書，師生遨游在茫茫題海中.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)漸漸演變?yōu)椤邦}型教學(xué)”，題型教學(xué)又進(jìn)一步蛻化為“刺激—反應(yīng)”訓(xùn)練的狀況[1].筆者認(rèn)為2018年的高考題比較清晰地傳達(dá)了回歸教材、重視概念教學(xué)的信息，筆者統(tǒng)計(jì)了一下，2018年的浙江卷除了第8題，還有第7，18，20等題也體現(xiàn)了類似的命題意圖.

基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，回歸教材，重視概念教學(xué)，如何把知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)？如何挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)部資源實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人？是值得每一位數(shù)學(xué)教育工作者不懈探究的課題.

5.2 解題教學(xué)要關(guān)注解題思想

數(shù)學(xué)離不開解題，考試更離不開解題，但缺乏解題思想引領(lǐng)的解題技法應(yīng)當(dāng)摒棄，就好比失“道”之“術(shù)”，容易走火入魔；也正如螢火蟲，有耀終非火.而且，這種解題教學(xué)并非只用于高三復(fù)習(xí)階段，更應(yīng)該內(nèi)化于每一節(jié)新課教學(xué)中.

5.3 數(shù)學(xué)教學(xué)也要關(guān)注文化育人

浙江師范大學(xué)張維忠教授一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師要有文化情懷，呼吁：以文化情懷去教學(xué)，做數(shù)學(xué)文化的傳播者[3].既傳播我國古代數(shù)學(xué)文化，激發(fā)民族自豪感，也能通過學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美，還能培養(yǎng)從直觀猜想到嚴(yán)格論證的數(shù)學(xué)理性精神，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)地育人.事實(shí)上，那些值得學(xué)生終身追憶，給學(xué)生留下深刻印象，真正開啟學(xué)生心智的事件，往往發(fā)生在偏離主題的云游中[4].

6 結(jié)語

如果說高考是“指揮棒”，那么筆者對(duì)2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第8題的解析表達(dá)了對(duì)解題研究的觀點(diǎn),技法誠可貴，思想價(jià)更高.而解題思想的培育又指向了基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，因此“回歸教材，重視概念教學(xué)，關(guān)注數(shù)學(xué)育人”也是2018年浙江高考卷對(duì)課堂教學(xué)的“指揮導(dǎo)向”.