初中二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題研究

摘 要：二次函數(shù)不僅是初中階段函數(shù)的升華，更是初中到高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的一個(gè)重要橋梁。近些年的中考?jí)狠S題幾乎全是以拋物線為載體的。對(duì)初中生而言，函數(shù)，尤其是二次函數(shù)是難點(diǎn)。這篇文章，總結(jié)了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題的幾種類型，利用“數(shù)形結(jié)合”這把金鑰匙帶領(lǐng)學(xué)生把圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系挖掘出來(lái)，運(yùn)用形的特征來(lái)探索數(shù)的規(guī)律。

關(guān)鍵詞：等腰三角形；平行四邊形；相似三角形

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類壓軸題綜合性強(qiáng)，數(shù)形兼?zhèn)?、解題方法多樣化、充滿思辨性，知識(shí)高度融合，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，研究問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力及調(diào)用數(shù)學(xué)模型和套路的整合能力，要求學(xué)生運(yùn)用各種知識(shí)解題，思維需有廣度和深度，且能用靈活的方法解題.以二次函數(shù)為背景的動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題通常有以下幾種類型。

一、設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)法結(jié)合鉛垂高求面積最大值

例1：如圖1，拋物線解析式為D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)。

思路：易求A和M的坐標(biāo)分別為（-3，0）（0，1），直線AM的解析式為y=x+1.由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，DF==，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來(lái)求線段DF的最大值。

例2：如圖2，二次函數(shù)y=-x2+3x-2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸的交點(diǎn)是C。過(guò)點(diǎn)C作CE//x軸，與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作HF//y軸，交線段BC于點(diǎn)F，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，?CHF與?HFE的面積之和最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積。

思路：?CHF與?HFE的底都是HF，高之和是CE=3

所以?CHF與?HFE的面積之和

要想求面積最大值，只需求HF最大值，接下來(lái)思路同例1。

二、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況。如果△ABC的∠A（的余弦值）確定，∠A的兩邊AB和AC可用含x的式子表示，就用幾何法。

①下左圖，如果AB=AC，直接列方程；②如下中圖，如果BA=BC，那么；③如下右圖，如果CA=CB，那么。代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)。

若三角形的三個(gè)角都不確定，但三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可用含x的式子表示，可根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，三邊長(zhǎng)（的平方）就可以羅列出來(lái)。

例3：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm。如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s。連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0

解：①如下左圖，當(dāng)AP=AQ時(shí)，5-t=t。解得。

②如下中圖，當(dāng)PA=PQ時(shí)，·解得。

③如下右圖，當(dāng)QA=QP時(shí)，·解得。

三、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題

1.已知A、B、C三點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè)，怎么畫？

2.在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對(duì)邊AB與DC平行且相等？

如上左圖，過(guò)△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)D。

如上右圖，已知A（0，3），B（-2，0），C（3，1），如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？

點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位與點(diǎn)A重合，因?yàn)锽A與CD平行且相等，所以點(diǎn)C（3，1）先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D（5，4）。

例4：如圖4，二次函數(shù)y=-x2+x+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)。

思路：①若BC為平行四邊形的一邊，且頂點(diǎn)是CBFE的順序，則CB∥EF，因?yàn)镕的縱坐標(biāo)為0，所以可以從縱坐標(biāo)的角度，B（4，0），C（0，2）從B到C上移2個(gè)單位，那么F到E也要上移2個(gè)單位，從而E的縱坐標(biāo)是2，將y=2代入二次函數(shù)解析式得E的坐標(biāo)為（3，2）。

若BC為平行四邊形的一邊，且頂點(diǎn)是CBEF的順序，則CB∥FE，從B到C上移2個(gè)單位，那么E到F也要上移2個(gè)單位，從而E的縱坐標(biāo)是-2，將y=-2代入二次函數(shù)解析式得E的坐標(biāo)為（，-2）或（，-2）。

②若BC為平行四邊形的一條對(duì)角線，則CE∥BF，∴yE=yC=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）。

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）、（，-2）、（，-2）。

四、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題

最常用的解題理論，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)。如果已知∠A=∠D，探求△ABC與△DEF相似，只需把夾∠A和∠D的兩邊表示出，按照對(duì)應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程。

例5：如圖2，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B與y軸的交點(diǎn)是C。若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，是否存在D，使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與?ABC相似，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路：∠BAC<135°，如果點(diǎn)D在C的下方，那么∠BCD=135°，所以點(diǎn)D必定在C點(diǎn)的上方。經(jīng)分析，°，要想△ABC與△BCD相似，則有或兩種情況，算出CD=1或CD=8，從而D（0，-1）或D（0，6）。

通過(guò)以上分析可以看出解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題通常需要以下四種方法：①數(shù)形結(jié)合法，也就是需將題中的條件與圖形或圖象聯(lián)系起來(lái)。②構(gòu)造法，即利用作輔助線或者建立模型來(lái)解決問(wèn)題。③分類討論法，在題目的相關(guān)信息或條件不夠具體明確時(shí)，應(yīng)分多種情況求解。④轉(zhuǎn)化法，即遇到不好解決的難點(diǎn)時(shí)，通過(guò)其它等價(jià)的量，轉(zhuǎn)為已知的或易于解決的問(wèn)題來(lái)解題。這些方法需要學(xué)生具備扎實(shí)、熟練的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還要綜合靈活運(yùn)用，不能生搬硬套。教師應(yīng)重點(diǎn)講解經(jīng)典題型，對(duì)經(jīng)典題型進(jìn)行多角度分析，使學(xué)生掌握二次函數(shù)的精髓，舉一反三，做到講解一道題，學(xué)生會(huì)一類題，這樣才能事半功倍。

作者簡(jiǎn)介：胡靜靜（1990—），女，山東菏澤人，研究生，畢業(yè)于南京師范大學(xué)，二級(jí)教師，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。