淺談高斯分布的原理和應用

崔智泉

【摘要】正態(tài)分布作為一種重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布，在實際生產(chǎn)生活中，總能瞥見它的身影。通過研究正態(tài)分布的起源與發(fā)展，闡釋正態(tài)分布與二項分布的原理，探究正態(tài)分布與二項分布之間的關系，并利用優(yōu)生劃分、等級評定等事例體會其在實際生活中的應用，對正態(tài)分布這一最常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布進行分析。

【關鍵詞】正態(tài)分布 貝努力試驗 二項分布 3σ準則

一、高斯分布的起源與發(fā)展

在一個釘滿釘子的三角木板頂端投放一個小球，讓其自由下落，若其下落到規(guī)定位置，便能得到獎品。這便是高爾頓的釘板試驗。參與者們覺得試多幾次便能將獎品要到手，但事與愿違，像是被一股“神力”牽引著一般，小球就是不落到人們期待的那個位置。最終人們發(fā)現(xiàn)，中獎的概率實在是太低了！

倘若拋開中獎與否的問題，細心觀察，便不難發(fā)現(xiàn)：這個小球下落的軌跡近似一條優(yōu)美的曲線。而這條曲線，早在幾百年前，便被冠以“正態(tài)分布的密度曲線”的稱號。正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。起初，它是由德國的數(shù)學家和天文學家德莫佛于1733年提出的。

后來，因德國數(shù)學家高斯率先將其運用到天文學研究中，故正態(tài)分布又稱為高斯分布?，F(xiàn)今德國10馬克的紙幣上不僅印有高斯的頭像，更印有正態(tài)分布的密度曲線，足見其對于正態(tài)分布應用取得的成就之偉大。高斯發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象時，人們還未認識到其全部影響。后來拉普拉斯將這個發(fā)現(xiàn)與自己的中心極限定理相聯(lián)系，指出：“若誤差能看作許多量的疊加，誤差也應服從高斯分布?！倍履?拉普拉斯中心極限定理也被許多數(shù)學家運用于其他領域，并發(fā)現(xiàn)對于一系列重要的統(tǒng)計量，當樣本N趨于無窮時，其極限分布都有正態(tài)的形式，這構成了數(shù)理統(tǒng)計學中大樣本理論的基礎。

二、高斯分布的原理

1.正態(tài)分布

μ和σ作為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的兩個重要參數(shù)，對于曲線的位置和形狀具有決定性的作用。μ是服從正態(tài)分布的隨機變量X的均值，稱為位置參數(shù)：當μ減小時，曲線向左移動；當μ增大時，曲線向右移動（如圖1）；σ是服從正態(tài)分布的隨機變量X的標準差，稱為變異參數(shù)：當σ越小時，數(shù)據(jù)越集中，曲線越“瘦”；當σ越大時，數(shù)據(jù)越離散，曲線越“胖”（如圖1）；由于對于任意一個時間，所有可能結果的概率之和均為1，故曲線下的面積是1；故正態(tài)分布的概率密度曲線的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了其幅度，又其曲線呈鐘形，所以又稱之為“鐘形曲線”。

分布函數(shù)（如圖2所示）為：（3）3σ準則

當隨機變量X服從標準正態(tài)分布時，由標準正態(tài)分布的查表計算可得：

3.正態(tài)分布與二項分布的對比（略）

三、高斯分布的應用

1.正態(tài)分布在確定優(yōu)生分數(shù)線中的應用

在每一場考試中，總有一些刻苦學習同學能取得比較好的分數(shù)。那么應該以怎樣的標準來將劃分出這些優(yōu)等生呢？如果單單以一個“得分率90%”來劃分，看似簡單快捷，但由于每場考試的難易程度都不盡相同，故這樣的評價方法未免太過粗糙，無法實現(xiàn)一般化。那么該如何確定優(yōu)等生的評定標準呢？對于這個問題，運用正態(tài)分布理論便可以輕松解決（證明略）。

2.正態(tài)分布在等級評定中的應用

在每個學期的期末，在每位學生的學生手冊上，個別科目會打出A、B、C、D四個等級來評價學生本學期在該科目的表現(xiàn)情況。假設某位同學得到了A等級，可雖然這位同學拿到了A等級，但他卻不知道還有多少同學也拿到了A等級，換言之，他不知道自己在年級中大概處于什么位置。這個問題看似棘手，可倘若運用正態(tài)分布原理，答案便會變得清晰起來。

3.正態(tài)分布在車門高度設計中的應用

在公共汽車的制造過程中，有一個問題是不可回避的：車門的高度應該如何確定，才能確保大部分的人都不碰頭而通過呢？如果只是簡單地以2m作為車門高度，的確能讓大部分的人不碰頭，但是這樣設計未免會讓車高過高，增加制造成本，所以這個方法不可取，應設計一個更為科學的確定方案。結合“讓大部分人不碰頭”的本質是一個概率問題，不難想到，可以運用正態(tài)分布原理，將該問題抽象成標準正態(tài)分布模型，再根據(jù)概率取值要求得出相應的身高取值，從而得出車門的合適高度。

四、結語

正態(tài)分布作為最重要的一種概率分布，在生活中的各個領域都有著舉足輕重的作用。如在醫(yī)學中，可用于估計醫(yī)學參考值，并以此來確定個體的指標是否處于正常狀態(tài)；在教育行業(yè)，可用于教學質量評估；在生產(chǎn)中則可用于產(chǎn)品質量的檢測等?？梢?，研究正態(tài)分布對于現(xiàn)實的生產(chǎn)具有重要意義。

參考文獻：

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