研題，數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的有效途徑*

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(湖州中學(xué),浙江 湖州 313000)

教學(xué)質(zhì)量是學(xué)校教育的生命線(xiàn).好的教學(xué)質(zhì)量需要優(yōu)質(zhì)的生源，同時(shí)離不開(kāi)優(yōu)秀的教師，教師專(zhuān)業(yè)的發(fā)展不僅關(guān)系到教師個(gè)人的成長(zhǎng)，也關(guān)系到學(xué)校未來(lái)的發(fā)展.現(xiàn)階段，全國(guó)各地的相關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)針對(duì)教師的培養(yǎng)采取了各種各樣的有效措施.就高中數(shù)學(xué)教師而言，筆者認(rèn)為“研題”是專(zhuān)業(yè)發(fā)展的一件行之有效的法寶.

1 研題的定義

研題，就字面而言，即“研究題目”，它是在正確解題的基礎(chǔ)上，對(duì)題目進(jìn)行反思，挖掘出題目的內(nèi)涵與潛在的價(jià)值，因此研題包含“解題”和“反思”兩個(gè)環(huán)節(jié).

解題，目錄學(xué)中常用的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，中文釋義：求解問(wèn)題[1].本文中的“解題”特指“做題”，即對(duì)所提問(wèn)題作出解答.解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性不言而喻，中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)數(shù)學(xué)不做題目，等于入寶山而空返.”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)“解題”.

反思，意為自我反省，即思考過(guò)去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)或教訓(xùn)，字?jǐn)?shù)可以不多，但一定要深刻.中國(guó)古代教育家孔子說(shuō)：“學(xué)而不思則罔.”在“解題”后，若缺少了“反思”，就接觸不到題目的真諦.

2 內(nèi)容與方法

研題的內(nèi)容沒(méi)有固定的范圍，它可以是單一的數(shù)學(xué)題目，如：某個(gè)高考真題，或某次聯(lián)考的一個(gè)考題，或是日常課堂教學(xué)中的一個(gè)例題等；它也可以是一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題串，如：與某個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的題型歸類(lèi)，或幾個(gè)相似問(wèn)題的統(tǒng)一解法總結(jié)，或不同條件下問(wèn)題的不同處理方法等.

當(dāng)然，研題的方法也沒(méi)有既定格式，可以是研究一個(gè)點(diǎn)，以題目結(jié)構(gòu)為角度，研究題目的已知條件、文字組織、設(shè)問(wèn)方式等；也可以是研究一個(gè)面，從題目的題意、解法、背景、變化、價(jià)值等方面進(jìn)行全面深入的研究.

筆者以一個(gè)試題的研究為例，對(duì)研題的內(nèi)容與方法進(jìn)行如下說(shuō)明：

1)an

(2017年9月浙江省麗水、衢州、湖州三地市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題第22題)

2.1 解題環(huán)節(jié)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式，解題環(huán)節(jié)可分成兩個(gè)部分：研究題意和研究解法.流暢的解題環(huán)節(jié)需要研題者準(zhǔn)確理解題意，并以合理的方法得到正確的答案，而解題能力更是評(píng)價(jià)一名數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)能力的一個(gè)重要指標(biāo).

2.1.1 研究題意

題意的理解一定要精準(zhǔn)地抓住問(wèn)題本質(zhì)，閱讀題目時(shí)必須找出解題的關(guān)鍵要素.

3)本題考查內(nèi)容涉及數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)、數(shù)列不等式的放縮、數(shù)學(xué)歸納法、等比數(shù)列求和等知識(shí)，難點(diǎn)在于拆項(xiàng)和放縮的技巧，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有較高的要求.

準(zhǔn)確理解題意是獲得正確解答和多樣解法的前提，離開(kāi)了題意的理解，題目的解法就會(huì)顯得生硬且難以接受.

2.1.2 研究解法

根據(jù)題意，可作如下分析：

思路1直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1).

思路2兩邊取以自然對(duì)數(shù)底數(shù)e為底的對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1，其中x∈(0,1).

說(shuō)明兩種思路實(shí)質(zhì)均考慮到了“切線(xiàn)放縮”，即y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)為y=x+1，從而當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，ex>x+1；y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)為y=x-1，從而當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lnx

(1)

思路1這是“n項(xiàng)之和”與“一項(xiàng)”的大小比較，可以將ln(n+1)對(duì)應(yīng)地拆成n項(xiàng)，如：

ln(n+1)= [ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+

…+[ln 2-ln 1]，

思路2式(1)是關(guān)于正整數(shù)n的不等式，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法處理.

