直列四缸發(fā)動機(jī)曲軸扭轉(zhuǎn)振動固有特性分析

張洪飛，閆守成

1 引言

曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性分析是扭振減振器設(shè)計的基礎(chǔ)，當(dāng)前較成熟分析方法包括基于有限元模型和基于集總參數(shù)模型兩種模態(tài)分析法。前者為簡化處理，將無限個自由度實(shí)體模型經(jīng)單元網(wǎng)格劃分簡化成有限個自由度有限元模型，是實(shí)際結(jié)構(gòu)和物質(zhì)數(shù)學(xué)表示方法，有限元分析方法是目前工程分析的主要方法[1]。后者實(shí)際形態(tài)很復(fù)雜，每個軸段都是即有慣量又有彈性振動體，這樣數(shù)學(xué)模型無法處理。依照經(jīng)典振動理論，按照振動特性不變原則，將一個實(shí)際曲軸簡化成可進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算理想系統(tǒng)，假設(shè)曲軸只有轉(zhuǎn)動慣量無彈性變形的一些集中質(zhì)量和一些只有彈性而無轉(zhuǎn)動慣量的彈性軸段組成。

對扭轉(zhuǎn)振動研究：文獻(xiàn)[2]搭建發(fā)動機(jī)曲軸平面模型，采用傳遞矩陣法獲得曲軸扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動解；文獻(xiàn)[3]搭建曲軸三維空間模型，采用傳遞矩陣法獲得曲軸扭轉(zhuǎn)振動、軸向振動和兩個橫向振動的解；文獻(xiàn)[4]分析基于實(shí)模態(tài)靈敏度分析結(jié)構(gòu)動力學(xué)修改原理用于扭振控制；文獻(xiàn)[5]搭建試驗(yàn)臺對比安裝與否減振效果進(jìn)行對比，提出減振措施。

以某四缸汽油發(fā)動機(jī)曲軸軸系為例，分別用基于有限元模型和集總參數(shù)模型模態(tài)分析法計算曲軸軸系扭轉(zhuǎn)固有特性。同時明確基于有限元及集總參數(shù)模型進(jìn)行曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性分析關(guān)鍵點(diǎn)，基于完整曲軸有限元模型，特別是活塞連桿機(jī)構(gòu)的幾種等效方法以及集總參數(shù)模型中曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度的有限元全模型計算方法。對兩種方法獲得曲軸的扭轉(zhuǎn)固有頻率進(jìn)行對比。

2 曲軸軸系有限元模型模態(tài)分析

2.1 曲軸有限元模型

應(yīng)用Pro/Engineer中建立某款直列四缸汽油機(jī)曲軸模型，導(dǎo)入ANSYS建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)分析和各軸段扭轉(zhuǎn)剛度求解。在建立有限元模型前要對曲軸的三維實(shí)體數(shù)字模型進(jìn)行簡化，將活塞連桿組以及飛輪總成等結(jié)構(gòu)刪除，在模態(tài)分析中用Mass點(diǎn)代替[6]。曲軸軸系相關(guān)參數(shù)，如表1、表2及圖1所示。

表1 曲軸軸系的材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters of Crankshaft System

表2 曲軸軸系的相關(guān)參數(shù)Tab.2 Parameters of Crankshaft System（質(zhì)量 m/kg，轉(zhuǎn)動慣量 I/kg·m2，長度 /mm）

圖1 簡化后的曲軸軸系Fig.1 Simplified Crankshaft System

為便于計算截面扭轉(zhuǎn)角度，預(yù)先將曲軸橫向切分為若干段，各截面，如圖2所示。截面1為曲軸上皮帶輪輪轂鍵槽橫向中央截面，截面 2、4、6、8、10 為主軸頸中央截面，截面 3、5、7、9 為連桿軸頸中央截面，截面11為曲軸與飛輪的接觸面。

圖2 曲軸分段示意圖Fig.2 Schematic Diagram of the Crankshaft

采用8節(jié)點(diǎn)Solid45單元，對主軸頸和曲柄軸頸用精度為1網(wǎng)格劃分；平衡塊和曲拐部分用精度為3網(wǎng)格劃分，共得到48794個節(jié)點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 曲軸軸系有限元模型Fig.3 Finite Element Model of Crankshaft System

將所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為以曲軸中心線（z軸）為軸線柱坐標(biāo)，便于后續(xù)施加轉(zhuǎn)矩載荷和徑向約束。將活塞連桿組、飛輪總成等效為相應(yīng)集中質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量；在圖3中A1～A4、B等硬點(diǎn)所生成節(jié)點(diǎn)上創(chuàng)建相應(yīng)等效Mass單元。將各Mass單元與其附近節(jié)點(diǎn)形成一剛性區(qū)域，確保Mass單元等效集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量正常參與曲軸動力學(xué)行為[7]。