說(shuō)明思路2與思路1考慮問(wèn)題的角度不同，但要解決的核心問(wèn)題一樣，均離不開(kāi)不等式ln(x+1)

3)思路1由第1)小題知

(ea1-1)t+(ea2-1)t+…+(ean-1)t=

故

方法的多樣性不能停留在簡(jiǎn)單的變形，而應(yīng)體現(xiàn)研題者對(duì)題意理解的到位和思維的活躍，不同的方法之間應(yīng)有較為明顯的不同思考角度，如：將第1)小題思路1中“構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1)”改為“構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-ex，其中x∈(0,1)”，像這樣的改變，因?yàn)槠鋬H僅停留在不等式的簡(jiǎn)單變形，所以不屬于我們所定義的不同方法.

2.2 反思環(huán)節(jié)

反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)已學(xué)知識(shí)的一種復(fù)習(xí)方式，也是一種自我提升的有效途徑.研題中的反思環(huán)節(jié)是研題者對(duì)題目進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)的過(guò)程，它需要教師具有深厚的知識(shí)儲(chǔ)備和專(zhuān)業(yè)修為，這是研題的關(guān)鍵一環(huán)，直接決定研題的精彩與黯淡、成功與失敗.

2.2.1 反思背景

2)思路3如圖1，S小矩形之和>S陰影，即

ln(n+1),

圖1 圖2

3)思路2如圖2，S小矩形之和

說(shuō)明從思路2可以看出題目條件t≥3是多余的(思路1中此條件卻必不可少).

背景的挖掘，便于研題者了解出題人設(shè)計(jì)思路的起點(diǎn)與命題的初衷，從而找出最優(yōu)解法.

2.2.2 反思變化

了解了出題人的設(shè)計(jì)起點(diǎn)與命題初衷后，就可以在原題的基礎(chǔ)上對(duì)題設(shè)條件或設(shè)問(wèn)方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危M(jìn)一步挖掘題目的內(nèi)涵與價(jià)值.

變化1精簡(jiǎn)條件，美化題目.

從第3)小題思路2的解答過(guò)程看，不難發(fā)現(xiàn)條件t≥3是多余的，因此可以將該條件去掉，重新解答此題，得到：

②當(dāng)t=2時(shí)，

不等式成立.

③當(dāng)t≥3時(shí)，同思路1.

變化2拓展思考，完備結(jié)論.

例1第2)小題僅展現(xiàn)了不等式的一邊，適當(dāng)挖掘可得到不等式的另一邊.

圖3

思路2數(shù)學(xué)歸納法.

思路3構(gòu)造定積分，如圖3,S小矩形之和

1+lnn,

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立，從而

變化3適當(dāng)放縮，加強(qiáng)命題.

由條件知an∈(0,1)且n≤t，從而

分析由第3)小題的證明過(guò)程可知

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*，

說(shuō)明1)變式2為例1第3)小題的一個(gè)加強(qiáng)命題，證明過(guò)程因借助了第3)小題而使其看似簡(jiǎn)單，實(shí)際難度更大.

2.2.3 反思價(jià)值

題目?jī)r(jià)值的反思是研題者對(duì)之前研究成果的宏觀總結(jié)，也是研題者在課堂講題前的一種微觀思考,即為什么要講解此題.

從題目的結(jié)構(gòu)看，該題題意清晰，題型完整.數(shù)列和的不等式問(wèn)題主要包括“控制”和“有界”兩種類(lèi)型，第2)小題為控制型，第3)小題為有界型.

從解題方法看，該題融入了現(xiàn)階段較為熱門(mén)的切線(xiàn)放縮、裂項(xiàng)等處理方法，整個(gè)過(guò)程涵蓋轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想，拓展開(kāi)來(lái)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

從教學(xué)角度看，該題作為上課的例題進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生弄清楚數(shù)列和不等式中“控制”和“有界”兩個(gè)最常見(jiàn)的概念，命題的變形與加強(qiáng)有利于開(kāi)拓學(xué)生的視野，體現(xiàn)了很好地教學(xué)功能.

從考查角度看，該題解法眾多，蘊(yùn)含思想豐富，充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

一切的反思都是為了在課堂中的精彩呈現(xiàn)，反思至關(guān)重要，它是研題者挖掘題目?jī)?nèi)涵、提煉題目?jī)r(jià)值的必要環(huán)節(jié)，也是研題者思考題目本源、找出最優(yōu)解法、在課堂中講解好題目的前提條件和核心步驟.

3 研題的意義

研題一定要有收獲，沒(méi)有收獲的研題是無(wú)用的.在上述研題例子中，我們不僅得到了多解、變形和命題的加強(qiáng)等淺層次的收獲，更重要的是教師得到了專(zhuān)業(yè)發(fā)展這一深層次的成果.

3.1 能編好題

根據(jù)上述的研題例子，筆者創(chuàng)編了如下的一道題目：

(2)

即

從而

……

于是

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),等號(hào)成立，故式(2)成立，進(jìn)而

2)(見(jiàn)下文“3.2能上好課”部分.)