2.2 模態(tài)分析

在有限元模型基礎(chǔ)上，施加約束，進(jìn)行軸系扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)分析。實(shí)際運(yùn)行時受主軸承對曲軸主軸頸支撐作用。軸系扭轉(zhuǎn)固有頻率遠(yuǎn)小于彎曲固有頻率，在分析扭轉(zhuǎn)固有特性時可對有限元模型進(jìn)行簡化。由于只分析扭轉(zhuǎn)固有特性，將每個主軸頸徑向施加約束，既能略去其他模態(tài)，又能得到準(zhǔn)確的扭轉(zhuǎn)固有頻率[8]。

采用ANSYS中模態(tài)分析法，分析1 Hz以上（以濾去剛體轉(zhuǎn)動模態(tài)）5階模態(tài)。所分析四缸汽油發(fā)動機(jī)曲軸系第一、二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率分別為477 Hz、1214 Hz。其中，第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)節(jié)點(diǎn)在飛輪前端的主軸頸上并靠近飛輪，陣型正常。

3 集總參數(shù)模型模態(tài)分析

3.1 集總參數(shù)模型

直列四缸發(fā)動機(jī)曲軸簡化成六自由度當(dāng)量軸盤系統(tǒng)，當(dāng)量盤只包含轉(zhuǎn)動慣量不包含剛度，當(dāng)量軸只提供剛度不包含轉(zhuǎn)動慣量。以各軸頸中央截面為界將軸系劃分成若干段，每一段用一個集中轉(zhuǎn)動慣量代替連續(xù)體轉(zhuǎn)動慣量[9]。剛度即是每個連續(xù)質(zhì)量之間實(shí)際剛度，集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊轉(zhuǎn)動慣量和各質(zhì)量塊之間剛度轉(zhuǎn)化，如圖4所示。以圖4（a）所示各主軸頸中央截面為界將軸系劃分成六段，各段轉(zhuǎn)動慣量對應(yīng)圖 4（b）所示 I1～I(xiàn)6。圖 4（b）所示各自由度之間扭轉(zhuǎn)剛度 K1～K5分別為圖 3 中截面 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 之間曲軸軸段的扭轉(zhuǎn)剛度。

圖4 多自由度集總參數(shù)模型的簡化Fig.4 Simplification of the Lumped Parameter Model

曲軸六自由度簡化模型，自由振動矩陣方程：

求解式（1）關(guān)鍵在于集總參數(shù)模型中轉(zhuǎn)動慣量與扭轉(zhuǎn)剛度計算。

3.2 轉(zhuǎn)動慣量計算

式中：d m—微質(zhì)量；r—微質(zhì)量到回轉(zhuǎn)半徑距離；m—物體的總質(zhì)量。

基于有限元模型求得各零件轉(zhuǎn)動慣量，曲軸各段質(zhì)量塊模型，如圖5所示。

圖5 各質(zhì)量塊模型Fig.5 Each Mass Block Model

計算得到曲軸各軸段轉(zhuǎn)動慣量，如表3所示。

表3 曲軸軸系的當(dāng)量轉(zhuǎn)動慣量Tab.3 Equivalent Moment of Inertia of Crankshaft（轉(zhuǎn)動慣量 I/10-3kg·m2）

3.3 扭轉(zhuǎn)剛度計算

軸段扭轉(zhuǎn)剛度：扭轉(zhuǎn)軸段使其旋轉(zhuǎn)單位角度（1rad）時所需要的扭矩[10]，則：

式中：M—扭矩；Δφ—軸兩端相對扭轉(zhuǎn)角度；G—軸段材料剪切彈性模量；Jp—截面極慣性矩；L—軸段長度。

曲軸各軸段扭轉(zhuǎn)剛度是一個很難確定參數(shù)，可采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行推算，如西馬年科公式、卡特公式，如式（4）、式（5）所示。

采用直接法和間接法兩種方法計算曲軸各軸段扭轉(zhuǎn)剛度。如圖2曲軸分段，直接法為計算曲柄軸頸中央截面3、5、7、9及1、11 截面轉(zhuǎn)角，直接得到 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 軸段兩端截面相對轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得到相應(yīng)軸段扭轉(zhuǎn)剛度；間接法為計算主軸頸中央截面 2、4、6、8、10 及 1、11 截面轉(zhuǎn)角，分別求得 1～2、2～4、4～6、6～8、8～10、10～11軸段兩端截面相對轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得到相應(yīng)軸段扭轉(zhuǎn)剛度，由于平衡塊對扭轉(zhuǎn)剛度影響可忽略，且 2～4、4～6、6～8、8～10軸段分別關(guān)于3、5、7、9截面對稱，按照剛度串聯(lián)法求得2～3、3～4、4～5、5～6、6～7、7～8、8～9、9～10 軸段扭轉(zhuǎn)剛度，再將相關(guān)軸段串聯(lián)得到 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 軸段扭轉(zhuǎn)剛度。直接法扭轉(zhuǎn)剛度求解，如表4所示。間接法求解，如表5所示。

表4 直接法計算曲軸軸段扭轉(zhuǎn)剛度Tab.4 Calculation of Torsional Stiffness of Crankshaft by Direct Method（轉(zhuǎn)角θ/e-4rad，力矩 M/N·m，剛度K/105N·m·rad-1）

表5 間接法計算曲軸軸段扭轉(zhuǎn)剛度Tab.5 Calculation of Torsional Stiffness of Crankshaft by Indirect Method（轉(zhuǎn)角θ/e-4rad，力矩 M/N·m，剛度K/105N·m·rad-1）

兩種方法扭轉(zhuǎn)剛度對比，如表6所示。各軸段扭轉(zhuǎn)剛度相對誤差均在6%以內(nèi)，具有很好吻合性。

表6 直接法與間接法扭轉(zhuǎn)剛度計算結(jié)果對比Tab.6 Comparison of Direct and Indirect Methods（剛度 K/105N·m·rad-1）

3.4 集總參數(shù)模型求解

設(shè)式（1）特解形式為：

則求解式（1）轉(zhuǎn)換成求矩陣I-1K-λE的特征向量與特征值問題。

通過計算得到集總參數(shù)模型轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)和各軸段扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù)，用MATLAB進(jìn)行矩陣I-1K-λE特征值與特征向量運(yùn)算，即得集總參數(shù)模型中各階次扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率和相應(yīng)階次陣型結(jié)果?；谥苯臃ㄅc間接法剛度計算集總參數(shù)模型前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，如表7所示。

表7 基于兩種算法集總參數(shù)模型模態(tài)頻率Tab.7 Modal Frequency

由表7可知，基于直接法與間接法剛度計算集總參數(shù)模型前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率相差很小，均在3%以內(nèi)，特別是兩種方法扭轉(zhuǎn)一階模態(tài)頻率誤差僅為0.621%，證明兩種剛度計算方法吻合性。

由于直接法剛度集總參數(shù)模型無任何假設(shè)條件，取該方法結(jié)果為最終集總參數(shù)模型模態(tài)分析結(jié)果，集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊相對振幅，如表8所示。陣型，如圖6所示。

表8 集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊相對振幅Tab.8 Relative Amplitude of Each Mass

圖6 集總參數(shù)模型振型圖Fig.6 Vibration Pattern

4 曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性對比

分別采用有限元模型與集總參數(shù)模型模態(tài)分析方法結(jié)果對比，如表9所示。

表9 扭轉(zhuǎn)固有特性分析方法結(jié)果對比Tab.9 Comparison of Analytical Results

由表9可知，兩種分析方法結(jié)果相對誤差僅在2%以內(nèi)，基于集總參數(shù)模型與有限元模型的扭轉(zhuǎn)固有特性分析結(jié)果完全一致，兩種分析方法是統(tǒng)一的。

5 結(jié)論

對某四缸汽油發(fā)動機(jī)曲軸同時建立有限元模型和集總參數(shù)模型，分別計算曲軸扭轉(zhuǎn)固有頻率，對集總參數(shù)模型中曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度計算方法進(jìn)行分析。結(jié)果表明：

（1）基于連桿軸頸中央截面分段直接剛度計算法和基于連桿軸頸和主軸頸中央截面分段然后串聯(lián)間接法兩種途徑計算曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度一致性好，精度滿足工程要求；前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率相差很小，均在3%以內(nèi)。

（2）基于集總參數(shù)模型與有限元模型的扭轉(zhuǎn)固有特性分析結(jié)果完全一致，兩種分析方法結(jié)果相對誤差僅在2%以內(nèi)，兩種方法是統(tǒng)一的。

（3）兩種分析方法及結(jié)果一致性，為同類設(shè)計研究及扭轉(zhuǎn)減振研究提供可靠固有特性分析方法。