設(shè)計(jì)說(shuō)明對(duì)照原題，本題改編之處主要體現(xiàn)在3個(gè)方面：

1)將原題中t≥3這一條件舍去，簡(jiǎn)化了條件;

雖然每一次的改動(dòng)看似變化都不大，但實(shí)際上對(duì)整個(gè)解題的思想方法產(chǎn)生了深刻的影響，其中涵蓋了放縮、二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法等重要的數(shù)學(xué)研究手段和知識(shí)(這也是證明第2)小題的難點(diǎn))，很好地考查了學(xué)生思維的發(fā)散性.

3.2 能上好課

借助研題，對(duì)題目有了深刻的了解，研題者就能夠順利地將講題過(guò)程自然融入課堂.

以下是筆者經(jīng)過(guò)“研題”后，實(shí)踐的一堂試卷講評(píng)課的片段：

師：從前面的解答過(guò)程可以看出，第3)小題的解答十分依賴(lài)于第2)小題的結(jié)論.而事實(shí)上，因?yàn)閍n∈(0,1)且n≤t，所以

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

(3)

對(duì)這個(gè)式子的證明，同學(xué)們有什么看法？

生2：這是正整數(shù)問(wèn)題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.

師：很好，那我們請(qǐng)生2上臺(tái)來(lái)板演一下解題過(guò)程.

生2上臺(tái)板書(shū)如下：

當(dāng)n=1時(shí)，左邊=11<(1+1)1=右邊，式(3)成立；

假設(shè)當(dāng)n=k，其中k∈N*時(shí)，式(3)成立，即

1k+2k+3k+…+kk<(k+1)k，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊= 1k+1+2k+1+3k+1+…+kk+1+(k+1)k+1≤

k(1k+2k+3k+…+kk)+(k+1)k+1<

k(k+1)k+(k+1)k+1=

(2k+1)(k+1)k,

……

(下面生2寫(xiě)不下去了，問(wèn)題出在不會(huì)比較(2k+1)(k+1)k與(k+2)k+1的大小.)

師：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)，生2遇到的主要困難是證明：當(dāng)k∈N*時(shí)，(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1.有沒(méi)有同學(xué)能幫上忙？

(一下子，全班安靜下來(lái)，陷入沉思……)

生3：老師，好像可以用二項(xiàng)式定理證明.

師(露出笑容)：那請(qǐng)你上黑板前來(lái)書(shū)寫(xiě)一下.

生3板書(shū)如下：

當(dāng)k∈N*時(shí)，

(k+2)k+1= [(k+1)+1]k+1>

2(k+1)k+1=(2k+2)(k+1)k>

(2k+1)(k+1)k.

(臺(tái)下頓時(shí)響起了掌聲，并不時(shí)發(fā)出贊嘆聲：妙！)

筆者向生3豎了下大拇指，并將生2的答題過(guò)程進(jìn)行了如下補(bǔ)充：

(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1=右邊，

故式(3)成立.

綜合1)，2)可得：對(duì)n∈N*，式(3)成立，即

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

數(shù)列不等式問(wèn)題常作為數(shù)學(xué)試卷的壓軸題，有一定難度.在上述教學(xué)片斷中，筆者用放縮的手段(數(shù)據(jù)分析)引導(dǎo)學(xué)生重新建立新的不等關(guān)系(數(shù)學(xué)建模)，在給學(xué)生牽線(xiàn)搭橋(邏輯推理)的過(guò)程中，讓學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)證明式(3)的方法，不僅得到了例1第3)小題的思路2，而且加強(qiáng)了原命題，更重要的是在課堂中有效推動(dòng)了學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.3 獲得成長(zhǎng)

研題的過(guò)程，就內(nèi)容來(lái)看，從解題環(huán)節(jié)到反思環(huán)節(jié)，題目的內(nèi)涵與外延都得到了深入的挖掘與拓展，實(shí)現(xiàn)了將題目的解答從一般的解題技能上升到一定的理論高度.就研題者而言，無(wú)疑是自身數(shù)學(xué)教育的理論功底、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度、數(shù)學(xué)方法的理解能力及數(shù)學(xué)教學(xué)的理念的一次展現(xiàn)[2]，研題者在對(duì)題目題意、解法、背景、變化、價(jià)值等的研究過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)題目的了解從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華，其解題水平、編題水平、講題水平都取得了一定程度的提高，有效促進(jìn)了自身專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的發(fā)展，使自己更好地服務(wù)于課堂教學(xué).

4 結(jié)束語(yǔ)

“解題”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，它就題論題、浮于表面，動(dòng)作相對(duì)機(jī)械，不能代替“研題”去揭示題目的本真.而“研題”是一種有感而發(fā)、深度探究的行為，不能一蹴而就，需要深思熟慮，需要潛心研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》首次提出了數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[3].一線(xiàn)教師在日常的教學(xué)工作中，務(wù)必在課前對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难芯?，挖掘出題目的內(nèi)涵與外延，從而在課堂中實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)價(jià)值的最大化，最終有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平！